วิธีการตัดสินความหมายของความซับซ้อนของการคำนวณของ reals เป็นธรรมชาติหรือเหมาะสม?

ดังที่เราทราบความหมายของความซับซ้อนในการคำนวณของอัลกอริธึมแทบจะไม่มีข้อโต้แย้ง แต่ความหมายของความซับซ้อนในการคำนวณของ reals หรือโมเดลการคำนวณเหนือ reals ไม่ได้อยู่ในกรณีเช่นนี้ เรารู้รูปแบบและแบบจำลองของ Blum and Smales ในหนังสือ Comp วิเคราะห์ Analysis และดูเหมือนว่ารูปแบบในการวิเคราะห์ความสอดคล้องมีความสอดคล้องกับรูปแบบคลาสสิก แต่คำจำกัดความของความซับซ้อนในการคำนวณของ reals ไม่สามารถย้ายไปเป็นรูปแบบคลาสสิก

วิธีการตัดสินความหมายของความซับซ้อนของการคำนวณของ reals เป็นธรรมชาติหรือเหมาะสม?

และวิธีการปลูกนิยามของความซับซ้อนในการคำนวณของ reals เป็นโมเดลคลาสสิก?

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่เป็นคำถามที่นี่ แต่ฉันสามารถพยายามพูดเล็กน้อยเพื่อล้างความเข้าใจผิดที่เป็นไปได้

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$\sqrt{2}$$f$

$f : A \to B$$A$$(a, f(a))$$f$

$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

1. $+$$\times$$-$$/$$|{-}|$
2. $x$$k \in \mathbb{N}$$p, q$$|x - p/q| \leq 2^{-k}$
3. $x$$y$$x < y$
4. $(x_n)_n$$|x_{n+1} - x_n| \leq 2^{-n}$$\lim_n x_n$

มีทฤษฎีบทเก่า (ดูการแนะนำบทความนี้เพื่ออ้างอิง) ซึ่งอธิบายว่าทำไมเงื่อนไขเหล่านี้จึงถูกต้อง ทฤษฏีเหล่านี้ยังแสดงให้เห็นว่าตัวแทนสองคนที่เป็นตัวแทนของ reals นั้น isomorphic สามารถคำนวณได้นั่นคือเราสามารถแปลระหว่างพวกเขาด้วยโปรแกรม สิ่งนี้กำหนดเกณฑ์บางอย่างสำหรับความถูกต้องที่ทำให้เกิดความคิดที่ผิดพลาด

ตัวอย่างเช่นฉันได้ยินคนพูดว่า "จำนวนตรรกยะสามารถแสดงด้วยข้อมูล จำกัด ดังนั้นลองใช้กับจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะจะต้องแทนด้วยข้อมูลอนันต์" เรื่องแบบนี้ใช้ไม่ได้เพราะมันทำลายเงื่อนไขที่สี่ด้านบน (ลองพิจารณาจำนวนที่ไม่มีเหตุผล - คุณจะบอกได้อย่างไรว่ามันเป็นการรวมเข้ากับเหตุผล?)

อีกตัวอย่างหนึ่งซึ่งเงื่อนไขข้างต้นกำจัดคือโมเดล Blum-Shub-Smale เพราะในนั้นคุณไม่สามารถคำนวณขีด จำกัด ของลำดับได้ เป็นการดีกว่าที่จะบอกว่าแบบจำลอง BSS นั้นทำงานบนฟิลด์ย่อยที่สั่งแยกแบบไม่ต่อเนื่อง (สร้างโดยพารามิเตอร์ใดก็ตามที่มีอยู่) ไม่ใช่ตัวจริง

ในบรรดาตัวแทนที่ถูกต้องของ reals บางคนมีประสิทธิภาพมากกว่าคนอื่น ๆ แม้ว่านี่จะเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างยากที่จะพูดคุยเพราะจำนวนจริงเป็นวัตถุที่ไม่มีที่สิ้นสุด แมทเธียสชโรเดอร์ชี้ให้เห็นว่าสำหรับทฤษฎีที่มีเหตุผลเกี่ยวกับความซับซ้อนเราต้องใส่ใจกับคุณสมบัติทอพอโลยีของการเป็นตัวแทน

สุดท้ายวิธีที่เราควรจะวัดความซับซ้อนของแผนที่สมมติว่าเรามีตัวแทนที่ดีของ ? เนื่องจากถูกแสดงด้วยฟังก์ชันหรือกระแสข้อมูลที่ไม่สิ้นสุดหรือบางอย่างเราจึงควรใช้หนึ่งในแนวคิดที่ซับซ้อนกว่า อันไหนขึ้นอยู่กับการเป็นตัวแทนที่คุณใช้$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$\mathbb{R}$$x \in \mathbb{R}$

แบบจำลอง BSS เป็นแบบจำลองความซับซ้อนของวงจรที่สมเหตุสมผลซึ่งเรานับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องที่ดีที่ควรระลึกไว้เสมอว่ารุ่นนี้ไม่เกี่ยวกับจำนวนจริง แต่เป็นอย่างอื่น

รูปแบบอื่นที่อาจเป็นไปได้ในการสำรวจก็คือรุ่นของ RAM ที่เป็นไปได้ นี่คือโมเดลแรมจริงที่แก้ไขสำหรับการคำนวณจริง, Feasible RAM หรือโมเดลแรมที่แก้ไขซึ่งใช้ทั้งการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่องและมูลค่าจริง รุ่นนี้ช่วยให้สามารถดำเนินการจริงและไม่ต่อเนื่องและโมเดลทัวริงสามารถใช้แทนกันได้ รูปแบบ RAM ที่เป็นไปได้มีการกำหนดความแม่นยำด้วยความไม่แน่นอนซึ่งหมายความว่าช่วยให้สามารถเปรียบเทียบจำนวนจริงได้สูงสุดถึงความไม่แน่นอนของตัวแปร 1 / (k + 1) สิ่งนี้ยอมให้การคำนวณโดยประมาณ นอกจากนี้ในขณะที่ Vasco Brattkaa และ Peter Hertlingb ระบุไว้ใน Feasible Real Random Access Machines - โมเดลของทัวริงและของ Feasible Real RAMs นั้นเกี่ยวข้องกัน ฟังก์ชั่นทั้งหมดคำนวณได้บนเครื่องทัวริงในเวลา$<_{k}$$O(t)$คำนวณได้บน RAM ในเวลาและในกรณีด้านข้างมีค่าใช้จ่ายสำหรับเครื่องทัวริงที่คำนวณฟังก์ชัน (ถ้า RAM จริงคำนวณฟังก์ชันใน TM คำนวณฟังก์ชันในเนื่องจากข้อพิจารณาด้านทอพอโลยีที่ชี้ให้เห็นมีประโยชน์เราไม่ทราบว่ามีบริบทเชิงทอพอโลยีที่พัฒนาขึ้นสำหรับการคำนวณแบบจำลองนี้หรือไม่ซึ่งมีความไม่แน่นอน ในความแม่นยำ$O(t)$$O(t)$$O(t^{2}log(t)log(log(t)))$