ตัวอย่างขนาดตัวอักษร (

ปล่อย $\Sigma$เป็นตัวอักษรเช่นชุดที่ไม่มีข้อ จำกัด สตริงเป็นลำดับที่แน่นอนขององค์ประกอบ (ตัวอักษร) จาก$\Sigma$. ตัวอย่างเช่น,$\{0, 1\}$ เป็นตัวอักษรไบนารีและ $0110$ เป็นสตริงสำหรับตัวอักษรนี้

โดยปกติตราบใดที่ $\Sigma$ มีองค์ประกอบมากกว่า 1 รายการจำนวนองค์ประกอบที่แน่นอนใน $\Sigma$ไม่สำคัญ: ที่ดีที่สุดเราจบลงด้วยค่าคงที่ที่แตกต่างกันที่ไหนสักแห่ง มันไม่สำคัญว่าถ้าเราใช้ตัวอักษรไบนารีตัวเลขตัวอักษรละตินหรือ Unicode

มีตัวอย่างของสถานการณ์ที่สำคัญขนาดตัวอักษรหรือไม่?

เหตุผลที่ฉันสนใจสิ่งนี้เพราะฉันบังเอิญเจอตัวอย่างเช่น:

สำหรับตัวอักษรใด ๆ $\Sigma$ เรากำหนด oracle แบบสุ่ม $O_{\Sigma}$ เป็น oracle ที่ส่งคืนองค์ประกอบแบบสุ่มจาก $\Sigma$เช่นว่าทุกองค์ประกอบมีโอกาสเท่ากันในการส่งคืน (ดังนั้นโอกาสสำหรับทุกองค์ประกอบคือ $\frac{1}{|\Sigma|}$)

สำหรับตัวอักษรบางตัว $\Sigma_1$ และ $\Sigma_2$ - อาจมีขนาดแตกต่างกัน - พิจารณาคลาสของ oracle machine ที่สามารถเข้าถึงได้ $O_{\Sigma_1}$. เราสนใจเครื่องจักร oracle ในคลาสนี้ที่มีพฤติกรรมเหมือนกับ$O_{\Sigma_2}$. กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องการแปลง oracle$O_{\Sigma_1}$ เข้าสู่ oracle $O_{\Sigma_2}$ใช้เครื่องทัวริง เราจะเรียกโปรแกรมแปลงไฟล์ดังกล่าวเป็นเครื่องทัวริง

ปล่อย $\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$ และ $\Sigma = \{ 0, 1, 2, 3 \}$. แปลง$O_{\Sigma_1}$ เข้าสู่ oracle $O_{\Sigma_2}$ เป็นเรื่องง่าย: เราค้นหา $O_{\Sigma_1}$ สองครั้งโดยแปลงผลลัพธ์ดังนี้: $00 \rightarrow 0$, $01 \rightarrow 1$, $10 \rightarrow 2$, $11 \rightarrow 3$. เห็นได้ชัดว่าโปรแกรมนี้ทำงาน$O(1)$ เวลา.

ตอนนี้ขอ $\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$ และ $\Sigma = \{ 0, 1, 2 \}$. สำหรับสองภาษานี้โปรแกรมการแปลงทั้งหมดจะทำงาน$O(\infty)$ เวลาคือไม่มีโปรแกรมการแปลงจาก $O_{\Sigma_1}$ ถึง $O_{\Sigma_2}$ ที่ทำงานใน $O(1)$ เวลา.

สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้จากความขัดแย้ง: สมมติว่ามีโปรแกรมการแปลงอยู่ $C$ จาก $O_{\Sigma_1}$ ถึง $O_{\Sigma_2}$ ทำงานใน $O(1)$เวลา. ซึ่งหมายความว่ามี$d \in \mathbb{N}$ ดังนั้น $C$ ทำให้มากที่สุด $d$ คำค้นหา $\Sigma_1$.

$C$ อาจทำให้น้อยกว่า $d$แบบสอบถามในเส้นทางการดำเนินการบางอย่าง เราสามารถสร้างโปรแกรมแปลงไฟล์ได้อย่างง่ายดาย$C'$ ที่ดำเนินการ $C$การติดตามว่ามีการสร้าง oracle query กี่ครั้ง ปล่อย$k$ เป็นจำนวนของแบบสอบถาม Oracle $C'$ แล้วทำให้ $d-k$ ข้อความค้นหาเพิ่มเติมของ Oracle ยกเลิกผลลัพธ์แล้วส่งคืนอะไร $C$ จะได้กลับมา

ด้วยวิธีนี้มีอย่างแน่นอน $|\Sigma_1|^d = 2^d$ เส้นทางการดำเนินการสำหรับ $C'$. เผง$\frac{1}{|\Sigma_2|} = \frac{1}{3}$ ของเส้นทางการดำเนินการเหล่านี้จะส่งผลให้ $C'$ การคืน $0$. อย่างไรก็ตาม$\frac{2^d}{3}$ไม่ใช่จำนวนเต็มดังนั้นเราจึงมีข้อขัดแย้ง ดังนั้นจึงไม่มีโปรแกรมดังกล่าวอยู่

โดยทั่วไปถ้าเรามีตัวอักษร $\Sigma_1$ และ $\Sigma_2$ กับ $|\Sigma_1|=n$ และ $|\Sigma_2|=k$จากนั้นมีโปรแกรมการแปลงจาก $O_{\Sigma_1}$ ถึง $O_{\Sigma_2}$ ถ้าหากเฉพาะช่วงเวลาทั้งหมดที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ $n$ ก็ปรากฏตัวในตัวประกอบสำคัญของ $k$ (ดังนั้นเลขชี้กำลังของจำนวนเฉพาะในการแยกตัวประกอบไม่สำคัญ)

ผลที่ตามมาคือว่าถ้าเรามีเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มสร้างสตริงไบนารีของความยาว $l$เราไม่สามารถใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มนั้นเพื่อสร้างตัวเลขได้ $\{0, 1, 2\}$ ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกัน

ฉันคิดปัญหาข้างต้นเมื่อยืนอยู่ในซุปเปอร์มาร์เก็ตคิดว่าจะกินอะไรดี ฉันสงสัยว่าฉันสามารถใช้การโยนเหรียญเพื่อตัดสินใจเลือกระหว่าง A, B และ C ได้หรือไม่หากเป็นไปไม่ได้

มีตัวอย่างบางส่วนในทฤษฎีภาษาที่เป็นทางการซึ่งตัวอักษร 2 ตัวและ 3 ตัวอักษรให้พฤติกรรมที่แตกต่างในเชิงคุณภาพ Kozen ให้ตัวอย่างที่ดีดังต่อไปนี้(ถอดความ):

ปล่อยให้ตัวอักษรเป็น $\Sigma$= {1, .. , k} ด้วยการเรียงลำดับตัวเลขมาตรฐานและกำหนด sort (x) เพื่อให้เรียงลำดับคำว่า x ที่ตัวอักษรของ x ปรากฏในลำดับที่เรียงลำดับ ขยายการเรียงลำดับ (A) = {sort (x) | x$\in$ A} และพิจารณาการอ้างสิทธิ์ต่อไปนี้:

ถ้า A ไม่มีบริบทดังนั้นการเรียงลำดับ (A) จะไม่มีบริบท

การอ้างสิทธิ์นี้เป็นจริงสำหรับ k = 2 แต่เป็นเท็จสำหรับ k $\ge$ 3

การพิสูจน์ทฤษฎีบท PCP ของ Dinurอาศัยการจัดการขนาดตัวอักษรเป็นอย่างมาก

โดยเฉพาะอย่างยิ่งโครงสร้างโดยรวมของการพิสูจน์คือการประยุกต์ซ้ำของเทคนิคการเปิดใช้งานกราฟเป็นลอการิทึมในจำนวนขนาดกราฟครั้ง ในการวนซ้ำแต่ละกราฟจะถูกประมวลผลล่วงหน้าเป็นกราฟขยายตัวปกติขยายด้วยกำลัง (ซึ่งทำให้ขนาดตัวอักษรใหญ่ขึ้น) จากนั้นใช้การจัดองค์ประกอบ PCP (เปลี่ยนข้อ จำกัด แต่ละตัวบนตัวอักษรขนาดใหญ่ให้เป็นระบบข้อ จำกัด ตัวอักษรขนาดเล็ก)

เป้าหมายโดยปริยายของกระบวนการคือการหาวิธีที่จะใช้ขั้นตอนการขยายสัญญาณอีกครั้งจนกระทั่งค่า UNSAT กลายเป็นเศษส่วนคงที่ (พิสูจน์ทฤษฎีบท PCP) จุดสำคัญคือยกเว้นว่ามีการดึงขนาดตัวอักษรกลับมาในแต่ละครั้งกราฟผลลัพธ์จะไม่จำเป็นสำหรับการลดสุดท้าย

ข้อกำหนดของตัวอย่างของคุณค่อนข้างเข้มงวด หากคุณผ่อนคลายเพื่อต้องการเพียงการแปลงที่ทำงาน$O(1)$ในความคาดหวัง เป็นไปได้ที่จะสุ่มตัวอย่างอย่างสม่ำเสมอ$\{0,1,2\}$ ใช้โดยคาดว่าจะโยนเหรียญจำนวนคงที่

ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในเรื่องนี้ แต่ตัวอย่างหนึ่งที่ดีคือขนาดของตัวอักษรที่มีความสำคัญคือการเข้ารหัสและโครงสร้างข้อมูลที่กระชับ ลองนึกภาพคุณต้องการแสดงข้อความผ่านตัวอักษร$\{0,1,2\}$ ในตัวอักษร $\{0,1\}$(เช่นเพื่อเก็บไว้ในคอมพิวเตอร์ไบนารีของคุณ) คุณต้องการลดพื้นที่ที่ต้องการ แต่ในเวลาเดียวกันคุณต้องการที่จะสามารถอ่านและเขียนอักขระแต่ละตัวของข้อความได้อย่างรวดเร็ว (สมมุติว่าเป็น$O(1)$) ปัญหาเช่นนี้ได้รับการศึกษามาระยะหนึ่งแล้ว บทความล่าสุดโดย Dodis, Patrascu และ Thorup บนมันและการอ้างอิงในนั้นควรเป็นจุดเริ่มต้นที่ดี

ในการแก้ไขข้อผิดพลาดรหัสเป็นไปได้ว่ามีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างรหัสไบนารีและรหัสมากกว่าตัวอักษรขนาดใหญ่ที่ตัวอย่าง Gilbert Varshamov สำหรับรหัสที่แก้ไขเศษส่วนของข้อผิดพลาด (ซึ่งเป็นตัวอย่างโลภหรือสุ่มตัวอย่าง) เชื่อว่า ทำให้แน่นในกรณีไบนารีและเป็นที่รู้จักกันไม่แน่นตัวอักษรขนาดใหญ่ผ่านรหัสพีชคณิตเรขาคณิต สิ่งนี้ทำให้บางคนคาดการณ์ว่าคำนิยามมาตรฐานของรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดสำหรับตัวอักษรขนาดใหญ่ไม่ใช่แบบอะนาล็อกที่ถูกต้องของรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดแบบไบนารี

ฉันได้พบกับกรณีที่น่าสนใจในการวิจัยของฉันเองเกี่ยวกับความแตกต่างเล็ก ๆ ในขนาดตัวอักษรซึ่งทำให้เกิดความแตกต่างอย่างมากในทฤษฎีที่เกิดขึ้น คำอธิบายคร่าวๆของปัญหาของการเรียนรู้วงจรน่าจะเป็นต่อไปนี้: ผู้เรียนสามารถแทนที่ประตูของวงจรที่ซ่อนอยู่และสังเกตผลผลิตที่เกิดขึ้นและมีเป้าหมายที่จะผลิต "ทำงานได้เทียบเท่า" วงจร สำหรับวงจรบูลีนเมื่อใดก็ตามที่เกตมี "อิทธิพล" ต่อเอาท์พุทเราสามารถแยกเส้นทางที่มีอิทธิพลออกจากเกทนั้นไปยังเอาต์พุตของวงจรได้ สำหรับวงจรขนาดตัวอักษร$\ge 3$สิ่งนี้จะไม่กลายเป็นกรณีนี้อีกต่อไป - กล่าวคือมีวงจรที่มีประตูที่มีอิทธิพลอย่างมากต่อค่าเอาต์พุต แต่ไม่มีผลต่อเส้นทางใดเส้นทางหนึ่งไปยังเอาต์พุต! เราพบว่าผลลัพธ์นี้น่าประหลาดใจทีเดียว

ผลลัพธ์ค่อนข้างเป็นเรื่องทางเทคนิค แต่ถ้าคุณสนใจคุณสามารถเปรียบเทียบเล็มม่า 8 กับมาตรา 4.1 สำหรับคำสั่งทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องได้