มีการลดลงโดยตรงหรือเป็นธรรมชาติในการนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบที่ไม่เป็นสองฝ่ายโดยใช้การจับคู่ถาวรหรือไม่?

การนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟแบบสองทางจะลดลงทันทีในการคำนวณแบบถาวร ตั้งแต่การหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟที่ไม่ใช่ฝ่ายอยู่ใน NP มีอยู่บางส่วนที่ลดลงจากกราฟที่ไม่ใช่ฝ่ายไปอย่างถาวร แต่มันอาจจะเกี่ยวข้องกับการระเบิดพหุนามที่น่ารังเกียจโดยใช้การลดคุกเพื่อ SAT แล้วทฤษฎีบทองอาจเพื่อลดไป ถาวร.

การลดที่มีประสิทธิภาพและเป็นธรรมชาติจากกราฟที่ไม่มีสองฝ่ายถึงเมทริกซ์โดยที่จะมีประโยชน์สำหรับการใช้งานจริงเพื่อนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบโดยใช้ที่มีอยู่ ไลบรารีที่คำนวณถาวร $f$ $G$ $A = f(G)$ $\operatorname{perm}(A) = \Phi(G)$

อัปเดต:ผมเพิ่มเงินรางวัลสำหรับคำตอบรวมทั้งฟังก์ชั่นได้อย่างมีประสิทธิภาพ-คำนวณจะใช้กราฟพลกับฝ่ายกราฟที่มีหมายเลขเดียวกันของจ้อที่สมบูรณ์แบบและไม่เกินจุด $G$ $H$ $O(n^2)$

— ปั้นจั่นขนาดใหญ่
แหล่งที่มา

ชื่อปัจจุบันดูเหมือนคำถามการบ้าน แต่คำถามจริงน่าสนใจกว่านั้น ฉันเกือบจะไม่ได้เปิดคำถาม b / c ฉันคิดว่ามันเป็นการบ้านและจะถูกปิดในไม่ช้าจนกว่าฉันจะเห็นว่ามีผู้อัปโหลด 9 คนแล้วและอยากรู้อยากเห็น ... มีการลดโดยตรงหรือโดยธรรมชาติในการนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบที่ไม่เป็นสองฝ่ายด้วยการใช้แบบถาวรหรือไม่

— Joshua Grochow

ความคิดที่ดี. ฉันไม่ได้คิดอย่างนั้น ขอบคุณ

— Derrick Stolee

Nitpicking:“ เนื่องจากการค้นหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟที่ไม่มีสองฝ่ายอยู่ใน NP” →“ นับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟที่ไม่ใช่สองฝ่ายอยู่ใน #P”

— Tsuyoshi Ito

การวางยาของคุณนั้นถูกต้องและฉันคิดว่าจะเขียนสิ่งนั้น แต่วิธีที่ฉันเขียนมันบ่งบอกว่าการลดลงนั้นใช้การลดลงของ THEN Valiant ของ Cook ฉันกำลังมองหาการลดโดยตรงและมีประสิทธิภาพ

— Derrick Stolee

เขียนครั้งแรกสูตร VNP สำหรับจ้อที่สมบูรณ์แบบ (ฉันสามารถคิดหนึ่งที่คล้ายกับว่าเป็นถาวรและที่มีขนาดใหญ่มี reducion ที่หลีกเลี่ยงคุกเป็น

) จากนั้นโดยความเป็นสากลของถาวรนี้สามารถเขียนเป็นถาวรของเมทริกซ์ที่มีขนาด

สิ่งนี้ใช้ความจริงที่ว่าสูตรของขนาด

สามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ถาวรของขนาด

ได้ ตรงกว่าจะผ่าน Cook แต่ก็ยังไม่ตรง / เป็นธรรมชาติเท่าที่วิธีการนับจะนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟสองฝ่าย

\leq 4 n^{4}

$\leq 4n^4$

4 n^{4} + 1

$4n^4 +1$

S

$S$

S + 1

$S+1$

— Joshua Grochow

คำตอบ:

ฉันจะบอกว่าการลดความ "เรียบง่าย" ให้กับการจับคู่สองฝ่ายนั้นไม่น่าเป็นไปได้ ประการแรกมันจะให้อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟทั่วไปโดยใช้วิธีฮังการี ดังนั้นการลดลงควรมีความซับซ้อนทั้งหมดของอัลกอริทึม Blossom ของ Edmond ประการที่สองมันจะให้แผ่นเสียงขนาดกะทัดรัดสำหรับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบและด้วยเหตุนี้การลดไม่ควรเป็นแบบสมมาตร (ซึ่งถูกตัดออกโดยผลของยานนาวา) และซับซ้อนมาก

— Mohit Singh
แหล่งที่มา

สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นเหตุผลที่ดีว่าทำไมจึงไม่มีสิ่งนี้เกิดขึ้น ฉันควรขอการหักล้างในคำถาม ฉันอาจจะให้ความโปรดปรานกับคำตอบนี้เว้นแต่มีบางคนพิสูจน์คุณผิด

— Derrick Stolee

แม้จะไม่ใช่คำตอบที่ฉันต้องการ แต่ฉันก็พบว่านี่เป็นคำตอบที่น่าพอใจมาก

— ปั้นจั่น Stolee

@MohitSingh คุณช่วยกรุณาอธิบาย 'ไม่มีวิธีฮังการีสำหรับกราฟที่ไม่มีสองฝ่าย', 'สิ่งที่มีความซับซ้อนทั้งหมดของอัลกอริทึม Blossom' และทำไมสิ่งนี้จะให้ 'แผ่นเสียงขนาดกะทัดรัดสำหรับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบและควรไม่สมมาตร' ?

— T ....

เห็นได้ชัดว่านี่เป็นความเห็นและไม่ใช่คำตอบ แต่ฉันยังไม่มีคะแนนชื่อเสียงที่นี่เลยขอโทษด้วย

สำหรับกราฟที่ไม่มีบริดจ์สองส่วนมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบจำนวนมากเช่นLovàszและ Plummer คาดเดาในยุค 70 กระดาษกำลังเตรียม สิ่งนี้อาจเกี่ยวข้องกับคำถามของคุณหรืออาจไม่ได้เลย

— Andrew D. King
แหล่งที่มา