โซ่เลื่อนมีสองสีหรือไม่?

สำหรับ⊂ [ n ]แสดงว่าโดยองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของ$A\subset [n]$$a_i$$i^{th}$$A$

สำหรับสองชุดองค์ประกอบ,เราบอกว่าถ้าทุกฉัน$k$$A,B\subset [n]$$A\le B$$a_i\le b_i$$i$

hypergraph -uniformเรียกว่ากะโซ่ถ้า hyperedges ใด ๆเรามีหรือ(ดังนั้น shift-chain จึงมีhyperedges มากที่สุดที่$k$${\mathcal H}\subset [n]$$A, B \in {\mathcal H}$$A\le B$$B\le A$$k(n-k)+1$

เราบอกว่าไฮเปอร์กราฟ นั้นมีสองสี (หรือมันมีคุณสมบัติ B) ถ้าเราสามารถระบายสีจุดยอดของมันด้วยสองสีเพื่อที่ว่าไฮเปอร์จะไม่มีสีเดียว${\mathcal H}$

เป็นความจริงไหมที่ shift-chain นั้นมีสองสีถ้ามีขนาดใหญ่พอ?$k$

หมายเหตุ. ฉันโพสต์ปัญหานี้ครั้งแรกในmathoverflowแต่ไม่มีใครแสดงความคิดเห็น

ปัญหาที่ได้รับการตรวจสอบในวันที่ 1 Emlektabla การประชุมเชิงปฏิบัติการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์บางส่วนบางส่วนให้ดูหนังสือเล่มเล็ก

คำถามคือแรงบันดาลใจจากการสลายตัวของเครื่องบินหลายลำโดยการแปลรูปร่างนูนมีคำถามเปิดมากมายในพื้นที่นี้ (สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมให้ดูที่วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของฉัน)

สำหรับมีตัวอย่างการตอบโต้เล็กน้อย: (12), (13), (23)$k=2$

ตัวอย่างที่มีมนต์ขลังมากมอบให้สำหรับโดย Radoslav Fulek ด้วยโปรแกรมคอมพิวเตอร์:$k=3$

(123) (124) (125) (135) (145) (245) (345) (346) (347) (357)

(367) (467) (567) (568) (569) (579) (589) (689) (789)

ถ้าเราช่วยให้ hypergraph ที่จะเป็นสหภาพของทั้งสองกะโซ่ (คำสั่งเดียวกัน) แล้วมี counterexample สำหรับใด ๆk$k$

ปรับปรุง ฉันมีการจัดการเมื่อเร็ว ๆ นี้เพื่อแสดงให้เห็นว่ารุ่นที่ จำกัด มากขึ้นของโซ่เลื่อนเป็นสองสีในงานพิมพ์นี้

เงินรางวัลถาวร! ฉันมีความสุขที่ได้รับรางวัล 500 รางวัลสำหรับการแก้ปัญหาทุกเวลา!

นี่ไม่ใช่คำตอบ สิ่งต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์อย่างง่ายว่าการสร้างk = 3 นั้นเป็นตัวอย่างที่แท้จริง ผมคิดว่าผู้ถามรู้ว่าหลักฐานนี้ แต่ฉันจะโพสต์มันอยู่แล้วเพราะหลักฐานที่เป็นสิ่งที่ดีและสิ่งนี้อาจจะมีประโยชน์เมื่อมีคนพิจารณากรณีของขนาดใหญ่k

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าเป็นเชน แสดงว่ามันไม่มี Property B

อันที่จริงแล้ว subhypergraph {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (357), (367), (467), (567), (568), (569) (789)} แล้วล้มเหลวในการตอบสนองความต้องการอสังหาริมทรัพย์บีเห็นนี้สมมติว่า hypergraph นี้มี 2 สีและปล่อยให้ค_ผมเป็นสีของจุดสุดยอดที่ฉัน ดูไฮเปอร์เดตสามตัว (145), (245), (345) ถ้าc ₄ = c ₅ดังนั้นทั้งหมดของ 1, 2 และ 3 จะต้องเป็นสีตรงข้ามกับc ₄แต่สิ่งนี้จะทำให้ไฮดรอลิกแบบ monochromatic (123) ดังนั้นจึงต้องเป็นกรณีที่ค₄ ≠ ค 5 ในทำนองเดียวกัน

• c ₃ ≠ c ₄โดยเปรียบเทียบไฮเปอร์เดตทั้งสาม (345), (346), (347) และสังเกตเห็นไฮเปอร์ด์ (567)
• c ₆ ≠ c ₇โดยเปรียบเทียบไฮเปอร์เดตทั้งสาม (367), (467), (567) และสังเกตเห็นไฮเปอร์ (345)
• c ₅ ≠ c ₆โดยเปรียบเทียบไฮเปอร์เดตทั้งสาม (567), (568), (569) และสังเกตไฮเปอร์ (789)

ดังนั้นเรามีc ₃ ≠ c ₄ ≠ค₅ ≠ ค₆ ≠ ค 7 แต่นี่ก็หมายถึงc ₃ = c ₅ = c ₇ทำให้ไฮเปอร์ลิ้งค์ (357) เป็นสีเดียว สิ่งนี้ขัดแย้งกับการสันนิษฐานของการระบายสี 2 แบบ

บางทีฉันขาดอะไรบางอย่าง แต่ฉันคิดว่ามันมีขอบเขตล่างที่ดีด้วยวิธีความน่าจะเป็น:

หากคุณสีแต่ละจุดสุดยอด indepedently กับความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละสีนั้นของคุณมีขอบสีเดียวกับความน่าจะเป็น2 ⋅ ( $1/2$1 ด้วยบทแทรกของLovaszคุณจะเห็นว่า shift-chain มีคุณสมบัติBถ้า k(n-k)+1≤2 k - $2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$ ฉันไม่สามารถแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้โดยตรง แต่ถ้าคุณมีk=Ω(บันทึก(n))คุณจะได้ทางซ้ายมือสักครู่หนึ่งเช่นnlog(n)และทางขวามือ

มี ขอบเขตที่ดีกว่าของกับจำนวนขอบสำหรับ$O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$