มีฟังก์ชั่นที่มีอยู่ด้วยคุณสมบัติผลรวมโดยตรงต่อไปนี้หรือไม่?

คำถามนี้สามารถถามได้ทั้งในกรอบความซับซ้อนของวงจรของวงจรบูลีนหรือในกรอบของทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิตหรืออาจอยู่ในการตั้งค่าอื่น ๆ มากมาย มันง่ายที่จะแสดงด้วยการนับการโต้แย้งว่ามีฟังก์ชั่นบูลีนในอินพุต N ที่ต้องการประตูจำนวนมากแทน (แม้ว่าแน่นอนว่าเราไม่มีตัวอย่างที่ชัดเจน) สมมติว่าฉันต้องการประเมินฟังก์ชั่นเดียวกัน M ครั้งสำหรับจำนวนเต็ม M บางตัวใน M ของชุดอินพุตที่แตกต่างกันดังนั้นจำนวนอินพุตทั้งหมดคือ MN นั่นก็คือเราเพียงต้องการที่จะประเมินสำหรับฟังก์ชั่นเดียวกันฉที่ในแต่ละครั้ง$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

คำถามคือ: เป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่ามีลำดับของฟังก์ชัน (หนึ่งฟังก์ชันสำหรับแต่ละ N) เช่นนั้นสำหรับ N ใด ๆ สำหรับ M ใด ๆ จำนวนประตูทั้งหมดที่ต้องการนั้นอย่างน้อยเท่ากับ M คูณฟังก์ชันเลขชี้กำลังของ N? อาร์กิวเมนต์การนับอย่างง่ายดูเหมือนจะไม่ทำงานเนื่องจากเราต้องการให้ผลลัพธ์นี้เก็บไว้สำหรับ M. One ทุกคนสามารถเกิดขึ้นได้กับ analogues ที่เรียบง่ายของคำถามนี้ในทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิตและด้านอื่น ๆ$f$

นั่นเป็นเท็จ: มันเป็นไปได้ที่จะประเมิน M copy ของ ANY f โดยใช้ประตู O (N (M + 2 ^ N)) เท่านั้นซึ่งอาจน้อยกว่า M * exp (N) (ในความเป็นจริงคุณจะได้รับการตัดจำหน่ายเชิงเส้น ความซับซ้อนสำหรับ exponential M) ฉันจำการอ้างอิงไม่ได้ แต่ฉันคิดว่ามันน่าจะเป็นอะไรต่อไปนี้:

ก่อนอื่นให้เพิ่ม 2 ^ N ข้อมูลสมมติซึ่งเป็นค่าคงที่ 0 ... 2 ^ N-1 และตอนนี้แสดงว่า i'th N-bit อินพุตโดย xi (ดังนั้นสำหรับ i <= 2 ^ N เรามี xi = i และสำหรับ 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M เรามีอินพุตต้นฉบับ) ตอนนี้เราสร้าง triplet สำหรับอินพุต M + 2 ^ N แต่ละอัน: (i, xi, fi) โดยที่ fi คือ f (i) สำหรับอินพุต 2 ^ N แรก (ค่าคงที่ที่เดินสายเข้าวงจร) และ fi = "*" มิฉะนั้น. ตอนนี้เราจัดเรียงแฝดสาม (i, xi, fi) ตามคีย์ xi และปล่อยให้ j'th triplet เป็น (i_j, x_j, f_j) จากนี้เราคำนวณ triplet (i_j, x_j, g_j) f_j หาก f_j ไม่ใช่ "*" และให้ g_j เป็น g_ (j-1) เป็นอย่างอื่น ตอนนี้จัดเรียง triplets ใหม่กลับตามคีย์ i_j และคุณได้รับคำตอบที่ถูกต้องในตำแหน่งที่ถูกต้อง

$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"เครือข่ายคำนวณฟังก์ชันบูลีนสำหรับค่าอินพุตหลายค่า"

$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

ฉันไม่พบสำเนาที่ไม่ได้ระบุออนไลน์หรือหน้าแรกของผู้แต่ง แต่ฉันเจอบทความนี้ในตอนนี้:

ความซับซ้อนของฟังก์ชั่นบูลีน (London Mathematical Society Lecture Note Series)

เกี่ยวกับความซับซ้อนเชิงพีชคณิตฉันไม่ทราบตัวอย่างที่ความซับซ้อนเชิงเลขลงไปถึงความซับซ้อนที่ตัดจำหน่ายแบบเลขชี้กำลัง แต่อย่างน้อยก็มีตัวอย่างง่าย ๆ ที่ความซับซ้อนของสำเนาที่แยกจากกันของ M อาจน้อยกว่า M คูณความซับซ้อนของสำเนาเดียว :

สำหรับ "สุ่ม" n * n เมทริกซ์ A ความซับซ้อนของรูปแบบ bilinear ที่กำหนดโดย A, (ฟังก์ชัน f_A (x, y) = xAy โดยที่ x และ y เป็น 2 เวกเตอร์ของความยาว n) คือ Omega (n ^ 2 ) - สิ่งนี้สามารถแสดงได้โดยอาร์กิวเมนต์มิติ "คล้ายการนับ" เนื่องจากคุณต้องการตำแหน่ง n ^ 2 "" ในวงจรเพื่อใส่ค่าคงที่ อย่างไรก็ตามเนื่องจากเวกเตอร์คู่ที่ต่างกัน (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n) คุณสามารถใส่ x's ลงในแถวของเมทริกซ์ n * n X และในทำนองเดียวกันกับ y ลงในคอลัมน์ของเมทริกซ์ Y จากนั้นอ่านคำตอบทั้งหมด x ^ iAy ^ i จากเส้นทแยงมุมของ XAY ซึ่งสิ่งนี้คำนวณได้ในการดำเนินงาน n ^ 2.3 (หรือมากกว่านั้น) โดยใช้การคูณเมทริกซ์ที่รวดเร็วอย่างมีนัยสำคัญน้อยกว่า n * n ^ 2

สิ่งนี้ถูกศึกษาและแก้ไขโดย Wolfgang Paul ผู้ซึ่งแสดงให้เห็นถึงสิ่งที่กล่าวถึง