ความซับซ้อนของเขต Hamiltonian ตามกฎหมาย

ฉันเพิ่งคิดเกี่ยวกับ "การนำเข้า" บางคำถามที่เกี่ยวข้องกับฟิสิกส์ลงในควอนตัม CS:

ความคิดเกี่ยวกับปรากฏการณ์พื้นที่กฎหมายในระบบมิลโตเนียนมักจะหมายถึงท้องถิ่นมิลโตเนียนในบางตาข่ายซึ่งพื้นดินจัดแสดงทรัพย์สินที่พัวพันของภูมิภาคปิดใด ๆ ที่เป็นสัดส่วนกับพื้นผิวของภูมิภาคและไม่ได้ปริมาณ (ตามที่จะ สำหรับสถานะทั่วไป) การคาดคะเนที่มีชื่อเสียงคือว่าชาวมิลโตเนียนที่มี gapped คงที่ทั้งหมดแสดงทรัพย์สินตามกฎหมายนี้หรือไม่ สำหรับระบบ 1 มิติคำถามนี้ถูกตอบโดย Hastings (arXiv: 0705.2024)

ทว่าการเชื่อมต่อระหว่างระบบดังกล่าวและทฤษฎีความซับซ้อนนั้นคลุมเครือมากในขณะที่ผลของเฮสติ้งส์แสดงให้เห็นว่าระบบ 1-D ปฏิบัติตามกฎหมายพื้นที่สามารถจำลองแบบคลาสสิกสำหรับระบบทั่วไปที่ไม่เป็นที่รู้จัก ดังนั้นคำถามของฉันคือการแสวงหาวิธีแก้ปัญหาการคาดคะเนตามกฎหมายหรือไม่ หรืออาจกล่าวได้ว่าเป็นหนึ่งในกลุ่มมิลโตเนียนท้องถิ่น QMA ที่สมบูรณ์ซึ่งเป็นเขตที่ปฏิบัติตามกฎหมาย ภาพรวมเล็ก ๆ น้อย ๆ ของ Hamiltonians ท้องถิ่นที่สมบูรณ์แบบของ QMA ที่รู้จักกันดีซึ่งมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีบท Cook-Levin ควอนตัมของ Kitaev ให้ผลว่า Hamiltonians เหล่านี้ไม่มีคุณสมบัติตามกฎหมายในพื้นที่

ใครจะพิจารณาตัวอย่างโง่ ๆ เล็กน้อยต่อไปนี้ของระบบ 2d ซึ่งเป็นไปตามกฎหมายพื้นที่ซึ่งเสร็จสมบูรณ์ QMA ใช้ระบบ 2d หนึ่งแถวซึ่งเท่ากับหนึ่งใน Hamilton 1d ที่สมบูรณ์แบบของ QMA ที่รู้จัก (ดู Aharonov, Gottesman, Irani, Kempe) และแถวอื่น ๆ ทั้งหมดอยู่ในสถานะผลิตภัณฑ์ จากนั้นสิ่งนี้จะทำตามกฎพื้นที่ (ลองวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งรวมถึงแถวที่กำหนดด้วยแถว k และคอลัมน์ l; สิ่งกีดขวางล้อมรอบด้วยค่าคงที่คูณ l และพื้นที่อย่างน้อยก็เท่ากับ l)

อย่างไรก็ตามในความคิดของฉันนี้แน่นอนไม่ได้หมายความว่าการพิสูจน์กฎหมายพื้นที่ใน 2d จะไม่มีจุดหมายจากมุมมองของความซับซ้อน ค่อนข้างฉันคิดว่ามันหมายความว่าเราต้องพิจารณาไม่เพียง แต่กฎหมายพื้นที่สำหรับเอนโทรปีเอนโทรปี แต่คุณสมบัติอื่น ๆ พัวพัน หนึ่งในคุณสมบัติดังกล่าวจะมี PEPS ของมิติของพหุนาม อันที่จริงการพิสูจน์ว่ามีกฎหมายพื้นที่ใน 2d ไม่ได้หมายความว่ามี PEPS ของมิติของพหุนามพหุนาม ความหมายใน 1d ขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าเราสามารถตัดระบบข้ามพันธบัตรต่าง ๆ ตัดให้อยู่ในอันดับพหุนาม Schmidt พหุนามแต่ละพันธะและผูกข้อผิดพลาด ขั้นตอนนี้ไม่ทำงานใน 2d ดังนั้นการพิสูจน์การมีอยู่ของ PEPS สำหรับระบบ gapped ใน 2d จะเป็นขั้นตอนต่อไป ความรู้สึกของฉันคือการพิสูจน์กฎหมายพื้นที่ใน 2d จะเป็นขั้นตอนแรกที่ดีในการทำเช่นนั้น

ในความเป็นจริงแล้วมีการศึกษาอย่างดีในสาขาฟิสิกส์ของสสารควบแน่นที่มีมิลโตเนียน 2d แบบไม่มีช่องว่างซึ่งปฏิบัติตามกฎหมายในพื้นที่ ในขณะที่ 1d ระบบที่อธิบายโดยทฤษฎีสนามมาตรวิทยามีพฤติกรรมลอการิทึมของเอนโทรปีเอนโทรปีในระบบ 2d ที่สำคัญหลายแห่งแสดงกฎหมายพื้นที่แล้วบันทึกแสดงขึ้นในพฤติกรรม subleading ดังนั้นเอนโทรปีจึงเท่ากับ L + const * log (L) + ... นั่นคือคำศัพท์ที่น่าสนใจและเป็นสากลในเอนโทรปีไม่ได้เป็นคำศัพท์ชั้นนำ แต่เป็นหัวข้อย่อยในทฤษฎี 2 มิติเช่นนั้น

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ละเอียดและลึกซึ้งและทำให้ความแตกต่างระหว่างกฎหมายและพหุนามมิติมีความคมชัดยิ่งขึ้น