ครอบคลุมเวลาของกราฟกำกับ

เมื่อพิจารณาการเดินแบบสุ่มบนกราฟเวลาที่ครอบคลุมเป็นครั้งแรก (จำนวนขั้นบันไดที่คาดหวัง) ที่จุดยอดทุกจุดถูกตี (ครอบคลุม) โดยการเดิน สำหรับการเชื่อมต่อแบบไร้ทิศทางกราฟเวลาปกเป็นที่รู้จักกันที่จะกระโดดบนโดย3) มี digraphs ที่เกี่ยวโยงกันอย่างมากกับการชี้แจงเวลาครอบคลุมในเป็นnตัวอย่างนี้เป็นเดี่ยวประกอบด้วยวงจรกำกับและขอบจากจุด1 เริ่มต้นจากจุดสุดยอดครั้งคาดว่าจะสุ่มเดินไปถึงจุดสุดยอดเป็นn) ฉันมีสองคำถาม:$O(n^3)$$n$$(1, 2, ..., n, 1)$$(j, 1)$$j = 2, ..., n − 1$$1$$n$$\Omega(2^n)$

1) คลาสที่รู้จักกันของกราฟกำกับที่มีเวลาครอบคลุมพหุนามคืออะไร? คลาสเหล่านี้อาจถูกกำหนดโดยคุณสมบัติกราฟเชิงทฤษฎี (หรือ) โดยคุณสมบัติของเมทริกซ์ adjacency ที่สอดคล้องกัน (พูด ) ตัวอย่างเช่นหากเป็นสมมาตรดังนั้นเวลาที่ครอบคลุมของกราฟคือพหุนาม$A$$A$

2) มีตัวอย่างที่ง่ายขึ้น (เช่นตัวอย่างวัฏจักรที่กล่าวถึงข้างต้น) ซึ่งเวลาครอบคลุมเป็นเลขชี้กำลังหรือไม่

3) มีตัวอย่างที่มีเวลาครอบคลุมกึ่งพหุนาม

ฉันขอขอบคุณพอยน์เตอร์สำหรับการสำรวจ / หนังสือที่ดีในหัวข้อนี้

เวลาผสมพหุนามชัดเจนว่าหมายถึงเวลาที่ครอบคลุมพหุนาม (ไม่ใช่โดยทั่วไปเราต้องการความน่าจะเป็นประจำอย่างน้อยในแต่ละจุดยอด) ดังนั้นตรวจสอบกระดาษตัวนำของ Mihail และการบรรจบกันของโซ่มาร์คอฟ - การบำบัดแบบ combinatorial ของเครื่องขยายซึ่งพิสูจน์การผสมอย่างรวดเร็ว กราฟกำกับและโซ่มาร์คอฟทั่วไปขึ้นอยู่กับความนำไฟฟ้า$1/poly(n)$

เห็นกระดาษPseudorandom เดินบน digraphs ปกติและปัญหา RL vs. Lโดย Reingold, Trevisan และ Vadhan ติดตามงานของ Mihail พวกเขากำหนดพารามิเตอร์ซึ่งเทียบเท่ากับλ 2 ( G )ที่ eigenvalue ใหญ่เป็นอันดับสองในค่าสัมบูรณ์เมื่อกราฟGเป็นเวลาย้อนกลับและยังคงเป็นที่ดีที่กำหนดสำหรับกลุ่มมาร์คอฟทั่วไป พารามิเตอร์นี้ถูกนำมาใช้เพื่อผูกพันในเวลาผสมของG$\lambda_\pi(G)$$\lambda_2(G)$$G$$G$

$D_{n,p}$$np=d \log n, d>1$

• $d > 1$$D_{n,p}$$d \log (d/(d-1)) n \log n$$d=d(n) \rightarrow \infty$$n$$n \log n$

• $p = d \log n/n$$d>1$$C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$

• $d>1$$x$$(0,1)$$x = 1-e^{-dx}$$X_g$$G_{n,p},p=d/n$$C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$

• $r \geq 3$$G_{n,r}$$r$$[n]$$r \geq 3$$C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$

• $m \geq 2$$G_m$$2m$$C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$

• $k \geq 3$$G_{r,k}$$\mathcal{R}^k$$r$$d \log n$$C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

ดูCooper, C. , & Frieze, A. การกระจายเครื่องเขียนและครอบคลุมเวลาของการเดินสุ่มบนกราฟแบบสุ่ม วารสาร Combinatorial Theory, Series B (2011)