มันแพงแค่ไหนที่จะทำลายเส้นทางยาวทั้งหมดใน DAG?

เราพิจารณา DABs ความ (กำกับกราฟวัฏจักร) กับหนึ่งโหนดแหล่ง$s$และเป้าหมายหนึ่งโหนด$t$ ; อนุญาตให้ใช้ขอบขนานที่มีจุดยอดคู่เดียวกัน $k$ - ตัดเป็นชุดของขอบที่มีการกำจัดทำลายทั้งหมด$s$ - $t$เส้นทางนานกว่า$k$ ; เส้นทาง$s$ - t ที่สั้นกว่า$t$รวมถึงเส้นทาง "ภายใน" ที่ยาว (ซึ่งไม่ใช่ระหว่าง$s$และ$t$ ) อาจอยู่รอดได้!

คำถาม: มันพอที่จะลบที่มากที่สุดประมาณ$1/k$ส่วนหนึ่งของขอบจาก DAG เพื่อที่จะทำลายทุก$s$ - $t$เส้นทางนานกว่า$k$ ?

นั่นคือถ้า$e(G)$แสดงถึงจำนวนทั้งหมดของขอบใน$G$ดังนั้น DAG Gทุกตัว$G$จะมี$k$ -cut ที่มีขอบe ( G ) / kมากที่สุด$e(G)/k$หรือไม่? สองตัวอย่าง:

1. หากทั้งหมด $s$ - $t$เส้นทางที่มีความยาว$> k$แล้ว$k$ -cut กับ$\leq e(G)/k$ขอบที่มีอยู่ นี้ถือแล้วเพราะต้องมี$k$เคล็ด$k$ -cuts: เพียงแค่ชั้นโหนดของ$G$ตามระยะทางของพวกเขาจากโหนดต้นทางs $s$
2. ถ้า$G=T_n$เป็นทัวร์นาเมนต์สกรรมกริยา (DAG ที่สมบูรณ์) ดังนั้นก็จะเป็น$k$ -cut ด้วย ≤ k ( n / k2 )มีขอบ≈e(G)/k: แก้ไขการ เรียงลำดับของโหนดทอพอโลยีแบ่งโหนดออกเป็น kช่วงเวลาต่อเนื่องที่มีความยาวn/kและลบขอบทั้งหมดที่เข้าร่วมโหนดในช่วงเวลาเดียวกัน นี้จะทำลายทุกs-เสื้อเส้นทางนานกว่าk $\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/k$$k$$n/k$$s$$t$$k$

หมายเหตุ 1:ความพยายามที่ไร้เดียงสาที่จะให้คำตอบในเชิงบวก (ซึ่งฉันได้ลองก่อน) จะพยายามแสดงให้เห็นว่า DAG ทุกคนต้องมีk disjoint k -cuts น่าเสียดายที่ตัวอย่างที่ 2 แสดงให้เห็นว่าความพยายามครั้งนี้อาจล้มเหลวอย่างรุนแรง: ด้วยการโต้แย้งที่ดี David Eppstein ได้แสดงให้เห็นแล้วว่าสำหรับkเกี่ยวกับ$k$ $k$$k$n , กราฟTnไม่สามารถมีdisjointk-cutsได้มากกว่าสี่ตัว! $\sqrt{n}$$T_n$ $k$

หมายเหตุ 2:มันเป็นสิ่งสำคัญที่k -cut ต้องการเพียงที่จะทำลายทุกยาวs - เสื้อเส้นทางและไม่จำเป็นต้องทุกเส้นทางยาว กล่าวคือมี¹ DAG ที่"บริสุทธิ์" k -cut ทุกอัน(หลีกเลี่ยงการชนขอบกับsหรือt ) ต้องมีขอบเกือบทั้งหมด ดังนั้นคำถามของฉันคือ: ความเป็นไปได้ที่จะลบขอบที่เกิดขึ้นกับsหรือtลดขนาดของk -cut ลงอย่างมากหรือไม่? ส่วนใหญ่คำตอบนั้นเป็นค่าลบ แต่ฉันยังไม่พบตัวอย่างตัวอย่างเลย $k$$s$$t$$k$$s$$t$$s$$t$$k$

แรงจูงใจ:คำถามของฉันถูกกระตุ้นโดยการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับเครือข่ายการสลับและปรับเปลี่ยนเสียงโมโนโทน เครือข่ายดังกล่าวเป็นเพียง DAG ซึ่งบางส่วนมีขอบที่มีป้ายกำกับโดยการทดสอบ "คือx i = 1 ?" (ไม่มีการทดสอบx i = 0 ) ขนาดของเครือข่ายเป็นจำนวนขอบป้าย ยอมรับเวกเตอร์อินพุตหากมีพา ธs - tทั้งหมดที่การทดสอบสอดคล้องกับเวกเตอร์นี้ Markov ได้พิสูจน์แล้วว่าถ้าฟังก์ชันบูลีน monotone fไม่มี minterms ที่สั้นกว่าlและไม่มี maxterms ที่สั้นกว่าwดังนั้นขนาด $x_i=1$$x_i=0$$s$$t$$f$$l$$w$⋅ Wเป็นสิ่งที่จำเป็น คำตอบในเชิงบวกต่อคำถามของฉันจะบ่งบอกถึงเครือข่ายที่มีขนาดประมาณว่า k ⋅ W kมีความจำเป็นถ้าอย่างน้อย W kตัวแปรจะต้องตั้งค่า 0เพื่อที่จะทำลายทุก minterms นานกว่าk$l\cdot w$$k\cdot w_k$$w_k$$0$$k$

¹การก่อสร้างได้รับในบทความนี้ ใช้เวลาที่สมบูรณ์ต้นไม้ไบนารีTของความลึกบันทึก n ลบขอบทั้งหมด ทุก ๆ ด้านในโหนดวีวาดขอบโวลต์จากใบของต้นไม้ย่อยซ้ายของทุกT วีและขอบจากวีใบของต้นไม้ย่อยขวาของทุกTวี ดังนั้นทุกสองใบของTจะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางที่มีความยาว2ใน DAG DAG ตัวเองมี~ nโหนดและ~ n log nขอบ แต่Ω ( $T$$\log n$$v$$v$$T_v$$v$$T_v$$T$$2$$\sim n$$\sim n\log n$บันทึกn )ต้องลบขอบเพื่อทำลายเส้นทางทั้งหมดที่ยาวกว่า$\Omega(n\log n)$n .$\sqrt{n}$

[ตอบตัวเอง; นี่เป็นเวอร์ชั่นที่สั้นลงรุ่นเก่าสามารถพบได้ ที่นี่ ]

เราตระหนักกับ Georg Schnitger ว่าคำตอบสำหรับคำถามของฉันนั้นเป็นลบอย่างมาก : มี DAG (แม้แต่ระดับคงที่) ที่k -cut ทุกอันจะต้องมีเศษส่วนคงที่ของขอบทั้งหมดไม่ใช่แค่เศษ1 / kเช่นเดียวกับใน คำถามของฉัน. (ผลเล็กน้อยที่อ่อนแอที่อาจจำเป็น1 / log kเศษส่วนสามารถทำได้โดยใช้โครงสร้างที่ง่ายกว่าที่กล่าวไว้ในเชิงอรรถข้างต้นการเขียนอย่างรวดเร็วอยู่ที่นี่ ) $k$$1/k$$1/\log k$

กล่าวคือในกระดาษ "ในการลดความลึกและเสียดสี"เฟรดได้สร้างกราฟลำดับที่เป็นเส้นกำกับ H nคงระดับสูงสุด dบน n = ม. 2 ม.โหนดที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:$H_n$$d$$n=m2^m$

• ทุก ๆ คงที่0 ≤ ε < 1มีค่าคงที่ค> 0เช่นว่าถ้าย่อยของที่ใดมากที่สุดคnโหนดถูกลบออกจากH nกราฟที่เหลือประกอบด้วยเส้นทางของความยาวอย่างน้อย2 εเมตร $0\leq \epsilon < 1$$c > 0$$cn$$H_n$$2^{\epsilon m}$

รับตอนนี้สองโหนดใหม่sและเสื้อและวาดขอบจากsไปยังโหนดของทุกH nและขอบจากโหนดของทุกH nไปที ส่งผลให้กราฟG nยังคงมีที่มากที่สุด 2 n + d n = O ( n )ขอบ$s$$t$$s$$H_n$$H_n$$t$$G_n$$2n+dn=O(n)$

สำหรับค่าคงที่0 ≤ ϵ < 1 ทุกค่าคงที่c ′ > 0เช่นนั้นหากเซตย่อยใด ๆ ที่ขอบc ′ nส่วนใหญ่ถูกลบออกจากG nกราฟที่เหลือจะมีเส้นทางs - t ที่มี 2 ϵ mหรือ ขอบเพิ่มเติม $0\leq \epsilon < 1$$c ' > 0$$c'n$$G_n$$s$$t$$2^{\epsilon m}$

พิสูจน์: โทรโหนดของH nภายในโหนดของG n นำชุดย่อยของใด ๆ ที่มากที่สุดค' nขอบจากG nที่ค' = C / 2 หลังจากนั้นให้ลบโหนดภายในถ้าเกิดปัญหากับขอบที่ลบออก โปรดทราบว่ามากที่สุด2 c ′ n = c nโหนดด้านในจะถูกลบออก ไม่มีขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับโหนดที่รอดชีวิตถูกลบออก โดยเฉพาะอย่างยิ่งแต่ละโหนดด้านในที่รอดชีวิตยังคงเชื่อมต่อกับทั้งโหนดsและ$H_n$ $G_n$$c'n$$G_n$$c'=c/2$$2c'n=cn$$s$$t$. จากคุณสมบัติข้างต้นของH nจะต้องมีเส้นทางยาว2 ϵ mซึ่งประกอบไปด้วยโหนดภายในทั้งหมด ตั้งแต่อุปกรณ์ปลายทางของแต่ละเส้นทางเหล่านี้อยู่รอดแต่ละของพวกเขาสามารถขยายไปยังs - เสื้อเส้นทางในG n QED$H_n$$2^{\epsilon m}$$s$$t$$G_n$

เป็นผลเป็นที่น่าเศร้า: มีไม่ได้อยู่อะนาล็อกของแทรกมาร์คอฟใด ๆ สำหรับการทำงานกับหลายสั้น minterms แม้ว่าชุดของนาน minterms มีอะไรบางอย่าง "ซับซ้อน" โครงสร้าง: ไม่มีซุปเปอร์เชิงเส้นขอบเขตที่ลดลงในเครือข่ายขนาดที่สามารถได้รับการพิสูจน์แล้วใช้ อาร์กิวเมนต์ "ความยาวคูณความกว้าง" นี้

P.S. This "length times width" argument (when all $s$-$t$ paths are long enough) was earlier used by Moore and Shannon (1956). The only difference is that they do not allowed rectifies (unlabeled edges). So, this is, in fact, a "Moore-Shannon-Markov argument".