มี CCC ที่รู้จักใด ๆ ถูกปิดภายใต้การดำเนินการโดเมนพลังงานคงที่หรือไม่?

มีความหมายเชิง Denotational ที่เป็นที่รู้จักสำหรับภาษาโปรแกรมเชิงฟังก์ชันที่มีความน่าจะเป็นสูงกว่าหรือไม่ โดยเฉพาะมีรูปแบบโดเมนของบริสุทธิ์ untypedแคลคูลัสขยายโดยการดำเนินการเลือกไบนารีสุ่มสมมาตร$\lambda$

แรงจูงใจ

หมวดหมู่คาร์ทีเซียนปิดให้ความหมายกับคำสั่งที่สูงกว่า -calculi โดเมนพลังงานที่น่าจะเป็นให้ความหมายกับโปรแกรมสุ่ม CCC ที่ปิดภายใต้การดำเนินการโดเมนพลังงานที่น่าจะเป็นจะให้ความหมายกับภาษาการเขียนโปรแกรมฟังก์ชั่นการสั่งซื้อที่สูงขึ้น$\lambda$

งานที่เกี่ยวข้อง

Tix, Keimel และ Plotkin (2004) [1] ให้การก่อสร้างที่ทันสมัยของการดำเนินการด้านล่าง -, ด้านบน, และนูน - powerdomain แต่ตั้งข้อสังเกตว่า

มันยังคงเป็นปัญหาที่เปิดกว้างว่ามีโดเมนประเภทต่อเนื่องแบบคาร์ทีเซียนที่ปิดอย่างต่อเนื่องหรือไม่ซึ่งอยู่ภายใต้การสร้างโดเมนพลังงานความน่าจะเป็น

Mislove (2013) [2,3] ให้ซีแมนทิกส์สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องในภาษาอันดับหนึ่ง แต่พูดว่า

แม้ว่าโดเมนกำลังน่าจะเป็นออกจาก CCC ของ posets สมบูรณ์กำกับ (dcpos, สั้น ๆ ) และสก็อตต์อย่างต่อเนื่องแผนที่คงที่ไม่มีหมวดหมู่ของโดเมนคาร์ทีเซียนปิด - dcpos ที่ตอบสนองสมมติฐานการประมาณปกติ - ที่เป็นที่รู้จักกันคงที่ภายใต้ โครงสร้างนี้ สิ่งที่ดีที่สุดที่เป็นที่รู้จักคือหมวดหมู่ของโดเมนที่สอดคล้องกันนั้นไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ความน่าจะเป็นทางเลือก monad [4] แต่หมวดนี้ไม่ได้ปิดคาร์ทีเซียน

อ้างอิง

1. Regina Tix เคลาส์ Keimel และกอร์ดอน Plotkin (2004) "โดเมนความหมายสำหรับการรวมความน่าจะเป็นและไม่ใช่ชะตา"
2. Michael Mislove (2013) "กายวิภาคของโดเมนของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องฉัน"
3. Michael Mislove (2013) "กายวิภาคของโดเมนของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง II"
4. Jung, A. และ R. Tix (1998) "โดเมนของความน่าจะเป็นที่น่าจะเป็นปัญหา"

ต่อไปนี้เป็นความคิดเห็นเพิ่มเติม แต่ไม่ได้ตอบคำถามของคุณในเงื่อนไขที่คุณโพสต์ไว้ แต่ให้ความหมายสำหรับแคลคูลัสความน่าจะเป็นอันดับสูงที่คุณอาจสนใจ

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมามีงานวิจัยมากมายที่เรียกว่าซีแมนทิกส์เชิงเส้นเชิงตรรกะของเชิงเส้นเชิงตรรกะซึ่งมีพื้นฐานมาจากความคิด (แต่เดิมเป็นเพราะกิราร์ด [1]) ว่าโปรแกรมระดับสูง ในกรณีความน่าจะเป็นสิ่งนี้ใช้รูปแบบของช่องว่างการเชื่อมโยงความน่าจะเป็น (PCS), ยังแนะนำโดย Girard [2] และศึกษาในเชิงลึกโดย Danos และ Ehrhard [3] PCS ให้แบบจำลองของแคลคูลัสความน่าจะเป็นทั้งที่พิมพ์และไม่พิมพ์ซึ่งมีลักษณะแตกต่างกันมากกว่าโดเมนพลังงานและโมเดลที่เกี่ยวข้องกับ monad อื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง PCS ให้สิ่งที่เป็นรูปแบบนามธรรมที่เป็นที่รู้จักอย่างสมบูรณ์เพียงอย่างเดียวของ PCF ความน่าจะเป็น [4] ซึ่งเป็นเรื่องที่ยากและดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ที่จะบรรลุด้วยโดเมนพลังงาน (cf. งานของJean Goubault-Larrecq )

นอกเหนือจาก Ehrhard แล้วความหมายเชิงปริมาณได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขันโดยMichele Paganiและผู้เขียนร่วมฉันขอแนะนำให้คุณดูหน้าเว็บของเขาเพื่อรับการอ้างอิงเพิ่มเติม

$\lambda$

[2] Jean-Yves ราร์ดระหว่างตรรกะและ Quantic: ระบบทางเดิน เชิงเส้นในเชิงตรรกะในวิทยาการคอมพิวเตอร์ , CUP, 2004

[3] วินเซนต์ Danos และโทมัส Ehrhard, ช่องว่างการเชื่อมโยงกันน่าจะเป็นรูปแบบของลำดับที่สูงกว่าการคำนวณความน่าจะเป็น สารสนเทศและการคำนวณ 209 (6): 966-991, 2011

[4] Thomas Ehrhard, Michele Pagani และ Christine Tasson, ช่องว่างการเชื่อมโยงความน่าจะเป็นเป็นนามธรรมอย่างสมบูรณ์สำหรับ PCF ที่น่าจะเป็น ในการดำเนินการของ POPL , pp. 309-320, 2014

ความคิดเห็นด้านล่างถูกต้อง แต่สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายขององค์ประกอบ "จำกัด " หรือ "กะทัดรัด" ของโดเมน สิ่งเหล่านี้คือ denotations ของวัตถุที่คำนวณได้ในเวลาที่ จำกัด ดังนั้นรูปลักษณ์ของพวกเขาในรูปแบบความหมายไม่ได้มีไว้เพื่อความสะดวกในการพิสูจน์ทางทฤษฎี - พวกเขาเป็นตัวแทนของการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งระหว่างแบบจำลอง

คำพูดของ Mislove มีคำตอบในเชิงบวกอยู่แล้ว: หมวดหมู่ของ dcpos นั้นถูกปิดไว้ตามปกติและยังปิดภายใต้โดเมนที่น่าจะเป็น มันสามารถนำมาใช้เพื่อให้ความหมายเชิง Denotational กับการคำนวณความน่าจะเป็นที่สูงขึ้น อย่างไรก็ตาม dcpos ล้มเหลวในการตอบสนอง "สมมติฐานการประมาณปกติ" ที่องค์ประกอบทุกคนสามารถประมาณโดยองค์ประกอบ "จำกัด " ในบางแง่เช่นกรณีของโคเคนพีชคณิตและต่อเนื่อง สมมติฐานเหล่านี้ช่วยในการโต้แย้ง denotational แต่ไม่จำเป็นต้องให้ความหมายต่อ