ฟังก์ชันใดที่ System F ไม่สามารถคำนวณได้

ในบทความวิกิพีเดียว่าด้วยทัวริงครบถ้วนระบุว่า:

แคลคูลัสแลมบ์ดาที่ยังไม่พิมพ์คือทัวริงสมบูรณ์ แต่แคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ไว้จำนวนมากรวมถึง System F ไม่ใช่ ค่าของระบบที่พิมพ์นั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแสดงโปรแกรมคอมพิวเตอร์ทั่วไปส่วนใหญ่ในขณะที่ตรวจพบข้อผิดพลาดเพิ่มเติม

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่คำนวณได้ทั้งหมดที่ไม่สามารถคำนวณได้โดยระบบ Fคืออะไร

นอกจากนี้เนื่องจาก hindley-milner คือ:

ข้อ จำกัด ของระบบ F

เพราะความจริงที่ว่า:

การตรวจสอบประเภทไม่สามารถอธิบายได้สำหรับตัวแปรสไตล์แกงกะหรี่ของ System F กล่าวคือสิ่งหนึ่งที่ขาดคำอธิบายประกอบการพิมพ์ที่ชัดเจน

นี่หมายความว่าระบบแคลคูลัสแลมบ์ดาต้นแบบของฮินด์ลีย์ - มิลเนอร์นั้นไม่ได้สมบูรณ์เหมือนกันหรือไม่?

หากเป็นจริงเนื่องจากhaskellนั้นได้รับการทำให้สมบูรณ์อย่างสมบูรณ์และเรารู้ว่ามันเป็นพื้นฐานคือแคลคูลัสแลมบ์ดาและระบบการพิมพ์ฮินด์ลีย์ - มิลเนอร์คุณสมบัติใดที่ไม่ได้ปรากฏในแคลคูลัสแลมบ์ดา

ระบบค่อนข้างแสดงออก ในฐานะที่ได้รับการพิสูจน์โดยราร์ดที่นี่ฟังก์ชั่นชนิดที่ไม่มี → N (ที่ไม่มีถูกกำหนดให้เป็น∀ X . X → ( X → X ) → X ) จะตรงฟังก์ชั่นที่กำหนด ( N → N ) ในลำดับที่สอง Heyting เลขคณิตH 2 . โปรดทราบว่านี้เป็นเช่นเดียวกับฟังก์ชั่นที่กำหนดในลำดับที่สองอาโน่คณิตศาสตร์$F$$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$\mathbb{N}$$\forall X.\ X\rightarrow (X\rightarrow X)\rightarrow X$$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$\mathrm{HA}_2$

คุณอาจต้องการตรวจสอบหลักฐานและประเภทเป็นข้อมูลอ้างอิงที่สามารถอ่านได้มากขึ้น หมายเหตุว่านี้หมายความว่าจำนวนมากของโปรแกรมที่สามารถเขียนได้ในระบบ F จากฟังก์ชั่น Ackermann ล่ามสำหรับระบบของGödel Tสำหรับภาษาโปรแกรมทั้งหมด (ที่มีเงื่อนไขเล็กน้อย) ระบบFไม่สามารถใช้ตัวแปลภาษาเองได้เช่นฟังก์ชั่นe v a l : N → Nซึ่งใช้เป็นรหัสป้อนสำหรับเทอมtของระบบFและส่งคืนรหัส (สำหรับ a) แบบฟอร์มปกติสำหรับ$T$$F$$\mathrm{eval}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$t$$F$$t$. การพิสูจน์เกี่ยวข้องกับการแปรผันของเคล็ดลับการทแยงมุมที่ใช้สำหรับความลังเลของปัญหาการหยุดชะงัก Andrej อธิบายได้อย่างสวยงามที่นี่

เพื่อที่จะตอบคำถามอื่น ๆ ของคุณ: แคลคูลัสพื้นฐาน Hindley-มิลเนอร์ (HM) ภาษานี้ยังไม่ทัวริงสมบูรณ์ ในความเป็นจริงมันเป็นอย่างมีนัยสำคัญที่อ่อนแอกว่าระบบFใกล้ชิดในการแสดงออกไปเพียงแค่พิมพ์λแคลคูลัส$\lambda$$F$ $\lambda$

Haskell เป็นทัวริงที่สมบูรณ์ คุณลักษณะที่โดดเด่นที่สุดที่เปิดใช้งานสิ่งนี้ (แม้ว่าจะมีอื่น ๆ ) คือการมีอยู่ของการเรียกซ้ำแบบไม่ จำกัด : นิยามของโปรแกรมใด ๆ (ฟังก์ชั่น) สามารถอ้างถึงตัวโปรแกรมเอง สิ่งนี้คล้ายกับการเพิ่ม combinator เช่นทำในคำจำกัดความของPCFซึ่งพิมพ์ได้ง่าย แต่ยังคงรักษาทัวริงสมบูรณ์กับY combinator$Y$$Y$

โปรดทราบว่ามีคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ทำให้ Haskell Turing สมบูรณ์ แต่โดยปกติจะไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของภาษาหลักเช่นการอ้างอิงฟังก์ชันฟังก์ชันประเภทข้อมูลที่ไม่ จำกัด เป็นต้น

มันค่อนข้างทำให้เข้าใจผิดว่าระบบการพิมพ์ของ Haskell คือ "ระบบพิมพ์ hinley-milner" ประเภทของ Haskell นั้นมีประสิทธิภาพมากกว่าเช่นประเภทที่สูงกว่า อันที่จริงระบบการพิมพ์ที่มีประสิทธิภาพเพื่อให้คุณสามารถฝังภาษาโปรแกรมทัวริงสมบูรณ์ในระบบการพิมพ์ให้ดูที่นี่ นี่ไม่ใช่เหตุผลเดียวสำหรับพลังของ Haskell โคดี้ได้พูดถึงคนอื่น