ความซับซ้อนของเวลาในการนับสามเหลี่ยมในกราฟระนาบ

16

การนับสามเหลี่ยมในกราฟทั่วไปสามารถทำได้เพียงเล็กน้อยในเวลาและฉันคิดว่าการทำเร็วกว่านั้นยาก (ยินดีต้อนรับการอ้างอิง) กราฟระนาบเป็นอย่างไร? ต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าขั้นตอนตรงไปตรงมาว่ามันสามารถทำได้ในเวลา คำถามของฉันคือสองเท่า: $O(n^3)$ $O(n\log{n})$

การอ้างอิงสำหรับขั้นตอนนี้คืออะไร?
สามารถทำเวลาเชิงเส้นได้หรือไม่?

จากการพิสูจน์อัลกอริธึมของทฤษฎีบทตัวคั่นระนาบของ Lipton-Tarjan เราสามารถทำตามเวลาเชิงเส้นตรงในขนาดของกราฟหาพาร์ทิชันของจุดยอดของกราฟออกเป็นสามชุดซึ่งไม่มีขอบที่จุดปลายเดียวในและอีกอันใน , มีขนาดล้อมรอบด้วย $A,B,S$ $A$ $B$ $S$ และทั้งสองมีขนาดส่วนบนล้อมรอบด้วย $O(\sqrt{n})$ $A,B$ ของจำนวนจุดยอด ขอให้สังเกตว่าสามเหลี่ยมใด ๆ ในกราฟทั้งโกหกทั้งหมดภายในหรือทั้งหมดภายในหรือการใช้งานอย่างน้อยหนึ่งจุดสุดยอดของกับอีกสองจุดจากหรือทั้งจำทั้งจากSดังนั้นจึงพอเพียงที่จะนับจำนวนสามเหลี่ยมในกราฟบนและเพื่อนบ้านของใน(และคล้ายกันสำหรับ) ขอให้สังเกตว่าและ-onebours ทำให้เกิดกราฟ-outer planar (กราฟดังกล่าวเป็นกราฟย่อยของกราฟระนาบของเส้นผ่านศูนย์กลาง $\frac{2}{3}$ $A$ $B$ $S$ $A \cup S$ $B \cup S$ $S$ $S$ $A$ $B$ $S$ $A$ $k$ $4$ ) ดังนั้นการนับจำนวนสามเหลี่ยมในกราฟสามารถทำได้โดยตรงโดยการโปรแกรมแบบไดนามิกหรือโดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Courcelle (ฉันรู้ว่าแบบจำลองการนับมีอยู่ในโลก Logspace โดย Elberfeld et al และฉันเดาว่ามันมีอยู่ด้วย ในโลกเวลาเชิงเส้น) นับตั้งแต่สร้างสามเหลี่ยมที่ไม่ได้บอกทิศทางเป็นคุณสมบัติและเนื่องจากการสลายตัวของต้นไม้ที่มีความกว้างล้อมรอบนั้นเป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับจากกราฟ -outer planar ที่ฝังตัว $\mathsf{MSO}_1$ $k$

ดังนั้นเราจึงลดปัญหานี้ลงเป็นคู่ของปัญหาซึ่งแต่ละส่วนมีค่าคงที่น้อยลงโดยมีค่าใช้จ่ายของกระบวนการเชิงเส้นเวลา

แจ้งให้ทราบว่าขั้นตอนสามารถขยายไปยังพบการนับจำนวนของอินสแตนซ์ของกราฟที่เชื่อมต่อการแก้ไขภายในข้อมูลกราฟในที่เวลา $O(n\log{n})$

reference-request graph-algorithms planar-graphs

— samid
แหล่งที่มา

6

คุณสามารถนับสามเหลี่ยมในกราฟทั่วไปโดยการใช้ถ้อยคำเมทริกซ์และคอมพิวเตอร์

6

นี้จะใช้เวลา

เวลาที่

เป็นตัวแทนคูณเมทริกซ์

A

$A$

t r (A^{3}) / 6

$tr(A^3)/6$

n^{ω}

$n^{\omega}$

ω < 2.373

$\omega < 2.373$

— Ryan Williams

@RyanWilliams คุณถูกต้องแน่นอน! ฉันจะอัปเดตคำถาม

— SamiD

20

จำนวนการเกิดขึ้นของกราฟย่อยคงที่ใด ๆ ในกราฟระนาบ G สามารถนับได้ในเวลา O (n) แม้ว่า H จะถูกตัดการเชื่อมต่อ สิ่งนี้และผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องหลายอย่างได้อธิบายไว้ในบทความSubgraph Isomorphism ในระนาบกราฟและปัญหาที่เกี่ยวข้องโดย David Eppstein ปี 1999; ดูทฤษฏีบทที่ 1 กระดาษใช้เทคนิค treewidth อย่างแน่นอน

— Bart Jansen
แหล่งที่มา

19

แม้ว่าคำตอบของ Bart Jansen จะแก้ปัญหากรณีทั่วไปของการนับกราฟย่อยปัญหาการนับ (หรือรายการ) สามเหลี่ยมทั้งหมดในกราฟระนาบ ดู

C. Papadimitriou และ M. Yannakakis, ปัญหากลุ่มสำหรับกราฟระนาบ, แจ้ง. พร ตัวอักษร 13 (1981), pp. 131–133

และ

N. Chiba และ T.Nishizeki, Arboricity และ subgraph ที่แสดงรายการขั้นตอนวิธี SIAM J. Comput 14 (1985), หน้า 210–223

— David Eppstein
แหล่งที่มา