การพิจารณาสิ่งที่สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบของกลุ่มที่ไม่ใช่การสื่อสาร

11

แก้ไขกลุ่มแน่นอนGฉันสนใจในปัญหาการตัดสินใจต่อไปนี้: อินพุตเป็นองค์ประกอบบางส่วนของมีลำดับบางส่วนกับพวกเขาและคำถามคือว่ามีการเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบที่สอดคล้องกับคำสั่งหรือไม่และเป็นเช่นนั้นองค์ประกอบขององค์ประกอบในนั้น เพื่อผลตอบแทนถัวเฉลี่ยของกลุ่มองค์ประกอบเป็นกลางอี $G$ $G$ $e$

อย่างเป็นทางการปัญหา -test $G$ มีดังนี้โดยที่กลุ่มได้รับการแก้ไข: $G$

อินพุต:ไฟไนต์สั่งซื้อบางส่วนชุดที่มีฟังก์ชั่นการติดฉลากจากไปG $(P, <)$ $\mu$ $P$ $G$
เอาท์พุท:ไม่ว่าจะมีการขยายตัวเชิงเส้นของ (เช่นการสั่งซื้อทั้งหมดเช่นนั้นสำหรับทุก , หมายถึง ) เช่นนั้นการเขียนองค์ประกอบของต่อไปนี้คำสั่งซื้อทั้งหมดเป็นเรามี $P$ $(P, <')$ $x, y \in P$ $x < y$ $x <' y$ $P$ $<'$ $x_1, \ldots, x_n$ อี $\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

สำหรับกลุ่มที่ปัญหา-test เป็นอย่างชัดเจนใน NP คำถามของฉันคือ: มีกลุ่มเช่นนั้นว่าปัญหาการทดสอบเป็นปัญหา NP-hard? $G$ $G$ $G$ $G$

ข้อสังเกตบางประการเกี่ยวกับคำแถลงปัญหาที่เทียบเท่า:

ภาษาของ posets และส่วนขยายเชิงเส้นสามารถถูกแทนที่ด้วย DAG และคำสั่งทอพอโลยีอย่างเท่าเทียมกัน นั่นคือถ้าคุณต้องการคุณสามารถคิดของท่านเป็น DAG กับจุดที่มีป้ายกำกับองค์ประกอบกลุ่มและเป็นออกเป็นถามว่าอะไรบางอย่างที่ทอพอโลยีของการป้อนข้อมูล DAG ประสบความสำเร็จในอี $e$
เราสามารถพิจารณาปัญหาที่หนักกว่าแทนซึ่งเราได้รับโพสต์และและถามว่า (มากกว่า ) สามารถรับรู้ได้หรือไม่ ในความเป็นจริงปัญหาที่แข็งแกร่งลดลงไปด้านบน: เราสามารถถามว่าสามารถรับรู้โดย , ที่เป็นแต่มีองค์ประกอบที่มีป้ายกำกับซึ่งมีขนาดเล็กกว่าคนอื่น ๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวเลือกธรรมชาติของในคำนิยามข้างต้น $(P, <)$ $g \in G$ $g$ $e$ $e$ $(P', <)$ $P'$ $P$ $g^{-1}$ $e$

ตอนนี้เกี่ยวกับความพยายามของฉันในการแก้ปัญหา:

แน่นอนถ้ากลุ่มคือการสับเปลี่ยนปัญหาการทดสอบชัดเจนใน PTIME เนื่องจากส่วนขยายเชิงเส้นทั้งหมดบรรลุองค์ประกอบกลุ่มเดียวกันดังนั้นเราจึงสามารถเลือกหนึ่งในนั้นด้วยการจัดเรียงทอพอโลยีและตรวจสอบว่ามันเป็นหรือไม่ ดังนั้นกรณีที่น่าสนใจไม่สับเปลี่ยนGโดยทั่วไปถ้ามี homomorphism กับกลุ่มสับเปลี่ยนที่ไม่ใช่เรื่องไร้สาระ (เช่นลายเซ็นสำหรับการเรียงสับเปลี่ยน) เงื่อนไขที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอก็คือดูปัญหาผ่านโฮโมมอร์ฟิซึมและตรวจสอบใน PTIME ในรูปสับเปลี่ยน . ฉันล้มเหลวที่จะดูว่าสิ่งนี้สามารถสรุปถึงรูปแบบการสลายตัวสำหรับกลุ่ม จำกัด ทั้งหมดหรือไม่ $G$ $G$ $e$ $G$ $G$
ถ้าลำดับความสัมพันธ์ว่างเปล่า (กล่าวคือเราได้รับองค์ประกอบหลายส่วนในและสามารถใช้การเปลี่ยนแปลงใด ๆ ) ปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกโดยที่สหรัฐฯเป็นจำนวนการเกิดขึ้นของแต่ละองค์ประกอบในที่ยังคงอยู่ ไม่ได้ใช้ (โปรดจำไว้ว่าได้รับการแก้ไขดังนั้นจำนวนสถานะจึงเป็นพหุนามในอินพุต) $G$ $G$ $G$
สำหรับอินพุตที่เป็น poset ของความกว้างคงที่เราสามารถใช้อัลกอริทึมแบบไดนามิกหลังจากการสลายตัวแบบลูกโซ่ ดังนั้นหากค่าความแข็งคงที่จะต้องใช้อินพุตโพเซทที่มีความกว้างตามอำเภอใจ โปรดทราบว่าสำหรับ posets แบบกว้างจำนวนที่เป็นไปได้ "สถานะ" ในวิธีการตั้งโปรแกรมแบบไดนามิกจะเป็นจำนวนupsetsของ poset ซึ่งโดยทั่วไปเป็นเลขชี้กำลังและไม่ใช่พหุนามดังนั้นวิธีการดังกล่าวจึงไม่สามารถทำงานได้โดยตรง
ปัญหาเดียวกันอาจจะศึกษา monoids มากกว่ากลุ่ม แต่สำหรับ monoids ฉันรู้อยู่แล้วว่ามันเป็นเรื่องยากโดยอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนเป็นธรรมที่เกี่ยวข้องกับหนังสือการเปลี่ยนแปลงของหุ่นยนต์และลดการแตกต่างจากที่คำถาม CStheory ก่อนหน้านี้ หลักฐานทั้งหมดนี้อยู่ในเอกสารนี้ภาคผนวก D.1.3 และ D.1.4 แม้ว่าคำศัพท์จะแตกต่างกันมาก ดังนั้นเมื่อการทดสอบเป็น PTIME จะต้องใช้การย้อนกลับขององค์ประกอบกลุ่ม $G$
หากเราถามว่าส่วนขยายเชิงเส้นทั้งหมดรู้ถึง (ไม่ใช่ว่าจะมีบ้าง ) ฉันรู้ว่าปัญหาเป็น PTIME หรือไม่ (ดูภาคผนวก D.2 ของคำนำหน้าเดียวกัน) แต่ฉันก็รู้ว่าปัญหาอื่น ๆ จะเป็น coNP- ยากสำหรับ monoids แทนที่จะเป็นกลุ่ม (D.1.3 และ D.1.4) $e$

หาก -test เป็นเรื่องยากสำหรับบางแน่นอนคำถามธรรมชาติไม่ว่าจะเป็นขั้วบางส่วนถือและที่เกณฑ์ที่จะแยกแยะความแตกต่างเวไนยและไม่เวไนยGในความเป็นจริงคำถามนี้สามารถถามโดยทั่วไปมากขึ้นเมื่อเราใช้ออโต้ จำกัด แทนกลุ่ม (เป็นทางการ: แก้ไขตัวอักษร จำกัดและ จำกัด ขอบเขตอัตโนมัติหุ่นยนต์ (DFA) บนและพิจารณาปัญหาการทดสอบให้โพสต์ที่มีป้ายกำกับด้วยองค์ประกอบจากของการตรวจสอบว่าบางส่วนขยายเชิงเส้นในรูปแบบคำที่ยอมรับโดย ) แน่นอนว่าฉันไม่มีความคิดเกี่ยวกับคำถามที่ยากขึ้นเหล่านี้ $G$ $G$ $G$ $G$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$ $A$

— a3nm
แหล่งที่มา

คุณสนใจเฉพาะผลลัพธ์เกี่ยวกับปัญหาการทดสอบ

โดยที่

เป็นกลุ่มที่ จำกัด หรือคุณสนใจที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

สำหรับการทดสอบ

เป็นปัญหาสมบูรณ์หรือไม่

G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— Mikhail Rudoy

สำหรับอนันต์

คุณอาจต้องกำหนดขอบเขตความซับซ้อนในการดำเนินงานกลุ่มเพื่อให้ได้อะไรที่น่าสนใจ (จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฟังก์ชั่นการแต่งเพลงนั้นยากมากที่จะคำนวณในองค์ประกอบอินพุต? อย่างไรก็ตามฉันไม่มีตัวอย่างของ "ไม่มีเหตุผล"

ที่มีค่าความแข็งดังนั้นฉันจะสนใจตัวอย่างนี้

G

$G$

G

$G$

— a3nm

มีวิธีใช้ทฤษฎีบทของ Barrington (หรือบางสิ่งบางอย่างคล้ายกับ) ที่นี่หรือไม่? ฉันไม่สามารถหาวิธีได้เนื่องจากฉันไม่สามารถหาวิธีจัดความสัมพันธ์ระยะยาวระหว่างตัวเลือกที่ทำเมื่อเลือกคำสั่งซื้อทั้งหมด แต่บางทีคนอื่นอาจเห็นว่าจะทำอย่างไร

— DW

2

ผมแสดงด้านล่างที่ปัญหา-test เป็น NP-ยากสำหรับบางคนที่เรียบง่าย แต่กลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดGกรณีที่ จำกัด ยังคงเปิดอยู่ $G$ $G$

พิสูจน์

กำหนดฟังก์ชั่นดังต่อไปนี้: และ $f(x) = -x$ $g_a(x) = x + a$

จากนั้นนำเป็นกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยและโดยมีองค์ประกอบเป็นการดำเนินการ $G$ $f$ $g_a$

โปรดทราบว่าองค์ประกอบของคือดังนั้นนี้เป็นจริงกลุ่มสวยเรียบง่าย $G$ $\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

จากนั้นปัญหา -test คือ NP-hard โดยลดจากพาร์ติชัน $G$

ปัญหาพาร์ทิชันขอให้ลำดับของจำนวนเต็มว่ามีอยู่พาร์ทิชันของลำดับที่ออกเป็นสองส่วนของจำนวนเงินที่เท่ากัน $a_1, a_2, ..., a_n$

สำหรับลำดับดังกล่าวเราใช้ poset ของเราประกอบไปด้วยองค์ประกอบโดยไม่มีการกำหนดลำดับ สององค์ประกอบเหล่านี้มีฉอื่น ๆองค์ประกอบสำหรับ . $P$ $n+2$ $f$ $n$ $g_{a_i}$ $i = 1,..., n$

โปรดทราบว่าและพีโดยใช้เพียงข้อเท็จจริงเหล่านี้เราจะเห็นว่าองค์ประกอบขององค์ประกอบในในลำดับใดจะเท่ากันเสมอที่เป็นชุดของดัชนีที่อยู่ในตำแหน่งระหว่างเกิดขึ้นสองครั้ง $g_p \circ g_q = g_{p+q}$ $f \circ g_p \circ f = g_{-p}$ $P$ $g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$ $I$ $g_{a_i}$ $f$ . ตั้งแต่ตัวตนคือการสั่งซื้อของประกอบด้วยเข้าไปในตัวตนและถ้าหากอยู่ภายใต้การสั่งซื้อที่หรือในคำอื่น ๆ ถ้าหากฉัน $g_0$ $P$ $\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$ $\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

แล้วตัวอย่างของนี้ -problem มีทางออกถ้าหากมีอยู่ดังกล่าวว่า ; นี่เป็นเงื่อนไขที่แน่นอนภายใต้อินสแตนซ์ของพาร์ติชันที่มีวิธีแก้ไข $G$ $I$ $\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

ดังนั้นการลดลงนี้เป็นคำตอบในการรักษา เนื่องจากเป็นเวลาพหุนามอย่างชัดเจน (สมมติว่ามีการเข้ารหัสองค์ประกอบของอย่างสมเหตุสมผล) ปัญหาการทดสอบ -NP จึงสมบูรณ์ $G$ $G$

— Mikhail Rudoy
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก. ในความเป็นจริงฉันรู้เกี่ยวกับการลดการแบ่งพาร์ติชันเพื่อแสดงความแข็งของ

-test สำหรับกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ใช้พลังการแสดงออกเพิ่มเติม (apx D.1.2 ของการพิมพ์ล่วงหน้าของเรา) และเราไม่เห็นวิธีการทดสอบความแข็ง

-test จาก มัน. เป็นเรื่องที่น่าสนใจมาก ๆ ที่คุณสามารถทำได้ในขณะที่ยังไม่ได้ใช้พลังของการจัดลำดับขององค์ประกอบ ขอขอบคุณอีกครั้งสำหรับการชี้ให้เห็น! อย่างไรก็ตามในกรณี จำกัด เรายอมรับว่าการพยายามปรับแต่งหลักฐานของคุณเพื่อใช้ผลรวมที่ถูก จำกัด หรือโมดูล่าและการได้รับกลุ่มแน่นอนจะไม่ส่งผลให้เกิดปัญหาอย่างหนักใช่ไหม?

G

$G$

G

$G$

— a3nm

1

กับผู้เขียนร่วมของเราได้โพสต์เพียงpreprintซึ่งจากการศึกษาปัญหานี้มากขึ้นโดยทั่วไปสำหรับภาษาปกติ ในกรณีของกลุ่มที่มีจำนวน จำกัด เราอ้างว่าปัญหานั้นสามารถจัดการได้ (ใน NL) ในกรณีที่คำสั่งบางส่วนขององค์ประกอบประกอบด้วยการรวมกันเป็นกลุ่มของโซ่: ดูทฤษฎีบท 6.2 เราคาดเดาได้ว่าปัญหาสำหรับ DAG ทั่วไปนั้นอยู่ใน NL เช่นกันและมีความหวังที่จะขยายเทคนิคไปสู่การตั้งค่านั้น แต่เราขาดส่วนประกอบสำหรับเรื่องนี้ซึ่งเกี่ยวข้องกับคำถามนี้ - สำหรับรายละเอียดโปรดดูที่ส่วน preprint 6 วรรค "ข้อ จำกัด " ในตอนท้ายข้อ จำกัด ที่สอง

— a3nm
แหล่งที่มา