หิมะถล่มเหมือนกระบวนการสโทแคสติก

พิจารณากระบวนการต่อไปนี้:

มีถังขยะ$n$เรียงจากบนลงล่าง ในขั้นต้นแต่ละถังมีหนึ่งลูก ในทุกขั้นตอนเรา

1. เลือกลูกบอล อย่างสม่ำเสมอและสุ่ม$b$
2. ย้ายลูกบอลทั้งหมดจากถังขยะที่มี$b$ไปยังถังขยะด้านล่าง ถ้ามันเป็นถังขยะที่ต่ำที่สุดเราจะเอาลูกบอลออกจากกระบวนการ

ใช้ความคาดหวังกี่ขั้นตอนจนกว่ากระบวนการจะสิ้นสุดลงเช่นจนกว่าจะมีการลบลูกทั้งหมด$n$ออกจากกระบวนการ เคยมีการศึกษามาก่อนหรือไม่? คำตอบนั้นติดตามได้ง่าย ๆ จากเทคนิคที่รู้จักหรือไม่?

ในกรณีที่ดีที่สุดกระบวนการสามารถเสร็จสิ้นหลังจากขั้นตอนในกรณีที่เลวร้ายที่สุดมันอาจใช้ขั้นตอนΘ ( n 2 ) ทั้งสองกรณีน่าจะเป็นไปได้ยากมาก การคาดเดาของฉันคือการใช้Θ ( n log n $n$$\Theta(n^2)$$\Theta(n\log n)$ขั้นตอนและฉันทำการทดลองบางอย่างซึ่งดูเหมือนจะยืนยันสิ่งนี้

(โปรดทราบว่าการเลือกถังขยะโดยการสุ่มเป็นกระบวนการที่แตกต่างกันอย่างมากซึ่งจะใช้ขั้นตอนจนจบ)$\Theta(n^2)$

ไม่ใช่คำตอบจริงๆ แต่เป็นความคิดเห็นเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำตอบของAndrás

คำตอบของAndrásนั้นมีสัญชาตญาณที่ดีแม้ว่าฉันจะไม่เชื่อว่าเป็นการคำนวณที่แม่นยำของจำนวนขั้นตอนที่คาดหวัง ฉันคิดว่ามันอาจเป็นการประมาณคำตอบที่ดี แต่ดูเหมือนว่าจะไม่จัดการกับกรณีที่ bin ด้านล่างถังขยะที่ถูกครอบครองสูงสุดว่างเปล่าก่อนที่ Bin ถังด้านบนจะว่างเปล่า อย่างไรก็ตามนี่อาจเป็นการประมาณที่สมเหตุสมผลที่จะทำ (ฉันไม่แน่ใจ)

การคำนวณของเขามีข้อผิดพลาดซึ่งมีผลต่อการปรับขนาด ฉันจะใช้จุดเริ่มต้นเดียวกันและทำซ้ำและขยายการคำนวณ

มันพลาดปัจจัย p ในการสรุปเนื่องจากความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือก bin ที่ถูกต้องคือมากกว่า$\frac{p}{n}$ . เป็นผลให้เรามี$\frac{1}{n}$

$\begin{eqnarray*} n + \sum_{p=1}^n \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \frac{p}{n} \left(\frac{n-p}{n}\right)^k & = & n + \sum_{p=1}^{n} \frac{p}{n} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \left(\frac{n-p}{n}\right)^k \\\\& = & n + \sum_{p=1}^{n} \frac{p}{n} \cdot \frac{n^2}{p^2} \\\\& = & n + n\sum_{p=1}^{n} 1/p \\\\& = & n (1+H_n) \end{eqnarray*}$

ที่เป็นที่ n จำนวนฮาร์มอนิ ที่ใกล้เคียงกับH nเราก็สามารถแทนที่บวกด้วยหนึ่ง: H n ≈ ∫ n + 1 1$H_n = \sum_{p=1}^{n} 1/p$$H_n$) ดังนั้นการปรับคือn(1+เข้าสู่ระบบ(n+1))หรือประมาณnเข้าสู่ระบบ(n+1) ในขณะที่การปรับขนาดนี้ไม่ตรงกับการปรับขนาดของปัญหาว่า (ดูการจำลองด้านล่าง) จะออกโดยเกือบตรงปัจจัยของการเข้าสู่ระบบ(2)$H_n \approx \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx = \log(n+1)$$n (1+\log(n+1))$$n \log(n+1)$$\log(2)$

วงกลมสีแดง: จุดข้อมูลจากการจำลองกระบวนการเฉลี่ยมากกว่า 10k วิ่ง สีเขียว: ) ฟ้า: n ล็อก( n + 1 )$n \log_2(n+1)$$n \log(n+1)$

แก้ไข:ฉันออกจากคำตอบนี้เป็น (ตอนนี้) เพื่อแสดงให้เห็นถึงกระบวนการยุ่งเหยิงในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสิ่งที่เหลือจากเอกสารเผยแพร่ สัญชาตญาณหลักที่นี่คือมันเพียงพอที่จะมุ่งเน้นไปที่ลูกบอลชั้นบนในขณะที่มันกวาดไปด้านล่างทั้งหมด โปรดดูความคิดเห็น (โดยเฉพาะ @Michael ชี้ให้เห็นว่าช่องว่างสามารถเกิดขึ้นได้) และคำตอบในภายหลังของ @ Joe สำหรับวิธีการระบุและแก้ไขข้อผิดพลาด ฉันชอบการใช้การทดลองของโจเพื่อตรวจสอบอีกครั้งว่าสูตรนั้นมีเหตุผล

$n$$(1 + \pi^2/6)n$สำหรับจำนวนที่คาดหวังของขั้นตอน

$b_1b_2\cdots b_n$ ดังนั้น $b_1 = n$, $b_2 \ge n-1$, $\dots$, $b_i \ge n-i+1$. เงื่อนไขเพิ่มเติมจำเป็นสำหรับการเรียงลำดับเพื่อหลีกเลี่ยงลูกบอลที่ถูกเลือกซึ่งไม่ได้อยู่ในระบบอีกต่อไป แต่สำหรับจุดประสงค์ของขอบเขตบนสมมติว่ามีลำดับการลดของถังขยะที่ไม่สิ้นสุด (ดังนั้นลูกบอลจะไม่หายไปเมื่อออกจากถังขยะ 1 แต่ถูกย้ายไปที่ bin 0 จากนั้น bin -1 และอื่น ๆ ) จากนั้นจำนวนที่คาดหวังของขั้นตอนสำหรับการเรียงลำดับดังกล่าวที่จะเห็นคือจำนวนขั้นตอนที่คาดหวังมาก่อน$b_1$ จะเห็นรวมถึงจำนวนขั้นตอนที่คาดไว้ก่อน $b_2$ มีให้เห็นเป็นต้น $b_n$ สามารถเป็นตัวเลขใด ๆ ก็ได้ $1,2,\ldots,n$). These can be seen as separate events, one after the other. The expected number of steps is then

$\begin{eqnarray*}n + \sum_{p=1}^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{n} \left(\frac{n-p}{n}\right)^k & = & n + \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{n-p} \sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{n-p}{n}\right)^k \\& = & n + \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{n-p} n(n-p)/p^2 \\& = & n + n\sum_{p=1}^{n-1} 1/p^2 \\& \le & (1 + \pi^2/6)n. \end{eqnarray*}$