มันยังคงเปิดให้กำหนดความซับซ้อนของการคำนวณความน่ากลัวของกราฟระนาบ?

สำหรับการคงที่หนึ่งสามารถกำหนดเส้นเวลารับข้อมูลกราฟไม่ว่าจะเป็นtreewidthมีk อย่างไรก็ตามเมื่อได้รับทั้งและเป็นอินพุตปัญหาจะเป็นปัญหา ( ที่มา ) $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

อย่างไรก็ตามเมื่อกราฟอินพุตเป็นระนาบดูเหมือนว่าจะมีความซับซ้อนน้อยกว่ามาก ปัญหาที่เกิดขึ้นเห็นได้ชัดว่าเปิดในปี 2010 อ้างว่ายังปรากฏตัวในการสำรวจครั้งนี้ในปี 2007 และในหน้าวิกิพีเดียสาขาสลายตัว ตรงกันข้ามปัญหาก็อ้าง NP-ยาก (ไม่มีหลักฐานการอ้างอิง) ในรุ่นก่อนหน้านี้จากการสำรวจดังกล่าวก่อนหน้า แต่ผมถือว่าเป็นข้อผิดพลาด

มันยังคงเปิดให้กำหนดความซับซ้อนของปัญหาให้และกราฟระนาบของการกำหนดมี treewidth ? ถ้าเป็นเช่นนั้นสิ่งนี้ถูกอ้างสิทธิ์ในเอกสารล่าสุดหรือไม่? ทราบผลบางส่วนหรือไม่ ถ้าไม่ใช่ใครจะแก้ไขได้ $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
แหล่งที่มา

คำถามที่น่าสนใจไชโยสำหรับการรีบูตแบบสำรวจ เพื่อชิปใน 2 เซ็นต์ของฉันฉันเชื่อว่าแหล่งที่มาดั้งเดิมของการพิสูจน์เชิงเส้นตรงคือBodlaenderแต่ปัจจัยคงที่ที่ซ่อนอยู่โดยสัญกรณ์ความซับซ้อนเชิงเส้นประสาทนั้นมีมหาศาล บางทีการแยก / ขยายคำถามที่น่าสนใจอาจเป็นไปได้ว่าข้อ จำกัด ของระนาบช่วยให้มีปัจจัยคงที่ที่ใช้งานได้จริงในบริบทนี้หรือไม่?

— Fasermaler

ฉันคิดว่ามันเป็น "ปัญหาที่มีชื่อเสียงและเก่า" ดังนั้นหากคุณไม่พบกระดาษมันอาจจะยังคงเป็นปัญหาที่เปิดอยู่ "หลักฐาน" อื่น ๆ : การบรรยายจากอัลกอริทึมกราฟของหลักสูตร, การใช้งานและการนำไปใช้ (2015), การบรรยายจากกราฟและอัลกอริทึมของหลักสูตร: หัวข้อขั้นสูง (2014), สารานุกรมอัลกอริทึม (2008)

— Marzio De Biasi

@Sariel: มันสามารถประมาณค่าได้ภายในค่าคงที่ (3/2) โดยการใช้ความจริงที่ว่ามันและความกว้างแบนด์วิธอยู่ภายในค่าคงที่ของกันและกัน นอกจากนี้ยังสามารถประมาณค่าได้ในบันทึกของกราฟทั้งหมดโดยใช้ Leighton – Rao; ดูkintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— David Eppstein

@Fasermaler ขั้นตอนแรกในอัลกอริธึมของ Bodlaender (และอัลกอริธึมก่อนหน้านี้ที่เป็น FPT แต่ไม่ใช่เชิงเส้นเวลา) คือการคำนวณการสลายตัวของต้นไม้โดยประมาณซึ่งหนึ่งสามารถใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเพื่อค้นหาการสลายตัวที่เหมาะสม การประมาณที่เข้มงวดมากขึ้นจะเป็นขั้นตอนที่สองที่เร็วขึ้น ดังนั้นความจริงที่ว่าการประมาณความตึงตัวของระนาบที่แน่นกว่านั้นสามารถพบได้โดยใช้ความกว้างของแบรนช์น่าจะนำไปสู่การพึ่งพาพารามิเตอร์ได้ดีขึ้น (ค่าใช้จ่ายในการกลับไปสู่พหุนามจากเชิงเส้น) แต่ฉันไม่รู้เอกสารที่วิเคราะห์สิ่งนี้อย่างรอบคอบ

— David Eppstein

เกี่ยวกับปัญหาการประมาณความกังวล -approximation สำหรับการค้นหาเบาบาง / สมดุลโหนดแยกจะให้ -approximation สำหรับ treewidth ดังนั้นในกราฟทั่วไปเราจะได้ผ่าน ARV / Feige-Lee-Hajiaghayi และในระนาบและครอบครัวที่ปิดตัวลงเล็กน้อย สำหรับกราฟทั่วไปเราสามารถรับโดยที่นั้นเป็นความน่าเชื่อถือ

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— Chandra Chekuri

เท่าที่ฉันทราบความสมบูรณ์แบบ NP ของการคำนวณความน่าเชื่อถือของกราฟระนาบยังคงเปิดอยู่ การอ้างอิงล่าสุดที่ฉันรู้คือการสำรวจโดย Bodlaender จากปี 2012 ที่เรียกว่า `พารามิเตอร์แบบคงที่ ปัญหาแสดงอยู่ในบทสรุปของการสำรวจ

— Bart Jansen
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! (และขอขอบคุณ @MarzioDeBiasi สำหรับการแนะนำการอ้างอิงอื่น ๆ ) ด้วยความอยากรู้อยากเห็นใครบางคนก็รู้ว่าปัญหาเกิดขึ้นเมื่อใด

— a3nm