ความซับซ้อนของจำนวนฟิลด์ตะแกรงที่เลวร้ายที่สุดคืออะไร?

ได้รับคอมโพสิต $N\in\Bbb N$ ช่องหมายเลขทั่วไปตะแกรงเป็นอัลกอริทึมตีนเป็ดรู้จักกันดีที่สุดสำหรับตัวประกอบของจำนวนเต็มN $N$ มันเป็นอัลกอริทึมแบบสุ่มและเราได้รับความซับซ้อนของ $O\Big(e^{\sqrt{\frac{64}{9}}(\log N)^{\frac 13}(\log\log N)^{\frac 23}}\Big)$ ปัจจัยN $N$

ฉันค้นหาข้อมูลเกี่ยวกับความซับซ้อนของกรณีที่แย่ที่สุดในอัลกอริทึมแบบสุ่มนี้ อย่างไรก็ตามฉันไม่พบข้อมูล

(1)ความซับซ้อนของกรณีที่เลวร้ายที่สุดของตะแกรงฟิลด์หมายเลขคืออะไร?

(2)นอกจากนี้ยังสามารถลบการสุ่มที่นี่เพื่อให้อัลกอริทึม subexponential

คำตอบ:

$e^{O(2\sqrt{2}\sqrt{\log n\log\log n})}$

$x$ $x^2 \pmod{n}$ $n$ $n$

ความซับซ้อนเล็กน้อยที่แย่ที่สุดของอัลกอริธึมเหล่านี้คืออินฟินิตี้: ในกรณีของตะแกรงกำลังสองและตะแกรงหมายเลขฟิลด์คุณอาจจะสร้างเดียวกันเสมอในขณะที่วิธีเส้นโค้งรูปไข่คุณอาจสร้างเส้นโค้งรูปไข่เดียวกัน . มีหลายวิธีรอบตัวเช่นใช้อัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลแบบขนาน $x$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

เนื่องจากคุณได้สัมผัสกับ ECM ด้วยเช่นกันเรารู้ว่าอัลกอริทึมแบบสุ่ม subexp เพื่อคำนวณในเวลาที่ใช้ ECM โดยที่ไม่ทราบและสุ่มคุณมีการประเมินจำนวนการทดลองของอัลกอริทึมนี้เพียงพอที่จะได้รับและโดยที่หรือไม่

n! r

$n!r$

O (e x p (\sqrt{\log n}))

$O(exp(\sqrt{\log n}))$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

ฉันมีความคิดในสิ่งที่ไม่มีแต่พูดโดยทั่วไปเมื่อมีการเลือกพารามิเตอร์ใน ECM เรามีความสมดุลระหว่างความน่าจะเป็นที่โค้งจะเพียงพอที่เรียบและเวลาในการทำงานที่จำเป็นในการทดสอบแต่ละเส้นโค้ง โดยปกติจุดสมดุลคือเมื่อT ดังนั้นจำนวนที่คาดหวังของการทดลองควรจะบันทึก)

n! r

$n!r$

p

$p$

T

$T$

1 / p \approx T

$1/p \approx T$

O (\exp \sqrt{\log n})

$O(\exp\sqrt{\log n})$

— Yuval Filmus

n!

$n!$ เป็นปัจจัยของnมันเป็นปัญหาที่เปิดกว้างเพื่อให้ได้แฟคทอเรียลที่ซับซ้อน เรารู้วิธีคำนวณโดยที่ไม่ทราบในเวลา subexp หากเรารู้จักและสองตัวเราจะได้รับในเวลาที่ subexp ถ้า 1

n

$n$

n! r

$n!r$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(n! r, n! s) = n!

$(n!r,n!s)=n!$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

ฉันจำการคำนวนได้ซักพัก ฉันไม่คิดว่าฉันจะได้รับการปรับปรุงเนื่องจากมีการจับและฉันจำรายละเอียดไม่ได้

ย่อหน้าสุดท้ายดูเหมือนจะแปลก & สามารถชี้แจงเพิ่มเติมได้ คุณกำลังพูดถึงสถานการณ์ที่ RNG "แตก" ในแง่ที่ว่ามันไม่ได้สุ่มตัวอย่างพื้นที่การกระจายโดยรวมหรือไม่? แต่ถ้างั้นก็ไม่ช่วยไม่ได้ เพราะมันจะเหมือนกัน "แตก" RNG ในแบบคู่ขนาน? หรือเป็นความคิดที่มันจะเป็น RNG ที่แตกต่างกันทำงานในแบบคู่ขนาน? อันที่จริงแล้วความซับซ้อนของอัลกอริธึมแบบคู่ขนานของแฟคตอริ่งเป็นหัวข้อที่ซับซ้อนอื่น ๆ ทั้งหมดเช่นบางอันสามารถขนานได้ดีกว่าคนอื่น ๆ , บิ๊กโออาจไม่สามารถใช้งานได้อย่างแน่นอน

— vzn

ในช่วงไม่กี่เดือนที่ผ่านมามีการวิเคราะห์รุ่นของฟิลด์หมายเลขอย่างเข้มงวด: http://www.fields.utoronto.ca/talks/rigorous-analysis-randomized-number-field-sieve-factoring

โดยทั่วไปเวลาทำงานที่เลวร้ายที่สุดคือโดยไม่มีเงื่อนไขและภายใต้ GRH นี่ไม่ใช่สำหรับตะแกรงหมายเลขฟิลด์ "คลาสสิค" แต่เป็นรุ่นที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อยซึ่งจะสุ่มขั้นตอนเพิ่มเติมเพื่อให้การวิเคราะห์ความซับซ้อนง่ายขึ้น $L_n(1/3, 2.77)$ $L_n(1/3, (64/9)^{1/3})$

ฉันเชื่อว่าเอกสารที่เกี่ยวข้องยังอยู่ระหว่างการตรวจสอบ

อัปเดต: กระดาษหมดแล้ว Jonathan D. Lee และ Ramarathnam Venkatesan, "การวิเคราะห์อย่างเข้มงวดของตะแกรงสนามแบบสุ่ม" วารสารทฤษฎีจำนวน 187 (2018), หน้า 92-159, หน้า: 10.1016 / j.jnt.2017.10.019

— Đạo
แหล่งที่มา

คุณสามารถให้การอ้างอิงที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นซึ่งเราสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมด้วยชื่อผู้แต่งและตำแหน่งที่เผยแพร่เพื่อให้คำตอบยังคงมีประโยชน์แม้ว่าลิงก์จะหยุดทำงาน

— DW

เนื่องจากผลลัพธ์เพิ่งประกาศเมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันเชื่อว่าขณะนี้อยู่ระหว่างการตรวจสอบตามที่ระบุในคำตอบของฉันและยังไม่ได้เผยแพร่ ฉันจะอัปเดตคำตอบของฉันในอนาคตเมื่อมีข้อมูลการเผยแพร่

— djao

FWIW ดูเหมือนว่าจะไม่อยู่ใน arxiv.org อย่างไรก็ตามผู้เขียนคือ Ramarathnam Venkatesan ซึ่งอาจช่วยในการค้นหาในอนาคตหากจำเป็น

— Peter Taylor

จริงๆแล้วมันเป็นงานเขียนสองชิ้น (JD Lee และ R. Venkatesan): cmi.ac.in/activities/ …

— Sary