ขอบเขตล่างของการประมาณ

ผมอยากจะรู้ (ที่เกี่ยวข้องกับการนี้คำถามอื่น ๆ ) ถ้าขอบเขตที่ต่ำกว่าเป็นที่รู้จักกันสำหรับปัญหาการทดสอบต่อไปนี้: หนึ่งจะได้รับการเข้าถึงแบบสอบถามเพื่อลำดับของตัวเลขที่ไม่ใช่เชิงลบและมีสัญญาว่าทั้งหรือ ε $a_n \geq \dots\geq a_1$ $\varepsilon \in (0,1)$ $\sum_{k=1}^n a_k = 1$ $\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

วิธีการหลายคำสั่ง (การค้นหา) มีเพียงพอและจำเป็นสำหรับ (ปรับตัว) อัลกอริทึมแบบสุ่มที่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่างทั้งสองกรณีมีความน่าจะเป็นเวลาอย่างน้อย ? $2/3$

ฉันได้พบโพสต์ก่อนหน้านี้ที่ให้ลอการิทึม (ใน ) ขอบเขตบนสำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องของการประมาณผลรวมและขอบเขตที่ตรงกับขอบเขตล่างของปัญหาสำหรับอัลกอริทึมที่กำหนด แต่ไม่พบผลลัพธ์สำหรับปัญหาเฉพาะที่ฉันกำลังพิจารณา (โดยเฉพาะอัลกอริทึมแบบสุ่ม) $n$

แก้ไข: ทำตามคำตอบด้านล่างฉันเดาว่าฉันควรจะชัดเจนกว่า: ในข้างต้น (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน asymptotics สำหรับขอบเขตล่าง), คือปริมาณ "หลัก" ที่เห็นว่าจะไม่มีที่สิ้นสุดในขณะที่คือ ) คงที่ $n$ $\varepsilon$

reference-request randomized-algorithms property-testing

— ผ่อนผัน C.
แหล่งที่มา

ผมคิดว่าคุณหมายถึง

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} \leq 1 - ε

$\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

— RB

แน่นอน - แก้ไขมัน

— ผ่อนผันค.

ดีถ้าไม่มีคำสั่งการพึ่งพา

จะจำเป็นฉันคิดว่า (มีหรือไม่มีการสุ่มตัวอย่าง) อินสแตนซ์ "ไม่ดี" (คู่ของลำดับ) จะเป็นอินสแตนซ์ลำดับที่มี

ทั้งหมดเท่ากับ

n

$n$

a_{k}

$a_k$

ยกเว้นหนึ่ง (พลสุ่ม)

ดังกล่าวว่า

เป็นทั้งเท่ากับ

(ในลำดับแรก) และ

(ในครั้งที่สอง) หากไม่มีการสอบถาม

ทั้งสองลำดับจะไม่สามารถแยกออกจากกันได้ ...

\frac{1 - ε}{n - 1}

$\frac{1-\varepsilon}{n-1}$

j

$j$

a_{j}

$a_j$

ε

$\varepsilon$

0

$0$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Clement C.

ผมถือว่ารุ่นแบบสอบถามช่วยให้คุณสามารถเลือก

ที่คุณสอบถาม

เป็นสิทธินี้?

k

$k$

a_{k}

$a_k$

— kodlu

ใช่ (คุณต้องเลือกว่าจะเปิดเผย "จุดใด")

— Clement C. C.

คำตอบ:

นี่คือขอบเขตล่างที่ฉันสามารถแสดงได้ ผมคาดเดาว่าคง , ด้านล่างขวาผูกพันเป็นแต่ตามธรรมชาติผมอาจจะผิด $\epsilon$ $\Omega( \log n)$

ฉันจะใช้ลำดับที่ลดลง (เพื่อความสะดวก) กลไกพื้นฐานแบ่งลำดับออกเป็นบล็อกในบล็อกที่จะมีองค์ประกอบ (เช่น ) $L$ $i$ $n_i$ $\sum_i n_i = n$

ในต่อไปนี้เราต้องการขั้นตอนวิธีการที่จะประสบความสำเร็จกับความน่าสำหรับบางพารามิเตอร์ 0 $\geq 1-\delta$ $\delta >0$

ขอบเขตล่างแรก: ) $\displaystyle \Omega\left( \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta} \right)$

TH บล็อกมีองค์ประกอบดังนั้น nเราตั้งค่าขององค์ประกอบทั้งหมดในบล็อก TH จะเป็นที่เป็นตัวแปรที่เป็นทั้งหรือ1เห็นได้ชัดว่าผลรวมทั้งหมดของลำดับนี้คือ $i$ $n_i = 2^{i-1}$ $L = \lg n$ $i$ $(1+X_i)/(2n_iL)$ $X_i$ $0$ $1$ ลองนึกภาพการเลือกแต่ละมีโอกาสจะเป็นและมิฉะนั้น ในการประมาณการเราต้องประมาณการที่เชื่อถือได้ของβในอนุภาคเราต้องการที่จะสามารถที่จะแยกแยะฐานและการพูด,1

α = \sum_{i = 1}^{L} \frac{1 + X_{i}}{2 n_{i} L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 L} (\sum_{i = 1}^{L} X_{i}) .

$\alpha = \sum_{i=1}^L \frac{1+X_i}{2n_i L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2L}\left(\sum_{i=1}^L X_i \right).$

X_{i}

$X_i$

β

$\beta$

1

$1$

0

$0$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β = 1 - 4 ϵ

$\beta = 1-4\epsilon$

β = 1

$\beta=1$

ทีนี้ลองนึกภาพการสุ่มตัวอย่างของตัวแปรสุ่มเหล่านี้แล้วให้เป็นตัวแปรตัวอย่าง การตั้งค่า (โปรดทราบว่าเราใช้ผลรวมของตัวแปรประกอบ ) เรามีและความไม่เท่าเทียมเชิง Chernoff บอกเรา ถ้า $m$ $Z_1, \ldots, Z_m$ $Y = \sum_{i=1}^m (1-X_i)$ $\mu = E[Y] = (1-\beta) m$ แล้วและความน่าจะเป็นของความล้มเหลวคือ เพื่อให้ปริมาณนี้น้อยกว่า $\beta =1-4\epsilon$ $\mu = 4\epsilon m$

P [Y \leq 2 ϵ m] = P [Y \leq (1 - 1 / 2) μ] \leq \exp (- μ (1 / 2)^{2} / 2) = \exp (- ϵ m / 2) .

$P\left[ Y \leq 2\epsilon m \right] = P\left[ Y \leq (1-1/2) \mu \right] \leq \exp \left( -\mu (1/2)^2 / 2 \right) = \exp \left( -\epsilon m / 2 \right).$

เราต้องการ

δ

$\delta$

m \geq \frac{2}{ϵ} \ln \frac{1}{δ}

$\displaystyle m \geq \frac{2}{\epsilon} \ln \frac{1}{\delta}$

ข้อสังเกตที่สำคัญคือความไม่สมดุลของเชอร์อฟฟ์นั้นแน่น (ต้องระวังเพราะมันไม่ถูกต้องสำหรับพารามิเตอร์ทั้งหมด แต่มันถูกต้องในกรณีนี้) ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถทำได้ดีกว่านั้น (มากถึงค่าคงที่)

ประการที่สองขอบเขตล่าง: ) $\Omega( \log n / \log \log n)$

$i$ $n_i = L^i$ $L = \Theta( \log n / \log \log n)$ $i$ $\alpha_i = \Bigl(1/L\Bigr)/n_i$ $1$

$j$ $\alpha_{j-1} = L \alpha_j$ $\alpha_j$ $j$ $1/L$ $1$ $2$

$L$

$p=1/2$ $1$ $L/8$ $1/8$ $L/8$

(1 - p) (7 / 8) > 7 / 16 > 1 / 3.

$(1-p)(7/8) > 7/16 > 1/3.$

$\Omega(1/\epsilon^2)$

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา

Ω (1 / ϵ)

$\Omega(1/\epsilon)$

β < 1

$\beta < 1$

β

$\beta$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

X_{i}

$X_i$

ϵ

$\epsilon$

ใช่. หากคุณต้องการแยกแยะความแตกต่างระหว่าง 1 ถึง 1-epsilon แน่นอนว่าคุณไม่สามารถปรับปรุงขอบเขตล่าง ... ฉันคิดว่าจะพยายามแยกแยะช่วงอื่น ๆ ... s

— Sariel Har-Peled

ขอบเขตล่าง

$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

$a_1,\dots,a_n$ $\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,4\epsilon,\dots$ $n$ $a_1+\dots+a_n = 1$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$

$a'_1,\dots,a'_n$ $\epsilon$ $a'_1=a_1$ $a'_2=a_2$ $a'_i = a_i - \epsilon$ $a'_1 + \dots + a'_n = 1-\epsilon$

$a_1,\dots,a_n$ $a'_1,\dots,a'_n$ $i$ $\Omega(n)$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$ $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

ขอบบน

$O(\lg(n/\epsilon) [\lg n + 1 / \epsilon^2])$

$[0,1]$

[0, 1] = [0, 0.25 ϵ / n] \cup (0.25 ϵ / n, 0.5 ϵ / n] \cup (0.5 ϵ / n, ϵ / n] \cup (ϵ / n, 2 ϵ / n] \cup (2 ϵ / n, 4 ϵ / n] \cup \dots \cup (\dots, 1] .

$[0,1] = [0,0.25\epsilon/n] \cup (0.25\epsilon/n,0.5\epsilon/n] \cup (0.5\epsilon/n,\epsilon/n] \cup (\epsilon/n,2\epsilon/n] \cup (2\epsilon/n,4\epsilon/n] \cup \dots \cup (\ldots,1].$

$a_i$ $a_i$ $a_i$ $[\ell,u]$ $i,j$ $a_i,\dots,a_j \in [\ell,u]$ $O(\lg(n/\epsilon))$

ตอนนี้เราจะประมาณผลรวมของค่าในแต่ละช่วง ช่วงแรกจะได้รับการจัดการแยกต่างหากจากส่วนที่เหลือทั้งหมด:

$[0,0.25\epsilon/n)$ $0$ $m \times 0.25\epsilon/n$ $m$ $m \le n$ $0.25 \epsilon$
$\delta$ $O(1/\delta^2)$ $2 \times$ $\delta = 0.25 \epsilon$

$0.25 \epsilon$ $0.25 \epsilon$ $\le 0.5 \epsilon$ $1$ $1-\epsilon$

— ใบสำคัญแสดงสิทธิอนุพันธ์
แหล่งที่มา

ขอบคุณ - สิ่งนี้ดูน่าสนใจ (เท่าที่ฉันสามารถบอกได้มันไม่ใช่วิธีการเดียวกับที่ใช้ในบทความ / การสนทนาที่เชื่อมโยงด้านบน) และฉันจะมองลึกลงไปถึงสิ่งที่คุณเขียน แต่ผมกำลังมองหาผูกพันลดลงมากกว่าที่ถูกผูกไว้บน - คือวิธีการหลายคำสั่งที่มีความจำเป็น

— ผ่อนผัน C.

(เมื่อถึงเวลาฉันจะมอบรางวัล "ความโปรดปราน" ให้กับคำตอบอย่างไรก็ตาม - ฉันยังคงมองหาการอ้างอิงสำหรับขอบเขตล่างหากมีที่ใดที่หนึ่งอยู่ที่นั่น)

— Clement C.

@ClementC. ฉันได้เพิ่มขอบเขตล่างตามคำขอของคุณ

— DW

n

$n$

ε

$\varepsilon$