ความซับซ้อนของเวอร์ชันการค้นหาของ 2-SAT ที่สมมติ

หาก , แล้วมีขั้นตอนวิธีการ logspace ที่แก้รุ่นการตัดสินใจของ 2-SAT $\mathsf{L = NL}$

เป็นที่รู้จักกันที่จะบ่งบอกว่ามีความเป็นอัลกอริทึม logspace ที่จะได้รับความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายให้อินสแตนซ์ 2 SAT พอใจเป็น input เมื่อ? $\mathsf{L = NL}$
ถ้าไม่เกี่ยวกับอัลกอริธึมที่ใช้ช่องว่างย่อยเชิงเส้น (ในจำนวนส่วนคำสั่ง)?

sat search-problem logspace

กำหนดพอใจ 2 CNF คุณสามารถคำนวณโดยเฉพาะอย่างยิ่งความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายโดย NL ฟังก์ชั่น (นั่นคือมี NL-กริยาที่จะบอกคุณว่าเป็นความจริง) วิธีหนึ่งในการทำดังกล่าวได้อธิบายไว้ด้านล่าง ฉันจะใช้ความจริงที่ว่า NL ถูกปิดภายใต้หักดังนั้น NL- ฟังก์ชั่นจะปิดภายใต้องค์ประกอบ นี่คือผลลัพธ์ของ NL = coNL $\phi$ $e$ $P(\phi,i)$ $e(x_i)$ $\mathrm{AC}^0$

ให้เป็น 2-CNF ที่น่าพอใจ สำหรับตัวอักษรใด ๆให้เป็นจำนวนตัวอักษรเข้าถึงได้จากโดยเส้นทางกำกับในกราฟหมายของและจำนวนตัวอักษรจากที่สามารถเข้าถึงได้ ทั้งสองคำนวณใน NL $\phi(x_1,\dots,x_n)$ $a$ $a^\to$ $a$ $\phi$ $\let\ot\leftarrow a^\ot$ $a$

สังเกตว่าและเนื่องจากความไม่สมมาตรของกราฟความหมาย กําหนดการมอบหมายเพื่อให้ $\let\ob\overline \ob a^\to=a^\ot$ $\ob a^\ot=a^\to$ $e$

ถ้าดังนั้น ; $a^\ot>a^\to$ $e(a)=1$
ถ้าแล้ว ; $a^\ot<a^\to$ $e(a)=0$
ถ้าให้มีเพียงเล็กน้อยเช่นว่าหรือปรากฏในองค์ประกอบของการเชื่อมต่ออย่างยิ่ง(มันไม่สามารถเป็นได้ทั้งเป็นคือพอใจ) ใส่ถ้าปรากฏขึ้นและอย่างอื่น $a^\ot=a^\to$ $i$ $x_i$ $\ob x_i$ $a$ $\phi$ $e(a)=1$ $x_i$ $e(a)=0$

ความเบ้ - สมมาตรของกราฟแสดงว่าดังนั้นนี่คือการกำหนดที่ดี ยิ่งกว่านั้นสำหรับขอบใด ๆในกราฟความหมาย: $e(\ob a)=\ob{e(a)}$ $a\to b$

หากไม่สามารถเข้าถึงได้จากแล้วและ →ดังนั้นหมายถึง 1 $a$ $b$ $a^\ot<b^\ot$ $a^\to>b^\to$ $e(a)=1$ $e(b)=1$
มิฉะนั้นและอยู่ในองค์ประกอบที่เชื่อมต่ออย่างยิ่งที่เหมือนกันและ , →ดังนั้น ) $a$ $b$ $a^\ot=b^\ot$ $a^\to=b^\to$ $e(a)=e(b)$

มันตามที่ 1 $e(\phi)=1$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica
แหล่งที่มา

นี่เป็นสิ่งที่ดี! มีการอ้างอิงหรือไม่?

— Ryan Williams

ฉันเพิ่งปรุงมันจนไม่รู้เลย แต่มันก็ดูง่ายพอที่ใครบางคนจะสังเกตเห็นก่อนหน้านี้ แรงบันดาลใจของฉันคือการโต้แย้งว่าการเรียงลำดับโทโพโลยีของคำสั่งบางส่วนสามารถทำได้ใน TC ^ 0 ดังนั้น ts กราฟกราฟใน NL; สิ่งนี้มีการอ้างอิงในเชิงบวก แต่ฉันไม่ได้อยู่ที่สำนักงานในขณะนี้ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากสำหรับฉันที่จะมองหามัน

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

ผลลัพธ์ที่ได้รับมอบหมายที่น่าพอใจสามารถคำนวณได้ใน FNL ปรากฏขึ้นพร้อมกับอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันในคุก Kolokolova: ทฤษฎีอันดับสองสำหรับ NL และมีรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อยใน Cook, Nguyen: พื้นฐานเชิงตรรกะของความซับซ้อนของการพิสูจน์ อย่างไรก็ตามฉันยอมรับว่าฉันไม่สามารถทราบได้ว่าควรจะทำงานอย่างไร เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ว่าทรัพย์สิน (307) ที่เหลือเป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่านในหนังสือ C&N เป็นเท็จเพียงแค่

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica