ความซับซ้อนในการหาจุด Borsuk-Ulam

Borsuk-Ulam ทฤษฎีบทกล่าวว่าสำหรับทุกฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องแปลกจาก n ทรงกลมเข้าสู่ยุคลิด n-พื้นที่มีจุดx 0ดังกล่าวว่ากรัม( x 0 ) = 0$g$$x_0$$g(x_0)=0$

ซิมมอนส์และซู (2002)อธิบายวิธีการที่จะใกล้เคียงกับจุดใช้แทรกทักเกอร์ อย่างไรก็ตามมันยังไม่ชัดเจนว่าความซับซ้อนของวิธีการทำงานนั้นคืออะไร$x_0$

สมมติว่าเราจะได้รับ oracle สำหรับหน้าที่และเป็นปัจจัยประมาณε > 0 ความซับซ้อนของเวลาทำงาน (เป็นหน้าที่ของn ) คืออะไร:$g$$\epsilon>0$$n$

1. การหาจุดเช่น| g ( x ) | < ϵ ?$x$$|g(x)|<\epsilon$
2. การหาจุดเช่นว่า| x - x 0 | < ϵเมื่อx 0เป็นจุดที่ทำให้พอใจg ( x 0 ) = 0 ?$x$$|x-x_0|<\epsilon$$x_0$$g(x_0)=0$

Papadimitriou แสดงให้เห็นว่ารุ่นของปัญหานี้คือ PPAD สมบูรณ์ในกระดาษแนะนำระดับที่"เกี่ยวกับความซับซ้อนของการโต้แย้งความเท่าเทียมกันและพิสูจน์ไม่มีประสิทธิภาพอื่น ๆ ของการดำรงอยู่"

การกำหนดปัญหาของเขาคือ:

$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Sidenote - หลายครั้งเมื่อคุณเห็นทฤษฎีบทประเภทจุดคงที่, PPAD เป็นสิ่งที่ดีสำหรับความซับซ้อนในการค้นหา ...

เป็นวิธีการพยากรณ์ที่กำหนดและสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับ ? หาก oracle เป็นกล่องดำและเรารู้ว่าเป็นเลขคี่ต่อเนื่องดังนั้นเราอาจต้องใช้คำถามมากมาย ...$g$$g$$n=1$

หาก oracle ได้รับจากเครื่องจักรทัวริงคุณจะเข้าใจว่า

1. FIXP สมบูรณ์

2. PPAD สมบูรณ์

ที่ขนาดของการป้อนข้อมูลที่เป็นความยาวของ\สำหรับบทนำเข้าเหล่านี้ให้ดูhttp://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf$\epsilon$