ความซับซ้อนของเวอร์ชันการค้นหาของ 2-SAT ที่สมมติ


15

หาก , แล้วมีขั้นตอนวิธีการ logspace ที่แก้รุ่นการตัดสินใจของ 2-SATL=NL

  • เป็นที่รู้จักกันที่จะบ่งบอกว่ามีความเป็นอัลกอริทึม logspace ที่จะได้รับความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายให้อินสแตนซ์ 2 SAT พอใจเป็น input เมื่อ?L=NL

  • ถ้าไม่เกี่ยวกับอัลกอริธึมที่ใช้ช่องว่างย่อยเชิงเส้น (ในจำนวนส่วนคำสั่ง)?

คำตอบ:


16

กำหนดพอใจ 2 CNF คุณสามารถคำนวณโดยเฉพาะอย่างยิ่งความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายอีโดย NL ฟังก์ชั่น (นั่นคือมี NL-กริยาP ( φ , ฉัน)ที่จะบอกคุณว่าอี( x ฉัน )เป็นความจริง) วิธีหนึ่งในการทำดังกล่าวได้อธิบายไว้ด้านล่าง ฉันจะใช้ความจริงที่ว่า NL ถูกปิดภายใต้A - 0 การหักดังนั้น NL- ฟังก์ชั่นจะปิดภายใต้องค์ประกอบ นี่คือผลลัพธ์ของ NL = coNLϕeP(ϕ,i)e(xi)AC0

ให้เป็น 2-CNF ที่น่าพอใจ สำหรับตัวอักษรใด ๆให้เป็นจำนวนตัวอักษรเข้าถึงได้จากโดยเส้นทางกำกับในกราฟหมายของφและจำนวนตัวอักษรจากที่สามารถเข้าถึงได้ ทั้งสองคำนวณใน NLϕ(x1,,xn)aaaϕaa

สังเกตว่าและ¯ a = a เนื่องจากความไม่สมมาตรของกราฟความหมาย กําหนดการมอบหมายeเพื่อให้a¯=aa¯=ae

  • ถ้าดังนั้นe ( a ) = 1 ;a>ae(a)=1

  • ถ้า < แล้วอี( ) = 0 ;a<ae(a)=0

  • ถ้า = ให้ฉันมีเพียงเล็กน้อยเช่นว่าx ฉันหรือ¯ xฉันปรากฏในองค์ประกอบของการเชื่อมต่ออย่างยิ่ง(มันไม่สามารถเป็นได้ทั้งเป็นφคือพอใจ) ใส่e ( a ) = 1ถ้าx iปรากฏขึ้นและe ( a ) = 0 เป็นอย่างอื่นa=aixix¯iaϕe(a)=1xie(a)=0

ความเบ้ - สมมาตรของกราฟแสดงว่าดังนั้นนี่คือการกำหนดที่ดี ยิ่งกว่านั้นสำหรับขอบa bใด ๆในกราฟความหมาย:e(a¯)=e(a)¯ab

  • หากไม่สามารถเข้าถึงได้จากแล้ว < และ > ดังนั้นอี( ) = 1หมายถึงอี( ) = 1aba<ba>be(a)=1e(b)=1

  • มิฉะนั้นและBอยู่ในองค์ประกอบที่เชื่อมต่ออย่างยิ่งที่เหมือนกันและ = , = ดังนั้นอี( ) = อี( )aba=ba=be(a)=e(b)

มันตามที่ 1e(ϕ)=1


นี่เป็นสิ่งที่ดี! มีการอ้างอิงหรือไม่?
Ryan Williams

2
ฉันเพิ่งปรุงมันจนไม่รู้เลย แต่มันก็ดูง่ายพอที่ใครบางคนจะสังเกตเห็นก่อนหน้านี้ แรงบันดาลใจของฉันคือการโต้แย้งว่าการเรียงลำดับโทโพโลยีของคำสั่งบางส่วนสามารถทำได้ใน TC ^ 0 ดังนั้น ts กราฟกราฟใน NL; สิ่งนี้มีการอ้างอิงในเชิงบวก แต่ฉันไม่ได้อยู่ที่สำนักงานในขณะนี้ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากสำหรับฉันที่จะมองหามัน
Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

1
ผลลัพธ์ที่ได้รับมอบหมายที่น่าพอใจสามารถคำนวณได้ใน FNL ปรากฏขึ้นพร้อมกับอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันในคุก Kolokolova: ทฤษฎีอันดับสองสำหรับ NL และมีรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อยใน Cook, Nguyen: พื้นฐานเชิงตรรกะของความซับซ้อนของการพิสูจน์ อย่างไรก็ตามฉันยอมรับว่าฉันไม่สามารถทราบได้ว่าควรจะทำงานอย่างไร เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ว่าทรัพย์สิน (307) ที่เหลือเป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่านในหนังสือ C&N เป็นเท็จเพียงแค่
Emil Jeřábekสนับสนุน Monica
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.