วิธีพหุนามสำหรับผลลัพธ์ความซับซ้อน

วิธีพหุนามพูดว่าCombinatorial Nullstellensatzและทฤษฎีบท Chevalley – Warningเป็นเครื่องมืออันทรงพลังในการผสมผสาน combinatorics โดยการแสดงปัญหากับพหุนามที่เหมาะสมพวกเขาสามารถรับประกันการมีอยู่ของการแก้ปัญหาหรือจำนวนของการแก้ปัญหาที่มีหลายชื่อ พวกเขาถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาเช่นปัญหาจำนวนจำกัดหรือปัญหาผลรวมเป็นศูนย์และบางส่วนของทฤษฎีบทในพื้นที่นี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการดังกล่าวเท่านั้น

สำหรับฉันวิธีที่ไม่สร้างสรรค์ของวิธีการเหล่านี้เป็นสิ่งที่น่าอัศจรรย์อย่างแท้จริงและฉันอยากรู้ว่าเราสามารถใช้วิธีการเหล่านี้เพื่อพิสูจน์การผนวกและแยกชั้นที่ซับซ้อนที่น่าสนใจได้อย่างไร (แม้ว่าผลลัพธ์จะสามารถแก้ไขได้

ทราบว่ามีความซับซ้อนใดบ้างที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีพหุนาม

ตัวอย่างคลาสสิกของการใช้วิธีพหุนามคือ:

• หลักฐานของ Razborov-Smolensky เรื่อง "Parity not in " ( มีงานแสดงสินค้าออนไลน์มากมายที่นี่เป็นที่เดียว )$AC^0$
• การพิสูจน์ของ Beigel-Reingold-Spielman "PP ถูกปิดภายใต้ทางแยก"
• ผลลัพธ์ของ Bazzi สำหรับการหลอกลวง DNFsและการพิสูจน์ของ Braverman เรื่อง " Polylog อิสรภาพคนโง่$AC^0$ "

นอกจากนี้การวิเคราะห์ฟูเรียร์ของฟังก์ชั่นบูล ( นี่เป็นหลักสูตรที่ดีโดยไรอันดอนเนลล์ ) มีชุดใหญ่ของผลที่น่ากลัวที่ชื่นชอบเป็น Kushilevitz-Mansour-นิสันของฉันหลักฐานการ Goldreich-Levin ทฤษฎีบท

อันที่จริง Scott Aaronson ได้รับการสอนที่ FOCS'08 ในหัวข้อ " The Polynomial Method ใน Classical และ Quantum Computing (ppt) "

หวังว่านี่จะช่วยได้

มีผลลัพธ์ของ Zeev Dvir ในปัญหา Kakeya ที่ จำกัดซึ่งถูกกล่าวถึงในเว็บไซต์นี้มาก่อน Zeev ใช้วิธีพหุนามเพื่อลดขอบเขตของคะแนนในชุดของคะแนนใด ๆ ใน F ^ n (ฟิลด์ F จำกัด , จำนวนธรรมชาติ n) ที่มีเส้นในทุกทิศทาง ผลลัพธ์นี้ดึงดูดความสนใจของผู้คนในการวิเคราะห์ถึงวิธีพหุนาม

ผล Zeev ถูกแรงบันดาลใจจากงานของการสร้างสกัดสุ่ม นี่เป็นส่วนหนึ่งของความพยายามอย่างมากในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีในการลดขั้นตอนวิธีอัลกอริทึมและท้ายที่สุดก็แสดงให้เห็นว่า P = BPP และผลลัพธ์ที่ซับซ้อนคล้ายกันนั้น

ดูเพิ่มเติมในแบบสำรวจของ Zeev: http://www.math.ias.edu/~dvir/papers/Dvir09b.pdf