เส้นทางแบบง่ายบน dag ที่มีขอบด้านหลัง

ความซับซ้อนของปัญหาต่อไปนี้คืออะไร ( P? NP-hard?): $\in$

การป้อนข้อมูล:กำกับวัฏจักรกราฟชุดของขอบย้อนหลังและโหนดที่แตกต่างกันสองและเสื้อ $D=(V,E)$ $E'\subset V\times V$ $s$ $t$

คำถาม: Letแสดงกราฟที่เกิดขึ้นจากการเพิ่มขอบจากE'มีเส้นทางง่าย ๆ จากถึงในที่ใช้อย่างน้อยหนึ่งขอบถอยหลัง? $G=(V,E\cup E')$ $D$ $E'$ $s$ $t$ $G$

หมายเหตุ: 0) เส้นทางแบบง่ายคือเส้นทางที่ไม่มีจุดสุดยอดซ้ำขอบด้านหลังเป็นขอบที่ขัดแย้งกับลำดับบางส่วนที่บ่งบอกถึงโดย DAG 1) ปัญหาเป็นเรื่องง่ายถ้าเราขอเส้นทางง่าย ๆ ที่จะใช้หนึ่งขอบย้อนหลัง (หรือจำนวนคงที่) โดยการลดลงเล็กน้อยเพื่อแก้ไขปัญหาเส้นทางที่แยกจากกันซึ่งยอมรับวิธีการแก้ปัญหาแบบ PTime อย่างง่ายใน DAG ( Perl และ Shiloach, JACM'78 ) 2) ปัญหาเส้นทางที่แยกออกจากกันนั้นเป็นปัญหาที่ทำให้สมบูรณ์ในกราฟทั่วไป ( Fortune et al., TCS'80 )

graph-algorithms time-complexity disjoint-paths

— โจเซฟสแต็ค
แหล่งที่มา

สิ่งนี้ไม่เหมาะสม แต่ก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าปัญหาของคุณเป็น P (ยกเว้นว่าฉันเข้าใจผิดบางอย่าง): ให้เป็นขอบของ ; ใช้ขั้นตอนวิธีเส้นทางที่สั้นที่สุดจากไปกราฟสำหรับม. ในคำอื่น ๆ เก็บเพิ่มขอบหยิบมาจากกราฟจนกว่าคุณจะพบเส้นทางจากไปที

e_{1}, . . ., e_{m}

$e_1,...,e_m$

E

$E$

s

$s$

t

$t$

G_{i} = (V, E^{'} \cup ⋃_{j = 1}^{i} {e_{j}})

$G_i = (V, E' \cup \bigcup_{j=1}^i \{ e_j \} )$

i = 1, 2, . . ., m

$i = 1,2,...,m$

E

$E$

G^{'} = (V, E^{'})

$G' = (V, E')$

s

$s$

t

$t$

— Marzio De Biasi

Marzio: แต่ถ้าเส้นทางที่คุณพบใช้ขอบในและไม่มีใน ? อาจมีเส้นทางที่แตกต่างซึ่งรวมถึงขอบของด้วย

E

$E$

E^{'}

$E'$

E^{'}

$E'$

— David Eppstein

สิ่งที่น่ารำคาญมากเกี่ยวกับปัญหาของคุณคือปัญหาที่เกี่ยวข้องดังต่อไปนี้สามารถมองเห็นได้ยากว่า NP-hard: ให้กราฟและสองคู่ยอด (s, t), (s ', t') เพื่อตรวจสอบว่ามีจุดยอด -joint เส้นทางจาก s ถึง t และจาก s 'ถึง t' แม้ในขณะที่ t = s 'และแม้แต่บนกราฟที่มีการรวมกันของ DAG สองตัว ถึงกระนั้นสิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่ช่วยคำถามที่คุณถาม

— a3nm

ปัญหาการแยกทางคือ W [1] - ถึงแม้จะอยู่บน DAG และเป็นการทำการบ้านเพื่อแสดงว่ามันเป็นปัญหา NP-Hard ใน DAG อัลกอริทึม Shiloach สำหรับปัญหาพา ธ ที่แยกกันสองทางและในลักษณะที่คล้ายกันก็ใช้ได้กับปัญหาพา ธ ที่แยกออกจากกันใน DAG แต่ใช้เวลา n ^ k แต่อย่างน้อยก็ยอมรับอัลกอริทึม XP สำหรับปัญหาของคุณ

— Saeed