ความซับซ้อนของสถานะของภาษาสำเนาคืออะไร

ให้จำนวนได้รับ พิจารณาภาษาต่อไปนี้ $n$ . $L_n = \{ \; ww \; \vert \; w \in \{0,1\}^{n} \; \}$

ในคำ, คือชุดของสตริงสำเนาของความยาว n $L_n$ $2n$

พิจารณาฟังก์ชันซับซ้อนรัฐต่อไปนี้เช่นว่าคือจำนวนของรัฐที่อยู่ในที่เล็กที่สุดขยายลง Automata ที่ตระหนักถึง n $s$ $s(n)$ $L_n$

คำถาม:คุณสามารถพิสูจน์ขอบเขตล่างที่มีความหมายอย่างเป็นทางการสำหรับหรือไม่? $s(n)$

ฉันคาดเดา: ) $s(n) = 2^{\Theta(n)}$

รู้จัก Upperbound: . $s(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot 2^{\frac{n}{2}}$

กฎ:

(1) ตัวอักษรสแต็กต้องเป็นเลขฐานสอง

(2) เทปอินพุตเป็นทางเดียวและไม่สามารถหยุดที่อักขระอินพุตใด ๆ

— Michael Wehar
แหล่งที่มา

ขณะนี้ฉันไม่มีขีด จำกัด ล่างที่มีความหมายใด ๆ ดูเหมือนว่าคุณอาจจะสามารถพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับจำนวนตัวแปรที่คุณต้องการสำหรับ CFG ที่รับรู้ภาษา แม้ว่าฉันจะไม่แน่ใจในเรื่องนี้ทั้งหมด

— Michael Wehar

สัญชาตญาณของฉันคือเมื่อคุณดันอักขระจากอินพุตเทปลงในสแต็กคุณพบปัญหา หากคุณต้องการดึงบิตเหล่านี้ในภายหลังคุณจะต้องทิ้งบิตทั้งหมดที่คุณกดไป ในคำอื่น ๆ ปรากฏว่าสแต็คไม่ได้ช่วยคุณเพราะยิ่งคุณผลักมันมากเท่าไหร่คุณก็ยิ่งถูกบังคับให้ลืมในภายหลัง

— Michael Wehar

หมายเหตุ:สำหรับ DFA (ออโตเมต้าที่ไม่มีสแต็ค) คุณสามารถพิสูจน์ความซับซ้อนของสถานะเลขชี้กำลังต่ำกว่า

— Michael Wehar

คุณสามารถแสดงขอบเขตล่างที่สมเหตุสมผลสำหรับปัญหาที่ง่ายกว่า

ไหม

{0^{k} 1^{l} 0^{k} 1^{l}}

$\{0^k1^l0^k1^l\}$

— András Salamon

ขอบเขตบนที่แม่นยำยิ่งขึ้นน่าจะเป็น

รัฐ

(n + 3) 2^{n / 2}

$(n+3)2^{n/2}$

— András Salamon

เทคนิคที่อธิบายโดย Yuval:

มี CFG ขนาดพหุนามที่อธิบายภาษา จำกัด นี้หรือไม่?

(คุณอาจอ่าน: ขอบเขตที่ต่ำกว่ากับขนาดของ CFG สำหรับภาษาที่ จำกัด เฉพาะ )

$G$ $L_n$ $w\in \{0,1\}^n$ $A(w)$ $s(w)$ $ww$ $n/2$ $n$ $p(w)$ $ww$ $n/2$ $w,w'$ $A(w)=A(w')$ $p(w)=p(w')$ $2^{n/2}$ $A(w)$ $p(w)$ $2^{\Theta(n)}$

$2^{\Theta(n)}$ $L_n$

— โจเซฟสแต็ค
แหล่งที่มา

เยี่ยมมากขอบคุณอีกครั้ง! ฉันเห็นแล้วและจะคิดเกี่ยวกับมันเพื่อยืนยัน :)

— Michael Wehar

[n, 2 n]

$[n,2n]$

[n / 2, n]

$[n/2,n]$

(A (w), p (w))

$(A(w),p(w))$

A (w)

$A(w)$

w w

$ww$

p (w)

$p(w)$

ดูเพิ่มเติมทฤษฎีบท 7 ในกระดาษของฉัน: cs.toronto.edu/~yuvalf/CFG-LB.pdf

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus มันก็คุ้มค่าที่จะต้องสังเกตว่า Andras ใช้เวลาสักครู่ในการพยายามหาขอบเขตบนและล่างให้ตรงกัน เพื่อนของฉัน Pepe กับฉันได้นิยามคลาสทั่วไปของภาษาที่มีขอบเขตและใช้เทคนิคกับพวกเขา เราไม่เคยเขียนอะไรขึ้นมา หากคุณมีปัญหาใด ๆ ที่เกี่ยวข้องเรายินดีเป็นอย่างยิ่งที่จะร่วมมือกัน ขอบคุณอีกครั้ง.

— Michael Wehar