มีชุดประตูรวม จำกัด ซึ่งสามารถรับรู้ QFT ทั้งหมดของคำสั่งหรือไม่?

ฉันกำลังพิจารณาแนวคิดเกี่ยวกับอัลกอริทึมควอนตัมที่แน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันกำลังพิจารณาข้อ จำกัด ที่น่าจะเป็นของซึ่งประกอบด้วยภาษาที่สามารถตัดสินใจได้อย่างแน่นอนโดยตระกูลวงจรควอนตัมชุดเครื่องแบบไทม์ไทมั่มเหนือชุดประตู จำกัด โดยพลการ $\mathsf{EQP}$

ควอนตัมฟูเรียร์แปลง (QFT), ได้รับโดย เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีการคำนวณเชิงควอนตัม ในกรณีของมีการสลายตัวที่รู้จักกันดีของเป็น Hadamards ประตู SWAP

F_{ยังไม่มีข้อความ} = \frac{1}{\sqrt{ยังไม่มีข้อความ}} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} & \dots & ω^{ยังไม่มีข้อความ - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} & \dots & ω^{ยังไม่มีข้อความ - 2} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} & \dots & ω^{ยังไม่มีข้อความ - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω^{ยังไม่มีข้อความ - 1} & ω^{ยังไม่มีข้อความ - 2} & ω^{ยังไม่มีข้อความ - 3} & \dots & ω^{(ยังไม่มีข้อความ - 1)^{2}} \end{matrix}] สำหรับ ω = {อี}^{2 π ผม / ยังไม่มีข้อความ},

$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$

N = 2^{n}

$N = 2^n$

F_{N}

$F_N$

{ค Z}_{2^{T}} = d ผม a ก. (1, 1, 1, {อี}^{2 π ผม / 2^{T}})

$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$

T ⩾ 1

$T \geqslant 1$ ซึ่งเกิดจาก Coppersmith ถ้า

E Q P ∖ P

$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$ มีปัญหาใด ๆ เราอาจหวังว่าหนึ่งในนั้นจะใช้ QFTs

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ ซึ่งในกรณีนี้ครอบครัวของการดำเนินงาน

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ เพื่อแยกย่อยเป็นชุด จำกัด เฉพาะบางอัน การใช้การสลายตัวแบบเรียกซ้ำของ QFT สิ่งนี้เทียบเท่ากับการสลายตัวของประตู

{C Z}_{2^{n}}

$\mathrm{CZ}_{2^n}$ ให้เป็นชุดประตู จำกัด อันเดียว

เห็นได้ชัดว่าตามทฤษฎีบท Solovay – Kitaev เราอาจประมาณประตู $F_{2^n}$ หรือ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ โดยพลการได้ดีกับประตูรั้วทั่วไปที่ปิดอยู่ภายใต้ผู้บุกรุก สิ่งที่ฉันอยากรู้คือว่ามีชุดประตู จำกัด ซึ่งอาจตระหนักถึงครอบครัวของผู้ประกอบการเหล่านี้อย่างแน่นอนหรือสิ่งที่ฉันสงสัยว่ามีแนวโน้มมากขึ้นหรือไม่ว่ามีข้อพิสูจน์ว่าไม่มีชุดประตู จำกัด ดังกล่าวอยู่จริงหรือไม่

คำถาม. มีการสลายตัวของ $\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$ เป็นชุดวงจรโพลีไทม์บนชุด จำกัด ประตูหรือหลักฐานที่เป็นไปไม่ได้?

quantum-computing circuit-families

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

ไม่ไม่มีการสลายตัวของทั้งครอบครัวไปยังชุดประตู จำกัด อันเดียว นี่คือเหตุผล $\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

QFTs เกี่ยวข้องกับค่าสัมประสิทธิ์เพียงซึ่งเป็นการปิดพีชคณิตเชิงซ้อนของจำนวนตรรกยะ ในการเปรียบเทียบกับ [ Adleman + Demarrais + Huang – 1997 ] หากเราเกี่ยวข้องกับประตูใด ๆ ซึ่งรวมถึงหมายเลขยอดเยี่ยมใด ๆ เราสามารถเลือกชุดยอดเยี่ยมน้อยที่สุดและอธิบายค่าสัมประสิทธิ์ของประตู เป็นหลักเป็นฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลldots) ในการขอรับ QFT เป็นผลิตภัณฑ์ของประตูดังกล่าวเราจะต้องจัดเตรียมส่วนประกอบที่ยอดเยี่ยมทั้งหมดให้ยกเลิก (สิ่งที่คล้ายกันจะต้องเกิดขึ้น แต่จากนั้นเราก็อาจแทนที่ Transcendentals ทั้งหมดด้วย $\overline{\mathbb Q}$ $\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$ $\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$ $0$ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นพีชคณิต ดังนั้นเราจึง จำกัด ตัวเองให้อยู่กับชุดประตูพีชคณิตโดยไม่สูญเสียความรู้ทั่วไป

สัมประสิทธิ์ของประตู จำกัด ที่ตั้งอยู่เหนือสามารถอยู่ในขอบเขต - ขยายขอบเขตของซึ่งอาจสร้างโดยขยายโดยสัมประสิทธิ์เหล่านั้นมาก อย่างไรก็ตามประตูเห็นได้ชัดว่ามีค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนขยายฟิลด์มากกว่าระดับคือระดับที่ไม่ได้ จำกัด ดังนั้นตระกูล QFTs ของคำสั่งจึงไม่สลายตัวในชุดประตู จำกัด ใด ๆ $\overline{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ $\mathbb Q$ $2^{n-1}$ $2^n$

เราไม่สามารถหวังได้ว่าจะมีอัลกอริธึมในซึ่งอาศัย QFT ในวงวนที่มีขนาดไม่ จำกัด - โปรดทราบว่าปัญหาเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับครอบครัวใด ๆ ของวงจรซึ่งอาจใช้ QFTs ตามลำดับโดยพลการ $\mathsf{EQP}$

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา