ประการที่สองมีขนาดเล็กที่สุด

มีใครรู้บ้างเกี่ยวกับ - -cut ที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสองในเครือข่าย flow หรือไม่? หรือโดยทั่วไปเกี่ยวกับปัญหานี้: $s$ $t$

อินพุต: เครือข่ายและ a จำนวนทั้งหมดเป็นแบบไบนารี เอาท์พุท: เป็น TH เล็กที่สุด - ตัด $N$ $k$
$k$ $s$ $t$

TH เล็กที่สุด - ตัดใด ๆ - ตัดดังกล่าวว่ามีตรง - ตัดที่มีขีดความสามารถ $k$ $s$ $t$ $(S,T)$ $s$ $t$ $k-1$ $s$ $t$

มีขนาดต่างกันและ
มีขนาดเล็กกว่าความจุของจริงอย่างแท้จริง $(S,T)$

ผมอยากจะรู้ว่ามันสามารถคำนวณได้และไม่ว่านี้สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพเช่นเดียวกับกรณีที่ 1 $k=1$

— โอลิเวอร์วิตต์
แหล่งที่มา

คุณสามารถค้นหาตัดที่เล็กที่สุดที่สองโดยการเพิ่ม

น้ำหนักไปที่ขอบทั้งหมดในการตัดเล็กที่สุดและแล้วการคำนวณตัดใหม่มีขนาดเล็กที่สุด สิ่งนี้อาจใช้ได้ตราบใดที่

ถูกเข้ารหัสในเอกภาพ (และแน่นอนสำหรับค่าคงที่

)

ϵ

$\epsilon$

k

$k$

k

$k$

— Yuval Filmus

ฉันไม่เห็นว่ามันช่วยได้อย่างไร ลองนึกภาพเครือข่ายเส้นทางประกอบด้วยสามโหนด

เฉพาะกับสองขอบ

และ

)

นอกจากให้ความจุที่จะ

และ

เห็นได้ชัดว่าการตัดขั้นต่ำ

และการตัดครั้งที่สองที่เล็กที่สุด

s

$s$

v

$v$

t

$t$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

c (s, v) = 1

$c(s,v)=1$

c (v, t) = 2

$c(v,t)=2$

(s, v)

$(s,v)$

)

การเพิ่มขีดความสามารถในขณะที่คุณอธิบายอีกครั้งจะให้ผลผลิต

เป็นนาทีตัดที่มีความจุ

ฉันจะสรุปส่วนที่เล็กที่สุดที่สองจากสิ่งนั้นได้อย่างไร

(v, t)

$(v,t)$

(s, v)

$(s,v)$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Oliver Witt

การเพิ่มขอบเขตล่างบนฝาครอบของการตัดเป็นความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเพียงเพิ่มเอปไซลอนหนึ่งอันที่ใหญ่กว่าฝาของนาทีและรัน LP คุณสามารถทำซ้ำได้ k เพื่อให้ได้สิ่งที่คุณต้องการ นี่อาจเป็นเรื่องใหม่สำหรับการดัดแปลงบนเครือข่าย แต่ฉันก็ไม่ได้ลอง

— Kaveh

ฉันเห็นว่ามันทำงานอย่างไรถ้า

กำลังเข้ารหัสแบบ unary ถ้ามันเป็นเลขฐานสองล่ะ? ในกรณีนี้การปรับเปลี่ยนเครือข่ายไม่สามารถทำได้ในการวนซ้ำ

k

$k$

k

$k$

— Oliver Witt

ฉันสงสัยว่ามีทางออกที่ง่ายถ้า k เป็นเลขฐานสอง เราสามารถตรวจสอบว่ามีการตัดหมวก c ตามที่ฉันอธิบาย สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าการนับจำนวน c ที่เป็นไปได้อาจเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับการนับจำนวนการแข่งขันและอาจเป็น # P-complete (นี่เป็นเพียงสัญชาตญาณของฉันไม่ใช่ข้อโต้แย้ง)

— Kaveh

การตัดครั้งที่สองที่เล็กที่สุดและโดยทั่วไปการตัดที่เล็กที่สุดสามารถพบได้ในเวลาพหุนามในและขนาดเครือข่าย ดู: $k$ $k$

HW Hamacher ขั้นตอนวิธีการในการหาตัดที่ดีที่สุดในเครือข่าย โรงละครโอเปรา Res เลทท์ 1 (5): 186-189 1982, ดอย: 10.1016 / 0167-6377 (82) 90037-2 $(K\cdot n^4)$ $k$

HW Hamacher, J.-C Picard และ M. Queyranne ในการค้นหาดีที่สุดในเครือข่าย โรงละครโอเปรา Res เลทท์ 2 (6): 303-305 1984, ดอย: 10.1016 / 0167-6377 (84) 90083-X $K$

$K$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

k

$k$

k

$k$

ฉันเข้าใจว่าเป็นเช่นนั้นด้วย: อนุญาตให้น้ำหนักเท่ากัน ดูเหมือนว่าจะไม่ตอบคำถาม อย่างไรก็ตามฉันไม่ได้ตระหนักถึงเอกสารเหล่านี้ขอบคุณสำหรับสิ่งนั้น

— Oliver Witt

k

$k$

k

$k$