จำนวนตัวแปรที่ จำกัด ใน 1-in-3 SAT

มีผลลัพธ์ที่ทราบเกี่ยวกับคลาสที่ซับซ้อนของ 1-in-3-SAT พร้อมกับจำนวนตัวแปรที่ จำกัด หรือไม่?

ฉันคิดว่าปีเตอร์ไนติงเกลจะได้รับการลดท่วงทำนองต่อไปนี้ แต่ฉันต้องการอ้างอิงบางอย่างหากรู้เรื่องนี้

นี่คือเคล็ดลับที่เราคิดขึ้นมา สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า 1-in-3-SAT ถูก จำกัด ให้เกิดขึ้น 3 ครั้งต่อตัวแปรคือ NP complete และ #P complete (เนื่องจาก 1-in-3-SAT คือ)ในขณะที่ 3-SAT จำกัด ให้เกิดขึ้น 3 ครั้งใน P

สมมุติว่าเรามี x มากกว่าสามครั้ง สมมติว่าเราต้องการ 6. จากนั้นเราจะแนะนำตัวแปรใหม่ 5 ตัว x2 ถึง x6 เทียบเท่ากับ x และสองตัวแปรใหม่ d1 และ d2 รับประกันว่าเป็นเท็จกับ 6 ประโยคใหม่ดังต่อไปนี้:

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

เห็นได้ชัดว่าเราแทนที่การเกิดขึ้นของ x หลังจากเหตุการณ์แรกโดย xi สำหรับบาง i นั่นให้เหตุการณ์สามครั้งของแต่ละ xi และ d

ด้านบนตั้งค่าแต่ละ di เป็น false และ xi ทั้งหมดเป็นค่าเดียวกัน เมื่อต้องการดูสิ่งนี้ x จะต้องเป็นจริงหรือเท็จ ถ้ามันเป็นจริงแล้วประโยคแรกตั้งค่า x2 จริงและ d1 เท็จแล้วสิ่งนี้แพร่กระจาย clasues ถ้า x เป็นเท็จส่วนสุดท้ายจะตั้งค่า x6 false และ d2 false และมันจะแพร่กระจายคำสั่ง เห็นได้ชัดว่ามันเป็นอย่างมากเพื่อรักษานับ

ตามความรู้ของฉัน "ขีด จำกัด " ในปัจจุบันได้รับการตัดสินใน:

Stefan Porschen, Tatjana Schmidt, Ewald Speckenmeyer, Andreas Wotzlaw: XSAT และ NAE-SAT ของคลาส CNF เชิงเส้น คณิตศาสตร์ประยุกต์แบบไม่ต่อเนื่อง 167: 1-14 (2014)

ดูวิทยานิพนธ์ของ Schmidt: ความซับซ้อนในการคำนวณของ SAT, XSAT และ NAE-SAT สำหรับสูตรเชิงเส้นและผสมของฮอร์น CNF

ทฤษฎีบท 29 XSAT ยังคง NP-ที่สมบูรณ์แบบสำหรับ -และ - ,3C N F l + k C N F l k , l ≥ $k$$CNF^l_+$$k$$CNF^l$$k, l \geq 3$

(XSAT สำหรับ -เป็น 1-in-3-SAT ตรงที่ตัวแปรแต่ละตัวปรากฏขึ้นอย่างแน่นอนครั้ง)C N F 3 l = $3$$CNF^3$$l=3$

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทนี้ยังพิสูจน์ให้เห็นถึงความสมบูรณ์แบบของกรณีเสียงโมโนที่แรงขึ้น ( )$CNF_+$

(ฉันเข้าใจว่านี่ต้องเป็นคำตอบที่ล่าช้าฉันกำลังเขียนสำหรับผู้อ่านในอนาคต)

มีผลงานวรรณกรรมที่แข็งแกร่งกว่าเดิม

ลูกบาศก์ระนาบบวก 1 ใน 3 Satisfiabilityพิสูจน์ NP-สมบูรณ์ในมัวร์และร็อบสันปัญหาปูกระเบื้องอย่างหนักกับกระเบื้องที่เรียบง่าย (พวกเขาพูดว่า 'เสียงเดียว' แทนที่จะเป็น 'บวก' ดูหมายเหตุที่เพิ่มไว้ในที่สุด)

ผลลัพธ์ดังกล่าวแข็งแกร่งกว่าผลลัพธ์ในวิทยานิพนธ์ของชมิดท์เพราะที่นี่กราฟของสูตรถูก จำกัด ให้เป็นภาพถ่าย (ในความเป็นจริงแล้วเงื่อนไขแข็งแกร่งกว่า: พวกเขาให้การฝังแบบพิเศษที่เรียกว่าการฝังแบบเส้นตรง)

กราฟสูตรบูล ถูกกำหนดให้เป็นรูปแบบของกราฟที่มีจุดสุดยอดชุดและขอบชุดตัวแปรเกิดขึ้นในข้อ (unnegated หรือเมื่อตะกี้) (โดยที่คือชุดของตัวแปรและคือชุดของคำสั่ง)$G_B$$B=(X,C)$$X\cup C$$E:= \{ x_iC_j\ :\ $$x_i$$C_j$$\}$$X$$C$

ลูกบาศก์ภาพถ่ายเชิงบวก 1-in-3
ตัวอย่างความพึงพอใจ:บูลีนสูตรโดยที่คือชุดของตัวแปร,เซตของเซตย่อย 3 องค์ประกอบเหนือ (ส่วนคำสั่ง) และกราฟของคือ กราฟลูกบาศก์ระนาบ คำถาม:มีการมอบหมายความจริงสำหรับไม่ว่าแต่ละประโยคคือมีตัวแปรจริงหนึ่งตัวใช่หรือไม่$B=(X,C)$$X$$C$$X$$G_B$$B$X C
$X$$C$

โปรดทราบว่าแต่ละประโยคมี 3 ตัวแปรที่แตกต่างกันและแต่ละตัวแปรจะปรากฏใน 3 ข้อ

ดูวิทยานิพนธ์ของ Tippenhauer บน Planar 3-SAT และ Variants (2016) สำหรับตัวแปร sat ที่ จำกัด จำนวนการเกิดตัวแปร
หมายเหตุ: มีตัวแปรไม่กี่ค้นพบหลังจากการตีพิมพ์ของวิทยานิพนธ์นี้

หมายเหตุเพิ่มเติม:ผลลัพธ์ของ Moore และ Robson พิสูจน์ว่าCubic Planar Positive 1-in-3 ความพึงพอใจเป็นไปได้ของ NP-complete (นั่นคือสูตรบูลีนไม่ได้เป็นเพียงเสียงเดียว แต่เป็นบวก (กล่าวคือไม่มีตัวอักษรใด ๆ ที่ไม่ได้อ่าน) แต่น่าเสียดายที่ในบทความแรก ๆ จำนวนมากคำว่า "เสียงเดียว" ถูกใช้เพื่อหมายถึง 'บวก' การลดลงของ Moore และ Robson ไม่ได้แนะนำตัวอักษรที่ถูกทำให้ไร้ผล การลดลงของพวกเขาคือจากภาพถ่าย 'Monotone' 1 ใน 3 Satisfiability ในกระดาษ Laroche ของภาพถ่าย 1 ใน 3 satisfiability เป็น NP-สมบูรณ์ ฉันไม่สามารถรับรายงานนี้ได้ แต่ส่วนใหญ่แล้ว Laroche ก็มีความหมายในเชิงบวกด้วยการพูดว่า 'เสียงเดียว' แม้ว่าเขาไม่ได้หมายถึงสิ่งนี้เราสามารถใช้ความพึงพอใจของ Planar Positive 1-in-3 จาก Mulzer และ Rote ' เป็นปัญหาที่มาแทน

ดูคำตอบนี้สำหรับคำถามใน cs.se