Razborov พิสูจน์ให้เห็นว่าฟังก์ชั่นจับคู่เดียวไม่ได้อยู่ในMP แต่เราสามารถคำนวณการจับคู่โดยใช้วงจรขนาดพหุนามกับการปฏิเสธได้หรือไม่? มีวงจร P / poly ที่มีการปฏิเสธที่คำนวณการจับคู่หรือไม่? การแลกเปลี่ยนระหว่างจำนวนของการปฏิเสธและขนาดของการจับคู่คืออะไร$O(n^\epsilon)$

Markov พิสูจน์ว่าฟังก์ชันใด ๆของอินพุตสามารถคำนวณได้ด้วย⌈ log ( n + 1 ) ⌉ negations เท่านั้น ฟิชเชอร์เวอร์ชั่นสร้างสรรค์ที่มีประสิทธิภาพถูกอธิบายโดย ดูการอธิบายผลลัพธ์จากบล็อก GLLด้วย$n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

อย่างแม่นยำมากขึ้น:

ทฤษฎีบท:สมมติว่าถูกคำนวณโดยวงจรCกับgประตูแล้วมันก็คำนวณโดยวงจรC ∗กับ2 g + O ( n 2 log 2 n )ประตูและ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ negations$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

แนวคิดหลักคือการเพิ่มสำหรับแต่ละสายในCลวด parellel W 'ในC *ที่มักจะดำเนินการเติมเต็มของW เคสพื้นฐานสำหรับสายอินพุต: ฟิชเชอร์อธิบายวิธีสร้างวงจรผกผันI ( x ) = ¯ xด้วยO ( n 2 log 2 n )ประตูและมีเพียง ⌉ log ( n + 1 ) ⌉ negations สำหรับประตู AND ของวงจรC = b $w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$เราสามารถขยายกับ ' = B ' ∨ ค'และเช่นเดียวกันหรือประตู ไม่ได้ประตูใน Cไม่มีค่าใช้จ่ายเราเพียงสลับบทบาทของ wและ w ′ดาวน์สตรีมของประตูไม่ออก ด้วยวิธีนี้วงจรทั้งหมดนอกเหนือจากวงจรย่อยของอินเวอร์เตอร์คือโมโนโทน$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

AA มาร์คอฟ ในความซับซ้อนผกผันของระบบการทำงาน J. ACM , 5 (4): 331–334, 1958

MJ Fischer ความซับซ้อนของเครือข่ายปฏิเสธ จำกัด - สำรวจโดยย่อ ใน ทฤษฎีออโตมาตะและภาษาทางการ , 71–82, 1975

How to compute the inversion of $2^n-1$ bits using $n$ negations

Let the bits $x_0, \ldots, x_{2^n-1}$ be sorted in the decreasing order, i.e. $i<j$ implies $x_i \ge x_j$. This can be achieved by a monotone sorting network like the Ajtai–Komlós–Szemerédi sorting network.

We define the inversion circuit for $2^n-1$ bits $I^n(\vec{x})$ inductively: For the base case we have $n=1$ and $I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$. Let $m=2^{n-1}$. We reduce $I^n$ (for $2m+1$) bits to one $I^{n-1}$ gate (for $m$ bits) and one negation gate using $\land$ and $\lor$ gates. We use negation to compute $\lnot x_m$. For $i<m$ let $y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$. We use $I^{n-1}$ to invert $\vec{y}$. Now we can define $I^n$ as follows:

It is easy to verify this inverts $\vec{x}$ by considering the possible values of $x_n$ and using the fact that $\vec{x}$ is decreasing.

From Michael J. Fischer, The complexity of negation-limited networks - a brief survey, 1975.