การใช้งานสำหรับทฤษฎีเซต, ทฤษฎีอันดับ, combinatorics อนันต์และโทโพโลยีทั่วไปในวิทยาการคอมพิวเตอร์?

15

ฉันเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ให้ความสนใจในทฤษฎีเซตทฤษฎีอันดับสูง combinatorics อนันต์และโทโพโลยีทั่วไป

มีการใช้งานใด ๆ สำหรับวิชาเหล่านี้ในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์หรือไม่? ฉันได้ดูเล็กน้อยและพบการใช้งานจำนวนมาก (แน่นอน) สำหรับทฤษฎีกราฟ จำกัด , ทอพอโลยี จำกัด , ทอพอโลยีมิติต่ำ, ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต ฯลฯ

อย่างไรก็ตามฉันกำลังมองหาการประยุกต์ใช้วัตถุที่ไม่มีที่สิ้นสุดของวิชาเหล่านี้เช่นต้นไม้ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ( ตัวอย่างเช่นต้นไม้ Aronszajn ), โทโพโลยีแบบไม่มีที่สิ้นสุดเป็นต้น

ความคิดใด ๆ

ขอขอบคุณ!!

set-theory topology topological-graph-theory

— user135172
แหล่งที่มา

1

ดูเพิ่มเติมที่การประยุกต์ใช้วิชาทฤษฎีเซตเป็นกฎการบังคับตัวกรองทั่วไปในวิศวกรรมซอฟต์แวร์ cs.se

— vzn

2

นอกจากคำตอบที่ยอดเยี่ยมของ Neel คุณอาจสนใจใน

— ศาสนศาสตร์ที่

21

แอพพลิเคชั่นหลักของทอพอโลยีในซีแมนทิกส์คือวิธีการเชิงทอพอโลยีในการคำนวณ

แนวคิดพื้นฐานของทอพอโลยีของความสามารถในการคำนวณมาจากการสังเกตว่าการเลิกจ้างและการไม่สิ้นสุดไม่ใช่สมมาตร มีความเป็นไปได้ที่จะสังเกตว่าโปรแกรมกล่องดำยุติลงหรือไม่ (รอนานพอ) แต่ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะสังเกตว่ามันไม่ยุติ (เนื่องจากคุณไม่แน่ใจว่าคุณไม่ได้รอนานพอที่จะเห็นว่ายกเลิก) สิ่งนี้สอดคล้องกับการกำหนดจุดสองจุด {HALT, LOOP} ด้วยโทโพโลยีของ Sierpinski โดยที่เป็นชุดเปิด ดังนั้นโดยทั่วไปแล้วเราสามารถทำให้ "การตั้งค่าเปิด" กับ "สมบัติที่คำนวณได้" ได้ค่อนข้างไกล สิ่งที่น่าประหลาดใจอย่างหนึ่งของวิธีการนี้สำหรับนักทอพอโลยีดั้งเดิมคือบทบาทสำคัญที่ช่องว่างที่ไม่ใช่ Hausdorff นี่เป็นเพราะคุณสามารถทำการระบุตัวตนได้ดังต่อไปนี้ $\emptyset, \{HALT\}, and \{HALT, LOOP\}$

\begin{matrix} ค โอ ม. พี ยู เสื้อ a ข ผม ล. ผม เสื้อ Y & T โอ พี โอ ล. โอ ก. Y \\ ชนิด & ช่องว่าง \\ ฟังก์ชันที่คำนวณได้ & ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง \\ ชุดที่ตัดสินใจได้ & ชุด Clopen \\ ชุดกึ่ง decidable & เปิดชุด \\ ตั้งค่าด้วย semidecidable & ชุดปิด \\ ตั้งค่าด้วยความเท่าเทียมกัน decidable & พื้นที่ไม่ต่อเนื่อง \\ ตั้งค่าด้วยความเท่าเทียมกัน semidecidable & พื้นที่ Hausdorff \\ ชุดที่ค้นหาได้หมดจด & พื้นที่ขนาดกะทัดรัด \end{matrix}

$\begin{matrix} \mathbf{Computability} & \mathbf{Topology}\\ \mbox{Type} & \mbox{Space} \\ \mbox{Computable function} & \mbox{Continuous function} \\ \mbox{Decidable set} & \mbox{Clopen set} \\ \mbox{Semi-decidable set} & \mbox{Open set} \\ \mbox{Set with semidecidable complement} & \mbox{Closed set} \\ \mbox{Set with decidable equality} & \mbox{Discrete space} \\ \mbox{Set with semidecidable equality} & \mbox{Hausdorff space} \\ \mbox{Exhaustively searchable set} & \mbox{Compact space} \\ \end{matrix}$

สองการสำรวจที่ดีของความคิดเหล่านี้เป็น MB เบิร์นของโทโพโลยีในคู่มือของลอจิกในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และมาร์ติน Escardo ของโครงสร้างสังเคราะห์ชนิดข้อมูลและพื้นที่คลาสสิก

วิธีการทางโทโพโลยียังมีบทบาทสำคัญในความหมายของการเกิดพร้อมกัน แต่ฉันรู้น้อยมากเกี่ยวกับเรื่องนั้น

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่รู้แจ้งของคุณ! ฉันจะดู

— user135172

เป็นไปได้ไหมที่จะหาทอพอโลยีที่ละเอียดกว่านี้สำหรับลำดับชั้นพหุนาม

— T ....

1

แอปพลิเคชั่นที่น่าสนใจของแนวคิดเหล่านี้สามารถพบได้ในชุดของโพสต์ "โปรแกรมฟังก์ชั่นที่เป็นไปไม่ได้ดูเหมือน" - math.andrej.com/2007/09/28/… , math.andrej.com/2014/05/08/seemingly-impossible -proofs

— jkff

1

คุณช่วยเพิ่มอีกหน่อยได้ไหม ฉันพบคำตอบนี้ยากมากที่จะเข้าใจ ตัวอย่างเช่นสมมติว่ามีความขัดแย้งที่เซตย่อยกึ่งของ

สร้างโทโพโลยีในขณะที่คุณดูเหมือนจะอ้างสิทธิ์ จากนั้นจึงติดตามว่าเนื่องจากทุก ๆ หมายเลขธรรมชาติ

ชุดซิงเกิล

เป็นแบบกึ่ง decidable ดังนั้นสหภาพแรงงานของเซตย่อยแบบเดี่ยวของ

จึงเป็นแบบกึ่งตัดสินใจได้ Ergo ทุกเซตย่อยของ

เป็นแบบกึ่ง decidable ความขัดแย้ง

N

$\mathbb{N}$

k \in N

$k \in \mathbb{N}$

{k} \subseteq N

$\{k\} \subseteq \mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

— goblin

4

รางวัลGödel 2004ร่วมกันระหว่างเอกสาร:

โครงสร้าง Topological ของ Asynchronous คำนวณ
โดย Maurice Herlihy และ Nir Shavit, วารสาร ACM, Vol. 46 (1999), 858-923
รอสักครู่ฟรี k-Set ข้อตกลงเป็นไปไม่ได้: โครงสร้างของความรู้สาธารณะ
โดย Michael Saks และ Fotios Zaharoglou, SIAM J. on Computing, Vol. 29 (2000), 1449-1483

คำพูดจากรางวัลGödel 2004:

เอกสารทั้งสองเสนอหนึ่งในนวัตกรรมที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีของการคำนวณแบบกระจาย

การค้นพบธรรมชาติของทอพอโลยีของการคำนวณแบบกระจายให้มุมมองใหม่ในพื้นที่และแสดงถึงตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่งอาจเป็นในคณิตศาสตร์ประยุกต์ทั้งหมดของการใช้โครงสร้างทอพอโลยีเพื่อหาปริมาณการคำนวณเชิงธรรมชาติ

โพสต์ที่เกี่ยวข้อง: การประยุกต์โทโพโลยีเพื่อวิทยาการคอมพิวเตอร์

— Hengxin
แหล่งที่มา

3

แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นแอพพลิเคชั่นที่ยอดเยี่ยมของโทโพโลยีใน TCS แต่เป็นแอพพลิเคชั่นของ "combinatorial / algebraic topology" มากกว่าสิ่งที่ฉันคิดว่า OP หมายถึง "โทโพโลยีทั่วไป" (ซึ่งมากกว่าในประเด็น อารีน่า).

— Joshua Grochow

4

พฤติกรรมของระบบปฏิกิริยามักจะถูกสร้างแบบจำลองโดยใช้โครงสร้างที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ต้นไม้ที่คำนวณไม่สิ้นสุดและต้นไม้คำนวณไม่สิ้นสุด) และคุณสมบัติชั่วคราวของพวกเขา

การกำหนดLiveness Alpern และ Schneider

ความปลอดภัยและความมีชีวิตชีวาในเวลาที่แตกแขนงManolios et อัล

— Mitesh J
แหล่งที่มา