ความเท่าเทียมกันของหลักฐานพิสูจน์ได้?

ฉันต้องการทราบว่า decidability ของความเท่าเทียมกันของสองหลักฐาน decidable ของข้อเสนอเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่มีสัจพจน์เพิ่มเติมใด ๆ ในแคลคูลัสของการสร้างอุปนัย

โดยเฉพาะฉันต้องการทราบว่าสิ่งนี้เป็นจริงหรือไม่หากไม่มีสัจพจน์เพิ่มเติมใน Coq

\forall P : Prop, P \lor \neg P \Rightarrow (\forall p_{1} : P, \forall p_{2} : P, {p_{1} = p_{2}} \lor {p_{1} \neq p_{2}})

$\forall P: \texttt{Prop}, P \vee \neg P \Rightarrow (\forall p_1 : P, \forall p_2: P, \{p_1 = p_2\} \vee \{p_1 \neq p_2\})$

ขอบคุณ!

แก้ไขเพื่อแก้ไขข้อผิดพลาด: แก้ไข 2 เพื่อให้Propชัดเจนยิ่งขึ้น

coq constructive-mathematics calculus-of-constructions

— อดัมบารัค
แหล่งที่มา

สิ่งที่คุณเขียนไม่สมเหตุสมผล ถ้า

P

$P$ เป็นข้อเสนอแล้ว

p : P

$p : P$ เป็นหลักฐานและคุณไม่สามารถฟอร์มได้

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$ . คุณหมายถึงสมมุติฐานของคุณหรือเปล่า

P \lor \neg P

$P \lor \lnot P$ แทน

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$ คือ "

P

$P$ ตัดสินใจได้หรือไม่? "

— Andrej Bauer

ขออภัยฉันหมายถึงสมมุติฐาน "

P

$P$ สามารถตัดสินใจได้ "คือ

P \lor \neg P

$P \vee \neg P$

— Adam Barak

เอา

P

$P$ เป็น

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ และคำพูดนั้นเป็นเท็จเนื่องจากคุณสามารถอาศัยอยู่ได้อย่างง่ายดาย

(N \to N) \lor \neg (N \to N)

$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \vee \lnot(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$ กับ

i n l (λ x . x)

$\mathsf{inl}(\lambda x.\;x)$ และความไม่เท่าเทียมกันของฟังก์ชั่นนั้นชัดเจนแน่นอน มีเงื่อนไขอื่น ๆ อีกหรือไม่

P

$P$ คุณมีในใจ

— Neel Krishnaswami

P ควรเป็นข้อเสนอ (อันที่จริงแล้วในการพัฒนาของฉันฉันใช้ส่วนขยายการทำงานอยู่แล้วดังนั้นคำสั่งจึงยังคงค้างอยู่กับฉันได้

— Adam Barak

ฟังก์ชั่นการขยายฟังก์ชั่นไม่ได้แปลว่าหน้าที่เทียบเท่ากันคือ decidable ... และคำตอบของ Neel ก็คือกรณีทั่วไป: ถ้า P เป็นประเภทอนันต์ (ที่อยู่อาศัย) (ซึ่งรวมถึงบางประเภทของข้อเสนอหากไม่มีสัจพจน์พิเศษ เพื่อ

P \to P

$P\rightarrow P$ .

— ดี้

ในฐานะที่เป็น Neel ชี้ให้เห็นว่าคุณทำงานภายใต้ "ข้อเสนอเป็นประเภท" ดังนั้นคุณสามารถสร้างประเภทที่มีความเท่าเทียมกันไม่สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างแน่นอน $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ .

หากเราเข้าใจ "ข้อเสนอ" เป็นประเภทที่ จำกัด มากขึ้นคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราหมายถึงอย่างแม่นยำ หากคุณกำลังทำงานในแคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้างด้วยPropชนิดหนึ่งคุณก็ยังไม่สามารถแสดงได้ว่าข้อเสนอที่ตัดสินใจได้นั้นมีความเท่าเทียมกันอย่างแน่นอน นี่เป็นเช่นนั้นเพราะมันมีความสอดคล้องกันในแคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้างเพื่อเทียบเคียงPropกับจักรวาลประเภทที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ดังนั้นสำหรับทุกสิ่งที่คุณรู้Propอาจมีบางสิ่งที่คล้ายกัน $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ . นอกจากนี้ยังหมายถึงคุณไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของคุณสำหรับความคิด Coq Propของ

แต่ในกรณีใด ๆ คำตอบที่ดีที่สุดมาจากทฤษฎีประเภท homotopy มีข้อเสนอเป็นประเภท $P$ ซึ่งเป็นไปตาม

\forall x, y : P . x = y .

$\forall x, y : P \,.\, x = y.$ นั่นคือข้อเสนอมีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ (อย่างที่ควรจะเป็นหากเข้าใจว่าเป็นค่าความจริงที่ไม่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์) ในกรณีนี้คำตอบนั้นแน่นอนว่าเป็นบวกเพราะคำจำกัดความของข้อเสนอนั้นบ่งบอกทันทีว่าความเท่าเทียมกันนั้นสามารถตัดสินใจได้

ฉันอยากรู้ว่าคุณหมายถึงอะไรโดย "ข้อเสนอ"

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

คุณจะมีวิธี

N \to N

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ ข้างในProp? ขอบคุณ!

— Adam Barak

ไม่มีสิ่งใดในแคลคูลัสของการก่อสร้างที่ป้องกันไม่ให้

P r o p = T y p e

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}$ มีไหม

— Andrej Bauer

ความสับสนที่นี่เกี่ยวกับความหมายของ "ระบบ coq" ถ้าเป็น "แคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้าง" ถ้าอย่างนั้น

P r o p = S e t = T y p e

$\mathtt{Prop=Set=Type}$ . ถ้า "แคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างที่มีความแม่นยำยิ่งขึ้นกับจักรวาลแห่งการทำนาย 1 อัน" นั้นถูกต้อง

T y p e

$\mathtt{Type}$ ไม่มีความหมายหากไม่มีคำอธิบายประกอบในระดับจักรวาล เท่าที่ฉันรู้,

T y p e_{1} = P r o p

$\mathtt{Type_1=Prop}$ เป็นสัจพจน์ที่สอดคล้องกัน (แม้ว่าจะไม่สอดคล้องกับ EM ด้วยเหตุผลที่ลึกซึ้ง)

— ดี้

แน่นอนว่าเราต้องเปลี่ยนดัชนี

T y p e

$\mathtt{Type}$ . จุดที่ @AdamBarak เข้าใจคือ: เพราะ

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ ไม่นำไปสู่ความขัดแย้งใน Coq เราสามารถแสดงให้เห็นว่าบางสิ่งไม่สามารถทำได้ใน Coq โดยแสดงว่ามันจะนำไปสู่ความขัดแย้งถ้าเรามี

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ .

— Andrej Bauer

ยังไม่ถูกต้องนักเนื่องจากใน Coq เราไม่สามารถแสดงให้เห็นว่าการทำงานที่เทียบเท่านั้นไม่สามารถตัดสินใจได้ คำสั่ง "ความเท่าเทียมกันใน

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ decidable "คือสิ่งที่ Martin Escardo เรียกว่าข้อห้ามเชิงสร้างสรรค์: ไม่สามารถพิสูจน์ได้หรือพิสูจน์หักล้างใน Coq ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องคือ: ถ้า

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ แล้วก็

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ เป็นข้อเสนอและคำสั่ง "ความเท่าเทียมกันใน

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ is decidable "ไม่สามารถพิสูจน์ได้ (ในขณะที่คุณพูด: และคำสั่ง" ความเท่าเทียมกันใน

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ สามารถถอดรหัสได้ "เป็นเท็จ)

— Andrej Bauer