เราไม่สามารถส่งออกความซับซ้อนของ Kolmogorov ได้หรือไม่?

ขอให้เราแก้ไขเข้ารหัสคำนำหน้าฟรีของทัวริงเครื่องและสากลทัวริงเครื่องว่าการป้อนข้อมูล (เข้ารหัสเป็นรหัสคำนำหน้าฟรีของตามด้วย ) ผลสิ่งผลกับการป้อนข้อมูล (อาจจะเป็น ทั้งสองทำงานตลอดไป) กำหนดความซับซ้อน Kolmogorov ของ ,เป็นความยาวของโปรแกรมสั้นดังกล่าวว่า x $U$ $(T,x)$ $T$ $x$ $T$ $x$ $x$ $K(x)$ $p$ $U(p)=x$

มีทัวริงเครื่องเช่นนั้นสำหรับทุกอินพุตมันจะส่งออกจำนวนเต็มนั่นแตกต่างจากความซับซ้อนของ Kolmogorov ของคือแต่ ? $T$ $x$ $T(x)\le |x|$ $x$ $T(x)\ne K(x)$ $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

เงื่อนไขเป็นสิ่งที่จำเป็นเพราะ

(a) ถ้า $T(x)\not \le |x|$ แล้วมันจะง่ายต่อการส่งออกตัวเลขที่เป็นนิด ๆ แตกต่างจาก $K(x)$ เพราะมันมีขนาดใหญ่กว่า $|x|+c_U$ ,

(b) ถ้าอนุญาตให้ $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$ อนุญาตเราสามารถเอาท์พุท $0$ (หรือค่าคงที่อื่น ๆ ) สำหรับตัวเลขเกือบทั้งหมดโดย "โชคดี" ที่เดาได้มากที่สุด (ตัวเลขจำนวน จำกัด ) ที่ประเมินเป็น $0$ (ไปยังค่าคงที่อื่น ๆ ) และเอาท์พุทมีอย่างอื่น เรายังสามารถรับประกัน $\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$ โดยการแสดงผลบางอย่างเช่น $2\log n$ สำหรับ $x=2^n$ n

นอกจากนี้โปรดทราบว่างานของเราจะง่ายถ้าเรารู้ว่า $T(x)$ นั้นไม่แปลกใจ แต่มีคนรู้น้อยเกี่ยวกับเรื่องนี้ดังนั้นคำตอบอาจขึ้นอยู่กับ $U$ แม้ว่าฉันจะสงสัยก็ตาม

ฉันรู้ว่าความสัมพันธ์นั้นได้รับการศึกษาโดยทั่วไปเป็นจำนวนมาก แต่

มีใครเคยถามคำถามที่คล้ายกันที่เป้าหมายของเราคือการให้อัลกอริทึมที่ไม่ส่งออกพารามิเตอร์บางอย่าง?

แรงจูงใจของฉันคือปัญหานี้http://arxiv.org/abs/1302.1109

— domotorp
แหล่งที่มา

มันขึ้นอยู่กับการเข้ารหัสของคุณเนื่องจากดังที่กล่าวไว้ในหัวข้อเกี่ยวกับความเกินจริงของคุณเชื่อมโยงไปอาจเป็นกรณีที่โปรแกรมมีความยาวเท่ากันนั้นถูกต้อง ดังนั้นเพื่อให้คำถามของคุณไม่สำคัญคุณจำเป็นต้องมีสมมติฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเข้ารหัส

K

$K$

p

$p$

— เดนิส

สำหรับคำถามที่สองของคุณ: ใช่ รับจำนวนเต็มให้แทนเครื่องทัวริง -th ทแยงมุมไม่ใช่ recursive (หรือ DNR) ฟังก์ชั่นฟังก์ชั่นเช่นว่าจำนวนเต็มทุก ,(M) (นั่นคือถ้าหยุดอยู่กับดังนั้นและสามารถกำหนดเองได้) สิ่งเหล่านี้ได้รับการศึกษาค่อนข้างเร็ว ๆ นี้ในการคำนวณ / การคำนวณ ชุมชนแบบแผน Google "ไม่เรียกซ้ำแบบเส้นทแยงมุม" เพื่อค้นหาเอกสารเกี่ยวกับเรื่องนี้

M

$M$

[M]

$[M]$

M

$M$

f : N \to N

$f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

M

$M$

[M] (M) \neq f (M)

$[M](M) \neq f(M)$

[M]

$[M]$

M

$M$

f (M) \neq [M] (M)

$f(M) \neq [M](M)$

f (M)

$f(M)$

— Joshua Grochow

@ Denis: ฉันคิดว่าคุณผิด ตามคำจำกัดความของเครื่องจักรทัวริงสากลที่กำหนดไว้ในย่อหน้าแรกความยาวทั้งหมดเป็นโปรแกรมที่ถูกต้อง

— domotorp

ไม่กี่ครั้งที่ผ่านมาฉันคิดว่า (ในไร้สาระ) เกี่ยวกับรุ่นที่ง่ายกว่าที่เห็นได้ชัด: (dis) พิสูจน์ว่ามีขนาดใหญ่พอ ,สำหรับทั้งหมด

x_{0}

$x_0$

K (x) \neq | x | / 2

$K(x) \neq |x|/2$

x \geq x_{0}

$x \geq x_0$

— Marzio De Biasi

@Ricky: ไม่เป็นไรฉันไม่มีข้อ จำกัด ในการเข้ารหัสของเครื่องจักรทัวริงเฉพาะในโปรแกรมที่คุณสามารถอ่านได้ในย่อหน้าแรก

— domotorp

คำตอบ:

คำถามที่สามารถใช้ถ้อยคำใหม่ว่าและเดนิสชี้ให้เห็นในความคิดเห็น นี่เป็นเท็จสำหรับการเข้ารหัสบางอย่าง นี่คือคำสั่งที่อ่อนแอกว่าและข้อพิสูจน์ที่พยายามแล้วซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับรายละเอียดของการเข้ารหัส แต่ฉันจะสมมติภาษาฐานสองเพื่อความเรียบง่าย: $\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$

ปล่อยให้เป็นฟังก์ชันการคำนวณที่น่าพอใจและ\ แล้ว\ อย่างไม่เป็นทางการหากมีเป้าหมายอยู่รอบ ๆ ความซับซ้อนของ Kolmogorov ของแต่ละสตริงที่เติบโตอย่างกว้างใหญ่ไม่มีฟังก์ชันที่คำนวณได้สามารถหลีกเลี่ยงการชน $T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$ $0 \le T(x) \le \vert x \vert$ $\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$ $\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$

หากต้องการดูนี้ให้เป็นแบบสุ่มจำนวนบิตคือและข สำหรับทุกเช่นสุ่มมีอยู่ นอกจากนี้ยังทราบว่ามีจำนวนอนันต์ของค่านิยมของที่นี้ดังมาจากเงื่อนไขที่วางอยู่บนเสื้อตอนนี้ให้เป็นสตริงเล็กที่สุดเช่นว่าB เห็นได้ชัดว่ามีค่าคงที่เช่นเนื่องจากและ $n$ $b$ $0 \le n \lt 2^b$ $K(n) \ge b$ $b$ $n$ $b$ $\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$ $T$ $x$ $n^{\text{th}}$ $T(x) = b$ $c_1$ $K(x) \gt b - c_1$ $K(n) \ge b$ $n$ สามารถคำนวณได้จากxและมีความคงที่ดังกล่าวว่าเพราะนอกจากนี้ยังเป็นที่สิ้นสุดจากข้างต้นโดยเฉพาะคงที่มากขึ้นกว่าและสามารถคำนวณได้จากnจากนั้นและเรามีตัวเลือกจำนวนอนันต์สำหรับ (ผู้ที่มี preinage ของ cardinality อย่างน้อย ), ให้ค่าจำนวนอนันต์ สำหรับเราก็เสร็จแล้ว $x$ $c_2$ $K(x) \lt b + c_2$ $K(n)$ $b$ $x$ $n$ $\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$ $b$ $2^b$ $x$

ความหมายคือสำหรับบาง ,อนันต์บ่อยครั้ง ดังนั้นอาจกล่าวได้ว่าเราไม่สามารถส่งออกสิ่งที่ไม่ใช่ความซับซ้อนของ Kolmogorov ได้! $c \in \mathbb{Z}$ $T(x) = K(x) + c$

— แดนบรูมเล
แหล่งที่มา

ดีฉันคิดว่านี่น่าจะใช้ได้ แน่นอนว่าอาจไม่มีสตริงใด ๆ ที่มีดังนั้นคุณอาจต้องการใช่ไหม?

f (x) = b

$f(x)=b$

f (x) \geq b

$f(x)\ge b$

— domotorp

จะต้องมีเพื่อที่คือคำนวณจากn} ดังนั้นฉันคิดว่าจำเป็นต้องเลือกเพื่อให้หรือสตริงการแมปไป สมมุติสมมติฐานที่ควรกล่าวเป็นนัยว่ามีหลายอย่างมากมายเช่น ( แต่ผมค่อนข้างไม่เห็นมันในขณะนี้) (เท่าที่ฉันสามารถบอกได้, สมมติฐานไม่ได้ถูกใช้ในทางอื่น)

f (x) = b

$f(x)=b$

n

$n$

x_{b, n}

$x_{b,n}$

b

$b$

\geq 2^{b + 1}

$\ge2^{b+1}$

b

$b$

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

ใช่แน่นอนว่านี่เป็นสิ่งจำเป็น แต่การพิสูจน์นั้นง่ายโดยขัดแย้ง - ถ้าเป็นถ้าจากการดูที่ช่วงใดเราสามารถสรุปได้ว่าอย่างน้อยสตริงถูกแมปกับจึงอนันต์จำนวนมากซึ่งตรงกันข้าม\

< 2^{b}

$<2^b$

b > b_{0}

$b>b_0$

b_{0} < b \leq B

$b_0<b\le B$

B - b_{0}

$B-b_0$

\leq b_{0}

$\le b_0$

lim inf = \infty

$\liminf=\infty$

— domotorp

สิ่งที่เดนิสพูดถึงไม่ได้นำไปใช้กับวิธีที่ฉันกำหนดความเป็นสากลในบรรทัดแรกของคำถาม คำพูดของเขาก็ไม่สำคัญฉันไม่มีเงื่อนงำว่าทำไมผู้คนมากมายจึงยกความคิดเห็นของเขา แต่อนิจจาคำตอบที่ไม่ถูกต้องของปีเตอร์ยังได้รับ upvotes มากมายฉันสูญเสียความเชื่อในเว็บไซต์นี้ ...

— domotorp

ไม่สำคัญว่าการเข้ารหัส TM จะเป็นอย่างไรตราบใดที่เกณฑ์ของฉันเกี่ยวกับ universal TM นั้นเป็นที่พอใจดังนั้นความคิดเห็นของ Denis จึงไม่ถูกต้อง หากมีการระบุว่าเป็นข้อสังเกตเกี่ยวกับโมเดลอื่นมันจะเป็นสิ่งที่แตกต่าง อย่างไรก็ตามแทนที่จะพูดถึงเรื่องนี้ลองมาดูว่าเราสามารถเสริมความคิดของคุณได้หรือไม่

— domotorp

ฉันคิดว่างานต่อไปนี้ ฉันจะใช้สำหรับความซับซ้อนของ Kolmogorov $C(x)$

ให้เป็นเวลาผูกพัน (พูด, บางฟังก์ชั่นการชี้แจงของความยาวของโปรแกรมการป้อนข้อมูล) และเรียกผล T หากโปรแกรมเกินเวลาที่กำหนดเข้าสู่วงวนไม่สิ้นสุด $U$ $t$ $U^t$ $U^t$
Letเป็นโปรแกรมที่สั้นที่สุดสำหรับบนเสื้อโปรดทราบว่าสามารถคำนวณได้ $C^t(x)$ $x$ $t$ $C^t$
ให้ส่งคืนยกเว้นค่านี้เท่ากับในกรณีที่ผลตอบแทน 0 เว้นแต่ว่าเป็นผลลัพธ์ของโปรแกรมที่ว่างเปล่าซึ่งในกรณีที่กลับมา 1 $T(x)$ $C^t(x) + 1$ $|x|$ $x$
เนื่องจาก ,จะแตกต่างจากเสมอ ตรรกะในขั้นตอนก่อนหน้าดูแลกรณีขอบ $C(x) \leq C^t(x)$ $T(x)$ $C(x)$
$U^t$ ทำหน้าที่เป็นรหัสสำหรับสตริงทั้งหมดดังนั้นจึงมีขีด จำกัด อินฟินิตี้ที่ต่ำกว่า

— จางไป
แหล่งที่มา

ความเห็นสองสามทฤษฎี KC ในการตีความทางเลือก (แต่เทียบเท่า) ระบุดังต่อไปนี้: สตริงเกือบทั้งหมดมีอยู่แล้วในการเป็นตัวแทนที่ดีที่สุดของพวกเขา ( wrtเป็นรุ่นที่กำหนด) ยกเว้นสตริงจำนวนมากซึ่งสามารถเปลี่ยนเป็นตัวแทนที่เหมาะสมที่สุดwrtเป็นโมเดลการคำนวณที่กำหนด (หรือ TM) ในแง่นี้เกือบทุกโปรแกรมแสดงผลลัพธ์สตริงที่เหมาะสม แต่สิ่งเหล่านี้ไม่เป็นที่รู้จัก (หรือคำนวณได้) a-Priori

— Nikos M.

ทำไมคุณถึงมี?

T (x) \leq | x |

$T(x)\le |x|$

— domotorp

@domotorp ในทางเทคนิคเรามีโดยที่คือความยาวของโปรแกรมการพิมพ์ที่สั้นที่สุด แน่นอนค่าคงที่นี้ยังมีสำหรับ (และในความเป็นจริงยกเว้นว่าโปรแกรมการพิมพ์ช้าจริง ๆ มันเป็นค่าคงที่เดียวกัน)

T (x) \leq | x | + c

$T(x) \leq |x| + c$

c

$c$

C (x)

$C(x)$

— ปีเตอร์

แต่นี่คือสิ่งที่ทำให้คำถามทั้งหมดน่าสนใจ! ฉันสามารถถามฟังก์ชันใด ๆ แทนเช่นเป้าหมายเดียวของฉันคือการกำจัดโซลูชันที่คล้ายกับของคุณ

| x |

$|x|$

| x | / 2 + 99

$|x|/2+99$

— domotorp

@domotrop ฉันเห็นดังนั้นคุณจึงต้องการที่จะบังคับจะไม่เป็น UpperBound เพื่อ(x) นั่นเป็นเรื่องที่น่าสนใจมากขึ้น

T (x)

$T(x)$

C (x)

$C(x)$

— ปีเตอร์