ข้อ จำกัด ทางทฤษฎีกราฟเพื่อพิสูจน์ในทฤษฎีความซับซ้อนพิสูจน์

ความซับซ้อนของการพิสูจน์เป็นพื้นที่พื้นฐานที่สุดของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ จุดประสงค์สูงสุดของพื้นที่นี้คือเพื่อพิสูจน์ว่านั่นคือผู้ตรวจสอบใด ๆ ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่น่าพอใจของสูตรป้อนข้อมูลที่ให้ $NP\neq coNP$

กราฟเป็นหนึ่งในรูปแบบที่เป็นทางการของการพิสูจน์ คำถามของฉันเกี่ยวกับข้อ จำกัด เพิ่มเติมของรุ่นนี้

หลักฐานจะแสดงเป็น DAG โหนดที่มีพัดลมอิน 0 มีป้ายกำกับความจริง โหนดที่ไม่ซ้ำซึ่งมี fan-out 0 สอดคล้องกับ "false" สำหรับกฎอินพุตที่ได้รับจากการหักแต่ละโหนดที่มีทั้งแบบ in-degree และ out-degree มีเลเบลที่เป็นตัวแทนของข้อเสนอ

คำถามของฉันคือ:

มีระบบพิสูจน์และงานวิจัยที่เกี่ยวข้องในกรณีที่คลาสของ DAGs ถูก จำกัด หรือไม่? ยินดีต้อนรับท่านด้วยกระดาษการสำรวจและบันทึกการบรรยาย

ระบบพิสูจน์ที่มีการศึกษาก่อนหน้านี้เช่น Nullstellensatz, ความคมชัด, LS, AC0 Frege, RES (k), Polynomial Caluculus และระนาบการตัดมีลักษณะทางทฤษฎีกราฟบ้างไหม?

ข้อ จำกัด ที่เป็นธรรมชาติที่สุดในการพิสูจน์ DAG คือมันเป็นต้นไม้ - นั่นคือ "บทแทรก" (บทสรุปกลาง) ใด ๆ ที่ไม่ได้ใช้มากกว่าหนึ่งครั้ง คุณสมบัตินี้เรียกว่า "เหมือนต้นไม้" ความละเอียดทั่วไปคือชี้แจงประสิทธิภาพมากขึ้นกว่าความละเอียดต้นไม้เหมือนดังที่แสดงเช่นโดยเบน Sasson, Impagliazzo และ Wigderson แนวคิดนี้ยังได้รับการพิจารณาสำหรับระบบพิสูจน์อื่น ๆ - เพียงแค่ค้นหา "tree-like X" โดยที่ X เป็นระบบพิสูจน์ที่น่าสนใจ ในกรณีเฉพาะของการแก้ปัญหามีข้อ จำกัด อื่น ๆ ที่สามารถพิจารณาได้ ดูตัวอย่างกระดาษของAlekhnovich, Johannsen, Pitassi และ Urquhartเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาปกติ

การแก้ปัญหาคล้ายต้นไม้มีความสำคัญอย่างยิ่งเนื่องจากการใช้งานแบบดั้งเดิมของ DPLL สอดคล้องกับการแก้ไขปัญหาแบบต้นไม้ เทคนิคการเรียนรู้ข้อที่มีความสำคัญในการปฏิบัติสอดคล้องกับการอนุญาตให้ DAG ทั่วไป ดังนั้นโครงสร้างของการพิสูจน์ DAG จึงขึ้นอยู่กับอัลกอริทึมที่สร้าง

การศึกษาMüllerและ Szeiderการแก้ปัญหาความละเอียดที่การพิสูจน์ DAG ได้ล้อมรอบความกว้างของต้นไม้หรือความกว้างของเส้นทาง (สำหรับส่วนขยายที่เหมาะสมของมาตรการความซับซ้อนของกราฟเหล่านี้ไปยังกราฟกำกับ)

พวกเขาแสดงให้เห็นว่าความกว้างของเส้นทางของ DAG นั้นเหมือนกับความซับซ้อนของพื้นที่ในการพิสูจน์และกำหนดแนวความคิดทั่วไปของพื้นที่การพิสูจน์ซึ่งเทียบเท่ากับความกว้างของต้นไม้

สำหรับการที่แข็งแกร่งระบบหลักฐานพอการแสดงกราฟการพิสูจน์ในระบบดูเหมือนว่าเป็นผลสืบเนื่องน้อยตั้งแต่ (โจชัว Grochow แสดงความคิดเห็นแล้ว) หยักเหมือนและต้นไม้พิสูจน์ Frege เทียบเท่า polynomially (ดู Krajicek 1995 เอกสารหลักฐานของความเป็นจริงนี้ )

สำหรับระบบการพิสูจน์ที่อ่อนแอกว่าเช่นความละเอียดต้นไม้จะมีความอ่อนแอมากกว่าการพิสูจน์แบบ DAG (ตามที่ Yuval Filmus อธิบายไว้ข้างต้น)

Beckmann และ Buss [1] (ตาม Beckmann [2] ) พิจารณาจำกัดความสูง (เท่ากันความลึก) ของกราฟการพิสูจน์ของการพิสูจน์ Frege เชิงลึกคงที่และตรวจสอบความสัมพันธ์ระหว่าง DAG-like ต้นไม้ขนาดและความสูงของความลึกคงที่ หลักฐาน Frege (สังเกตความแตกต่างระหว่างการจำกัดความลึกของกราฟพิสูจน์และจำกัดความลึกของวงจรที่ปรากฏในบรรทัดหลักฐาน)

อาจมีการแยกระหว่างพิสูจน์เหมือนต้นไม้และ DAG เหมือน Nullstellensatz (และแคลคูลัสพหุนาม) ซึ่งฉันจำไม่ได้ในขณะนี้