การจับคู่“ ยุติธรรม” น้ำหนักสูงสุด

ฉันสนใจตัวแปรที่มีการจับคู่น้ำหนักสูงสุดในกราฟซึ่งฉันเรียกว่า "การจับคู่ที่ยุติธรรมสูงสุด"

สมมติว่ากราฟเต็ม (เช่น ) มีจำนวนคู่ของจุดและที่น้ำหนักจะได้รับจากการทำงานกำไรN กำหนดตรงกันแสดงว่าผลกำไรของ edge นั้นถูกจับคู่ด้วย $E=V\times V$ $p:{V\choose 2}\to \mathbb N$ $M$ $M(v)$ $v$

การจับคู่ $M$ คือการจับคู่ที่ยุติธรรม iff สำหรับสองจุดยอด $u,v\in V$ :

(\forall w \in V : p ({w, v}) \geq p ({w, u})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u)$

นั่นคือถ้าสำหรับจุดสุดยอดใด ๆ $w\in V$ จับคู่ $w$ กับจุดสุดยอด $v$ จะช่วยให้ผลกำไรสูงกว่าการจับคู่จุดสุดยอด $u$ , จับคู่ยุติธรรมต้องพอเพียง $M(v)\geq M(u)$ (U)

เราสามารถหาการจับคู่ที่ยุติธรรมน้ำหนักสูงสุดได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่?

กรณีที่น่าสนใจคือเมื่อกราฟเป็น bipartite และความเป็นธรรมนั้นใช้ได้กับด้านเดียวนั่นคือ $G=(L\cup R,L\times R)$ และเราจะได้รับฟังก์ชั่นกำไร $p:L\times R\to \mathbb N$ N

การจับคู่สองฝ่ายที่ยุติธรรมคือการจับคู่ใน $G$ เช่นนั้นสำหรับจุดยอดสองจุดใด $u,v\in L$ :

(\forall w \in R : p ({v, w}) \geq p ({u, w})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u)$

เราจะพบการจับคู่สองฝ่ายที่มีน้ำหนักสูงสุดได้อย่างรวดเร็วแค่ไหน?

แรงจูงใจสำหรับปัญหานี้มาจากกรณีพิเศษสองฝ่าย สมมติคุณมีคนและงานและผู้ปฏิบัติงานที่สามารถผลิตกำไรจากการทำงานเจปัญหาที่นี่คือการออกแบบที่เหมาะสม (ในความรู้สึกคนงานจะไม่รู้สึก "ฉีกออก") ในขณะที่เพิ่มผลตอบแทนสูงสุด (มีการแลกเปลี่ยนระหว่างอำนาจของกลไกการมอบหมายและผลประโยชน์ทางสังคม) $n$ $m$ $i$ $p_{i,j}$ $j$

หากเรากำหนดสวัสดิการสังคม (หรือกำไรจากโรงงาน) ของการมอบหมายให้คนงานเป็นผลรวมของกำไร

เมื่อดูสถานการณ์ต่าง ๆ สำหรับพลังของผู้มอบหมายงานเราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

หากเราได้รับอนุญาตให้มอบหมายผู้ปฏิบัติงานใด ๆ เราสามารถเพิ่มประสิทธิภาพโรงงานได้อย่างมีประสิทธิภาพ (เพียงแค่หาการจับคู่น้ำหนักสูงสุด)
หากผู้ปฏิบัติงานทุกคนเลือกงานด้วยตัวเองสมมติว่างานของเขาจะถูกเลือก (งานเดียวเท่านั้นที่สามารถเลือกได้สำหรับแต่ละงาน) หากเขาเป็นคนที่มีคุณสมบัติเหมาะสมที่สุดที่เลือกงานคนงานจะมารวมกันเป็น '' โลภ ' 'สมดุล เหตุผลก็คือคนงานที่สามารถสร้างรายได้มากที่สุด ( ) จะเลือกงานที่ทำกำไรได้มากที่สุดและอื่น ๆ ด้วยอัตราการประมาณของอัลกอริทึมโลภสำหรับการจับคู่สิ่งนี้ควรให้ค่าประมาณ 2 เท่าของสวัสดิการสังคมสูงสุดเท่าที่จะเป็นไปได้ $i=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j}$

ฉันกำลังมองหาบางสิ่งบางอย่างในระหว่าง สมมติว่าเราสามารถกำหนดคนงานให้กับงานได้ แต่ต้องสัญญากับพวกเขาว่าไม่มีคนงาน "ที่มีคุณสมบัติน้อย" หารายได้มากกว่าพวกเขา

เราจะค้นหาการจับคู่น้ำหนักสูงสุดที่มีแนวโน้มว่า "ยุติธรรม" กับพนักงานได้อย่างมีประสิทธิภาพได้อย่างไร

— RB
แหล่งที่มา

เป็นเรื่องสำคัญสำหรับกรณีที่สอง (สองฝ่าย) ดูเหมือนง่ายในการสร้างตัวอย่างที่การจับคู่ "ยุติธรรม" ทุกครั้งให้ผลกำไรคนแรก 1 และส่วนที่เหลือเป็นศูนย์แม้ว่าจะมีการจับคู่ "ไม่ยุติธรรม" ให้กำไรแรกของคนงานและทุกคนกำไรอื่น1-ในทำนองเดียวกันตัวอย่างที่จับคู่ยุติธรรมสูงสุดน้ำหนักจะช่วยให้กำไรของผู้ปฏิบัติงานแต่ละ , แม้ว่าจะมีจ้อเป็นธรรมให้แต่ละกำไรของผู้ปฏิบัติงานใน\}

1−2ϵ $1−2\epsilon$

1−ϵ $1−\epsilon$

2/n $2/n$

{1−ϵ,1−2ϵ} $\{1-\epsilon,1-2\epsilon\}$

— Neal Young

@NealYoung - ฉันถูกต้องหรือไม่ที่จะสมมติว่าสถานการณ์เหล่านี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้หากผลกำไรแตกต่างกันหรือไม่

— RB

ดูเหมือนว่าปัญหามาตรฐานในทฤษฎีเกมที่ไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่างทางเลือกอย่างมีนัยสำคัญช่วยลดสวัสดิการสังคม

— RB

อ๊ะฉันกลับความคิดเห็นของฉัน - ฉันไม่แน่ใจว่าตัวอย่างเหล่านั้นจะเกิดขึ้นได้จริง!

— Neal Young

ฉันเชื่อว่า "การจับคู่สองฝ่ายที่มีน้ำหนักยุติธรรมสูงสุด" ตามที่คุณกำหนดไว้ว่าเป็นเรื่องยาก ยิ่งไปกว่านั้นการพิจารณาการมีอยู่ของการจับคู่สองฝ่ายที่ยุติธรรมคือ NP-hard

ก่อนที่ฉันจะให้ภาพร่างหลักฐานสำหรับปรีชาลองพิจารณาตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ต่อไปนี้ ใช้ที่ ,\} ใช้นั้นสำหรับและ , ในขณะที่สำหรับและ\} จากนั้นและเทียบเท่าในแง่ที่สำหรับทั้งหมดดังนั้นการจับคู่ที่เป็นธรรมใด ๆ จะต้องให้และกำไรเท่ากัน ดังนั้นการจับคู่ที่เป็นธรรมเท่านั้นจะจับคู่กัน $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $L=\{a,b\}$ $R=\{c,d,e,f\}$ $p$ $p(u,w) = 0$ $u\in L$ $w\in\{c,d\}$ $p(u,w) = 1$ $u\in L$ $w\in\{e,f\}$ $a$ $b$ $p(a, w) = p(b, w)$ $w\in R$ $a$ $b$ $a$ และไปและหรือพวกเขาตรงกับและจะและFการใช้อุปกรณ์ประเภทนี้เราสามารถบังคับให้มีการประสานงานของขอบในการจับคู่ นี่คือพื้นฐานของการลด $b$ $c$ $d$ $a$ $b$ $e$ $f$

นี่คือความพยายามในการพิสูจน์ มันเกี่ยวข้องกับเล็กน้อย อาจมีข้อผิดพลาดบางอย่าง แต่หวังว่าจะสามารถแก้ไขข้อผิดพลาดได้

บทแทรก 1. ให้และตามที่อธิบายไว้ในปัญหาการพิจารณาว่ามีการจับคู่ที่เหมาะสมคือ NP -hard $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$

ร่างหลักฐาน หลักฐานคือการลดลงจากชุดอิสระในกราฟลูกบาศก์ อนุญาตเป็นอินสแตนซ์ที่กำหนดโดยที่เป็นกราฟลูกบาศก์ (จุดยอดทุกอันมีระดับ 3) เราอธิบายวิธีสร้างกราฟและฟังก์ชันกำไรเช่นนั้นมีการจับคู่สองฝ่ายที่ยุติธรรมถ้าและ เฉพาะในกรณีที่มีชุดที่เป็นอิสระจากขนาดk $(G=(V,E),k)$ $G'$ $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$ $G$ $k$

จุดยอดในจะมาเป็นคู่เรียกว่าคู่ค้า ในทำนองเดียวกันสำหรับจุดในRสำหรับแต่ละจุดสุดยอดเราให้หมายถึงพันธมิตรของโวลต์แต่ละจุดสุดยอดและพันธมิตรจะเท่ากันซึ่งหมายความว่าเราจะทำให้ ดังนั้นการจับคู่ยุติธรรมใด ๆ จะต้องกำหนดกำไรเดียวกันกับและell' ในสิ่งต่อไปนี้เราจะใช้ เพื่อแสดงค่าของR) $L$ $R$ $v\in L\cup R$ $v'$ $v$ $\ell\in L$ $\ell'\in L$

p (ℓ, r) = p (ℓ', r) for all r \in R .

$p(\ell, r) = p(\ell', r) \text{ for all } r\in R.$

ℓ $\ell$

ℓ′ $\ell'$

π(ℓ,r) $\pi(\ell, r)$

p(ℓ,r)=p(ℓ′,r) $p(\ell,r) = p(\ell', r)$

นอกจากนี้สำหรับแต่ละคู่ในและแต่ละคู่ของในเราจะสร้าง หรือเราสร้าง ในกรณีก่อนหน้านี้เราบอกว่าเราอนุญาตให้และถูกจับคู่กับและ (เพราะการทำเช่นนั้นจะกำหนดกำไรเดียวกันให้กับและตามที่ต้องการ) ในกรณีหลังนี้เราบอกว่าเราป้องกันและถูก (ทั้งคู่) จับคู่กับและ $\ell$ $L$ $r, r'$ $R$

π (ℓ, r) = π (ℓ, r')

$\pi(\ell, r) = \pi(\ell, r')$

π (ℓ, r) \neq π (ℓ, r') .

$\pi(\ell, r) \ne \pi(\ell, r').$

ℓ $\ell$

ℓ′ $\ell'$

r $r$

r′ $r'$

ℓ $\ell$

ℓ′ $\ell'$

ℓ $\ell$

ℓ′ $\ell'$

r $r$

r′ $r'$ (เพราะการทำเช่นนั้นจะไม่ให้ผลกำไรเดียวกันกับและ )

ℓ $\ell$

ℓ′ $\ell'$

เมื่อกราฟที่ระบุเป็นลูกบาศก์มันตรงกับและชุดอิสระขนาดในจะเกิดขึ้นที่ขอบสมมติเพื่อความสะดวกของโน้ตที่\} $G=(V,E)$ $3|V|=2|E|$ $I$ $k$ $G$ $3k$ $V=\{1,2,\ldots,n\}$

สำหรับแต่ละขอบให้ทำดังนี้ $\{i, j\}\in E$

เพิ่มคู่ของจุดหุ้นส่วนเพื่อR $r(\{i,j\}), r'(\{i,j\})$ $R$
สำหรับปลายทางเพิ่มคู่ของพันธมิตรจุดเพื่อLตั้งค่าช่วยให้และ จะได้รับการจับคู่กับและ\}) $i$ $\ell(i,j), \ell'(i,j)$ $L$
$π (ℓ (i, j), r ({i, j})) = π (ℓ (i, j), r' ({i, j})) = i,$ $\pi(\ell(i,j), r(\{i,j\})) = \pi(\ell(i,j), r'(\{i,j\}))= i,$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$
สมมาตรสำหรับจุดปลายอื่น ๆ : เพิ่มอีกคู่หนึ่งของจุดยอดพันธมิตรถึงและตั้ง อนุญาตให้และจะได้รับการจับคู่กับ และ\}) $j$ $\ell(j,i), \ell'(j,i)$ $L$
$π (ℓ (j, i), r ({i, j}) = π (ℓ (j, i), r' ({i, j})) = j,$ $\pi(\ell(j,i), r(\{i,j\}) = \pi(\ell(j,i), r'(\{i,j\}))= j,$ $\ell(j,i)$ $\ell'(j,i)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$

สำหรับและเพิ่มเข้าไปทุกครั้งหากคู่ไม่ได้รับอนุญาตอย่างชัดเจน (ด้านบน) ให้จับคู่กับจากนั้นป้องกันการแข่งขันโดยกำหนดและแต่ละหมายเลขไม่ซ้ำกัน $\ell\in L$ $r\in R$ $\ell, \ell'$ $r, r'$ $\pi(\ell, r)$ $\pi(\ell, r')$

ถัดไปเพิ่มคู่ของฟิลเลอร์จุดที่จะRฟิลเลอร์สำหรับแต่ละจุดสุดยอดและแต่ละชุด0 $3(|V|-k)$ $R$ $r$ $\ell(i,j)\in L$ $\pi(\ell(i,j), r) = 0$

สุดท้ายเพิ่มสองจุดและ (พันธมิตร) เพื่อพร้อมกับสองจุดและ (ยังเป็นพันธมิตร) เพื่อRชุดช่วยให้และที่จะจับคู่กับและR'_0สำหรับจุดสุดยอดอื่น ๆให้ตั้งค่าเป็นจำนวนที่ไม่ซ้ำกัน (ดังนั้นการจับคู่ที่เป็นธรรมใด ๆ จะต้องตรงกับและถึงและ ) สำหรับทุกครั้ง $L_0$ $L'_0$ $L$ $R_0$ $R'_0$ $R$ $\pi(L_0, R_0) = \pi(L_0, R'_0) = 1$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $r\in R$ $\pi(L_0, r)$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ สำหรับขอบของเหตุการณ์ชุดและ 1 $\{i,j\}\in E$ $\pi(\ell(i,j), R_0) = i$ $\pi(\ell(i,j), R'_0) = |V|-i+1$

ที่ลดลงเสร็จสมบูรณ์ เพื่อให้เสร็จสมบูรณ์เราพิสูจน์ว่าถูกต้อง

ก่อนอื่นพิจารณาสิ่งที่คู่ของ vertices หลังครอบงำอดีตนั่นคือ $\ell(i,j),\ell(i',j')\in L$

(\forall r \in R) π (ℓ (i, j), r) \leq π (ℓ (i', j'), r) .

$(\forall r\in R)~\pi(\ell(i,j),r) \le \pi(\ell(i',j'), r).$

เมื่อพิจารณาถึงผลกำไรที่กำหนดให้กับขอบของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับและเงื่อนไขนี้สามารถพบได้ก็ต่อเมื่อและตรวจสอบคำจำกัดความของสำหรับขอบที่เหลืออยู่เงื่อนไขที่นั้นเพียงพอ ดังนั้นการจับคู่จึงมีความยุติธรรมถ้าหากมันกำหนดและให้กับและและสำหรับแต่ละตัวให้ผลกำไรเหมือนกันทุกจุดใน $R_0$ $R'_0$ $i=i'$ $\pi$ $i=i'$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$

N (i) = {ℓ (i, j) : {i, j} \in E} \cup {ℓ' (i, j) : {i, j} \in E} .

$N(i) = \{\ell(i,j) : \{i,j\}\in E\} \cup \{\ell'(i,j) : \{i,j\}\in E\}.$

ครั้งแรกคิดว่ามีชุดที่เป็นอิสระขนาดkรับการจับคู่ที่เหมาะสมสำหรับจากดังต่อไปนี้ $G$ $I$ $k$ $G'$ $I$

Matchและเพื่อและR'_0 $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$

สำหรับแต่ละจุดสุดยอดให้เป็นขอบเหตุการณ์ทั้งสาม สำหรับแต่ละขอบให้จับคู่จุดยอดและคู่ของ กับและ\}) นี้จะช่วยให้ทุกจุดในกำไรฉัน $i\in I$ $\{i,j_1\}, \{i,j_2\}, \{i,j_3\}$ $\{i, j_h\}$ $\ell(i,j_h)$ $\ell'(i,j_h)$ $r(\{i,j_h\})$ $r'(\{i, j_h\})$ $N(i)$ $i$

สำหรับแต่ละ vertices , สำหรับแต่ละสามขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับ , จับคู่และหุ้นส่วน บางคู่ที่ไม่ซ้ำกันของจุดฟิลเลอร์และพันธมิตรR'นี้จะช่วยให้ทุกจุดในกำไร0 $|V|-k$ $i\in V\setminus I$ $\{i,j\}$ $i$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r$ $r'$ $N(i)$ $0$

ดังนั้นการจับคู่นี้จึงยุติธรรม

ถัดไปสมมติว่ามีการจับคู่ยุติธรรมM $G'$ $M$

$M$ จะต้องตรงกับและเพื่อและR'_0สำหรับแต่ละการจับคู่ต้องให้แต่ละจุดยอดใน กำไรเท่ากัน สำหรับแต่ละคู่ก็อยู่ในเช่นกัน ดังนั้นโดยการตรวจสอบการลดลงกำไรของแต่ละจุดยอดดังกล่าวจะต้องเป็น (ซึ่งในกรณีนี้จุดยอดทั้งหกในถูกจับคู่กับจุดยอดและหุ้นส่วนของพวกเขา) หรือศูนย์ (ในกรณีนี้จุดยอดทั้งหกในถูกจับคู่กับฟิลเลอร์จุดยอดใน ) ปล่อย $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ $N(i)$ $\ell(i,j)\in N(i)$ $\ell'(i,j)$ $N(i)$ $i$ $N(i)$ $r(\{i,j\})$ $N(i)$ $R$ $I$ เป็นเซตของจุดยอดที่เคสเดิมเก็บ สำหรับแต่ละขอบจุดสุดยอดและคู่ของมันจะถูกจับคู่กับหนึ่งจุดยอด มันตามมาว่าเป็นชุดอิสระ เนื่องจากจำนวนของจุดฟิลเลอร์คือขนาดของต้องมีอย่างน้อยk $\{i,j\}$ $r(\{i,j\})$ $I$ $6(|V|-k)$ $I$ $k$

QED (?)

ฉันคิดว่ามันถูกต้องถ้าเป็นเรื่องเล็กน้อย แจ้งให้เราทราบหากคุณเห็นข้อผิดพลาดใด ๆ หรือวิธีการลดความซับซ้อนของการพิสูจน์

การลดที่กล่าวมาข้างต้นถือว่าเป็นเรื่องปกติที่จะใช้. ถ้านั่นเป็นสิ่งที่ไม่พึงประสงค์ฉันก็เดาได้ว่าเราสามารถใช้ กับจุดฟิลเลอร์, การกำหนดกำไร 0 ทั้งหมดของขอบยกเว้นขอบเพื่อและR'_0เราสามารถกำหนดผลกำไรให้กับขอบหลังเพื่อให้แน่ใจว่าจุดยอดฟิลเลอร์ไม่ได้ถูกครอบงำโดย (หรือควบคุม) จุดยอดอื่นใด $|R|>|L|$ $L$ $|R|-|L|$ $R_0$ $R'_0$

— โอนีลยัง
แหล่งที่มา