มีเกมง่ายๆที่มีความซับซ้อนไม่สมมาตรหรือไม่?

พิจารณาข้อมูลเต็มรูปแบบผู้เล่นสองคนเกม combinatorial ที่จบหลังจากจำนวนการเคลื่อนไหวของพหุนามและในทางกลับกันผู้เล่นเลือกจากจำนวน จำกัด ของการเคลื่อนไหวที่อนุญาต คำถามปกติคือยากที่จะบอกจากตำแหน่งที่กำหนดผู้ชนะ อีกวิธีหนึ่งคือยากที่จะเลือกการย้ายที่ชนะจากตำแหน่งที่ชนะ (ที่นี่ฉันเรียกการย้ายที่ชนะถ้าตำแหน่งยังคงชนะหลังจากเล่นมัน) เพื่อแยกความแตกต่างฉันจะเรียกตำแหน่งความซับซ้อนในอดีตและความยืดหยุ่น MOVE- ความซับซ้อน

มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้า MOVE-COMPLEXITY อยู่ในหรือดังนั้นจะเป็นตำแหน่งที่ซับซ้อน - เราสามารถคำนวณการเคลื่อนไหวที่ดีที่สุดและตรวจสอบว่าใครชนะในตอนท้าย (ฉันไม่ได้คิดอย่างถ่องแท้ว่าเกิดอะไรขึ้นถ้า MOVE-COMPLEXITY อยู่ในอาจเป็นไปได้ว่า POSITION-COMPLEXITY นั้นคล้ายกับ ) อย่างไรก็ตามมีตัวอย่างจำลองเมื่อ MOVE-COMPLEXITY นั้นเป็นเรื่องเล็กน้อยและตำแหน่ง - ความซับซ้อนเป็นเรื่องยากโดยพลการ - เหมือนเกม (ไม่น่าสนใจมาก) ในการตรวจสอบผลลัพธ์ของอัลกอริธึมโดยผู้เล่นทำขั้นตอนต่อไปได้รับอนุญาตให้ย้ายเพียงครั้งเดียว ฉันพูดนอกเรื่องเล็กน้อยคำถามหลักของฉันคือต่อไปนี้ $P$ $PSPACE$ $NP$ $P^{NP}$

มีเกมธรรมชาติหรือไม่ที่ MOVE-COMPLEXITY ของผู้เล่นสองคนแตกต่างกันอย่างไร

ตัวอย่างเช่นเกมที่ผู้เล่นคนแรกเลือกค่าของตัวแปรของ CNF (ที่อาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในขณะที่ผู้เล่นคนที่สองพยายามแก้ปริศนา SOKO-BAN (ที่อาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา) คือ ตัวอย่างเช่น

cc.complexity-theory np board-games pspace

— domotorp
แหล่งที่มา

ฉันชอบคำถามนี้มาก

— Tayfun จ่าย

ฉันไม่รู้ว่าเกม QBF เป็นไปตามเงื่อนไขของคุณหรือไม่ผู้เล่นหนึ่งคนเป็นผู้เล่นที่มีอยู่จริงอีกคนหนึ่งเป็นผู้เล่นสากล มีหลายเกมที่อยู่ในรูปแบบที่คล้ายกัน ฉันคิดว่าถ้าไม่มีการพึ่งพาระหว่างผู้เล่นเกมนั้นไม่ใช่เกมผู้เล่นสองคน แต่ถ้ามีการพึ่งพาระหว่างพวกเขาแล้ว (พูดไม่ชัด) มีการตีความบางอย่างที่คล้ายกับสไตล์ของ QBF

— Saeed

มันเป็นข้อสังเกตด้านข้าง แต่เกมที่เป็นธรรมชาติที่สุด (ในแง่ที่เล่นในโลกแห่งความเป็นจริงอย่างหมากรุกไป ... ) ไม่ได้จบลงด้วยจำนวนพหุนามที่เคลื่อนไหว แต่ค่อนข้างเป็นเลขยกกำลัง (ในกรณีที่แย่ที่สุด) คุณมีเหตุผลพิเศษในการเพิ่มข้อ จำกัด นี้นอกเหนือจากการได้รับความสัมพันธ์พหุนามระหว่าง MOVE-COMPLEXITY และ POSITION-COMPLEXITY หรือไม่

— เดนิส

บางทีครอบครัวตัวอย่างสามารถสร้างเงื่อนไขการผ่อนคลายให้กับผู้เล่นหนึ่งในสองผู้เล่นตัวอย่างเช่นการแข่งขันหมากรุกที่การชนะขาวด้วยการรุกฆาตมาตรฐานและการชนะดำด้วยการรุกฆาตหรือการจับราชินีขาว อีกตัวอย่างคือ GG ที่มีโหนดสีแดงน้ำเงินและหนึ่งในสองผู้เล่นสามารถชนะได้ไม่เพียง แต่ในแบบมาตรฐาน แต่ยังรวบรวมโหนดสีแดงจำนวนหนึ่งด้วย ฉันจะคิดถึงตัวอย่างที่คล้ายกันมากขึ้น

— Marzio De Biasi

หากเกมนั้นไม่มีการเสมอ (และมีจำนวน จำกัด ในการเคลื่อนที่ต่อหนึ่งรอบ) เหตุผลต่อไปนี้บ่งบอกว่าคำตอบคือ "ไม่" หรือไม่? การย้ายจะชนะถ้าหากว่าไม่มีการตอบสนองของฝ่ายตรงข้ามที่จะชนะ

— usul

คำตอบ:

บางทีเกมที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติมีดังต่อไปนี้:

ผู้เล่น 1 ถูกวางไว้กลางเขาวงกตและต้องไปถึงทางออกเพื่อที่จะชนะ

ผู้เล่น 2 อยู่ในเขาวงกตเดียวกันและต้องรวบรวมชุด "ส่วนประกอบ" เพื่อสร้างตัวควบคุมวิทยุที่ช่วยให้เขาปิดทางออก (และชนะ)

$n$ $n$

เพื่อให้เกมมีความ "โต้ตอบ" มากขึ้นเรายังสามารถเพิ่มแอ็คชั่นพิเศษให้กับผู้เล่น 2 ที่สามารถทำให้เกิดการชะลอตัวของพหุนามในการคำนวณการเคลื่อนที่ครั้งต่อไปสำหรับผู้เล่น 1; เช่นช่วยให้เขาสามารถบล็อกหมายเลขของเขาวงกต

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

$C$

จากนั้นก็พอเพียงที่จะดูเกมธรรมชาติบางเกมที่ POSITION-COMPLEXITY นั้นไม่สมมาตร เราจะต้องมีความไม่สมดุลระหว่างผู้เล่นเพื่อสร้างสถานการณ์ดังกล่าวอยู่เสมอ แต่หวังว่ามันจะเป็นไปตามธรรมชาติที่สุด

$\cap$

$P_1$ $P_2$ $p(n)$ $i$ $P_i$

— เดนิส
แหล่งที่มา

ฉันจะโต้แย้งมันไม่น่าเป็นไปได้ที่ "จำกัด " หมายถึง "คงที่" ที่นี่

— Kyle

ในความเป็นจริงในเกมที่เรียกว่า Picker-Chooser หรือ Chooser-Picker มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างตัวอย่างที่กลยุทธ์ที่ดีที่สุดของผู้เล่นคนหนึ่งคือกลยุทธ์การจับคู่ที่เรียบง่ายในขณะที่เกมอื่นต้องแก้ 3-SAT บน CNF ใด ๆ นั่นคือปัญหาที่ทำให้ NP สมบูรณ์

บอกว่าเกม Picker-Chooser เป็นเกมที่ไม่สมมาตรบนไฮเปอร์กราฟกราฟ H = (V, E): ตัวเลือกเลือกองค์ประกอบที่ไม่ได้เลือกสองตัวของ V จากนั้น Chooser จะใช้หนึ่งในองค์ประกอบเหล่านี้แล้วส่งกลับไปที่ตัวเลือก Chooser ชนะถ้าเขาได้รับองค์ประกอบทั้งหมดของ A จาก E ตอนนี้ให้สูตร CNF F จาก 3-SAT, V เป็นชุดของตัวอักษรและ E ตระหนักถึงแกดเจ็ตบางอย่าง ทั้งหมดในทุกตัวเลือกจะต้องเสนอ x_i และ x_i คัดค้านในทุกขั้นตอน (มิฉะนั้นจะสูญเสียทันที) ในขณะที่การเลือกตัวเลือกเป็นอินพุต 0-1 โดยพลการสำหรับ x_i ใด ๆ และเขาชนะโดยพอใจเอฟ

ดูรายละเอียดใน: A. Csernenszky, R. Martin และ A. Pluhár, บนความซับซ้อนของเกมตำแหน่ง Chooser-Picker จำนวนเต็มที่ 11 (2011)

หรือที่: http://www.inf.u-szeged.hu/~pluhar/complexity_2011.pdf

— Andras Pluhar
แหล่งที่มา