จำนวนความแตกต่างที่ชัดเจนของจำนวนเต็มเลือกจาก

ฉันพบผลลัพธ์ต่อไปนี้ในระหว่างการวิจัยของฉัน

$lim_{n \to \infty} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] = 1$ $\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1$ ที่ $m=\omega(\sqrt n)$ และ $a_1,\cdots,a_m$ จะถูกเลือกโดยการสุ่มจาก[n] $[n]$

ฉันกำลังมองหาการอ้างอิง / หลักฐานโดยตรง

Crossposted บน MO

reference-request co.combinatorics pr.probability

— จ้าวเฉา
แหล่งที่มา

ถ้า

m = \sqrt{n}

$m = \sqrt{n}$ จำนวนสูงสุดของความแตกต่างที่แตกต่างกันคุณจะได้รับเป็น

m (m - 1) / 2 < n / 2

$m(m-1)/2 < n/2$ 2 ดังนั้นคุณต้องการให้

m

$m$ โตเร็วกว่า

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ เพื่อให้สิ่งนี้เป็นจริง สิ่งที่ฉันจะทำคือพยายามคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวเลข

d

$d$ นั้นไม่ต่างกัน

d = | a_{i} - a_{j} |

$d = |a_i - a_j|$ .

— Peter Shor

@Shor: ขอบคุณฉันปรับปรุงคำถาม และแน่นอนตั้งแต่

E (\sum x_{i}) = \sum E (x_{i})

$\mathbb E(\sum x_i)=\sum \mathbb E(x_i)$ มันเป็นเรื่องง่ายในการคำนวณหาเฉพาะแตกต่างd

d

$d$

— Zhu Cao

@ZhuCao เมื่อคุณพูดว่า "เลือก

m

$m$ จำนวนเต็ม

a_{1}, . . ., a_{m}

$a_1,...,a_m$ สุ่มจาก

[1, n]

$[1,n]$ " การกระจายแบบใดที่คุณหมายถึงอย่างแน่นอน ฉันถูกสมมติเครื่องแบบ IID

{1, \dots, n}

$\{1,\dots,n\}$ \}

— usul

@ndras ไม่มันไม่ใช่กรณี ตัวอย่างเช่นถ้าจำนวน

1

$1$ ไม่ได้รับการแต่งตั้ง (ซึ่งเกิดขึ้นกับความน่าจะกระโดดออกไปจาก 0) แล้วความแตกต่าง

n - 1

$n-1$ ไม่สามารถปรากฏขึ้นและ

D_{n} < n

$D_n<n$ <n แต่ทำไมต้องเป็นกรณี? คำถามเพียงถามว่าความคาดหวังของ

D_{n} / n

$D_n/n$ ใกล้เคียงกับ 1 ไม่ใช่

D_{n}

$D_n$ เท่ากับ 1 ที่มีความน่าจะเป็นสูง

— James Martin

โปรดอย่าข้ามโพสต์ในเว็บไซต์ Stack Exchange หลายแห่ง นโยบายเว็บไซต์ของเราห้ามข้ามการโพสต์พร้อมกัน: อย่างน้อยต้องรอหนึ่งสัปดาห์ และหากคุณไม่ได้รับคำตอบที่ดีคุณสามารถตั้งค่าสถานะนี้เพื่อให้ผู้ดูแลสนใจขอให้ย้ายข้อมูล

— DW

สมมติให้เป็นที่ $m=\omega(\sqrt{n})$ {n})

แก้ไขใด ๆ 0 เราจะพิจารณากับ n จุดมุ่งหมายคือการแสดงให้เห็นว่ามีความน่าจะเป็นสูง ,รวมอยู่ในชุดของความแตกต่าง $\epsilon>0$ $r\in[1,n]$ $r<(1-\epsilon)n$ $n\to\infty$ $r$

ก่อนพิจารณาชุดn] จำนวนของกับดังกล่าวว่าเป็นทวินามด้วยความคาดหวังรอบ 2 ดังนั้นด้วยความน่าจะเป็นสูงถึงจำนวนดังกล่าวจะมีอย่างน้อยซึ่งเป็น{n}) จากนั้น (การเรียกร้อง "ซ้ายเป็นออกกำลังกาย" ไม่ยากที่จะแสดง) มีโอกาสสูงเป็นชุดมีขนาดอย่างน้อย{n} ขอให้เราเขียนสำหรับเรื่องนี้ "เหตุการณ์ที่ดี" ที่{n} $A=\{a_i:i<m/2\}\cap[1,\epsilon n]$ $i$ $i<m/2$ $a_i<\epsilon n$ $\epsilon m/2$ $n\to\infty$ $i$ $\epsilon m/4$ $\omega(\sqrt{n})$ $n\to\infty$ $A$ $\sqrt{n}$ $G$ $|A|\geq\sqrt{n}$

สมมติว่าแน่นอนถือคือมีอย่างน้อยค่าที่แตกต่างของน้อยกว่าสำหรับ 2 โปรดทราบว่าสำหรับแต่ละค่าดังกล่าวจะมีค่าซึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอย่างแม่นยำ ตอนนี้พิจารณาค่าของสำหรับ 2 เหล่านี้มีความเป็นอิสระและแต่ละคนมีความน่าจะเป็นอย่างน้อยของการเป็นที่ระยะจากองค์ประกอบของการตั้งค่า ความน่าจะเป็นที่ไม่สร้างความแตกต่างนั้นมากที่สุด $G$ $\sqrt{n}$ $a_i$ $\epsilon n$ $i<m/2$ $k\in [1,n]$ $r$ $a_i$ $i\geq m/2$ $\sqrt{n}/n=1/\sqrt{n}$ $r$ $A$ $r$ $(1-1/\sqrt{n})^{m/2}$ ซึ่งจะไปเป็น 0ตั้งแต่{n}) ดังนั้นแน่นอนน่าจะเป็นที่ถือ แต่ความแตกต่างของขนาดไม่มีที่มีอยู่มีแนวโน้มที่จะเป็น 0 n $n\to\infty$ $m=\omega(\sqrt{n})$ $G$ $r$ $n\to\infty$

ดังนั้น (สม่ำเสมอใน ) น่าจะเป็นที่จะถูกรวมอยู่ในชุดของความแตกต่างมีแนวโน้มที่จะเป็น 1 nดังนั้นการใช้เส้นตรงของความคาดหวัง เนื่องจากมีข้อ จำกัด ขีด จำกัด คือ 1 ตามที่ต้องการ $r<(1-\epsilon)n$ $r$ $n\to\infty$

\underset{n \to \infty}{lim inf} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] \geq 1 - ϵ .

$\liminf \limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n}\right] \geq 1-\epsilon.$

ϵ

$\epsilon$

— เจมส์มาร์ติน
แหล่งที่มา

คุณถือว่าความแตกต่างแต่ละอย่างเป็นอิสระในนิพจน์และถ้าเป็นเช่นนั้นมันเป็นธรรมหรือไม่?

1 - (1 - ϵ / n)^{ω (n)}

$1-(1-\epsilon/n)^{\omega(n)}$

— usul

@James โอ้ตอนนี้ฉันดูว่าฉันพลาดที่nขอขอบคุณ.

n

$n$

— Daniel Soltész

@usul: ขอโทษจริง ๆ แล้วข้อโต้แย้งของฉันมันเลอะเทอะและไม่สมบูรณ์ ฉันขยายมัน - ฉันคิดว่าตอนนี้มันมีน้ำแล้ว

— James Martin