คำตอบ:
Markov พิสูจน์ว่าฟังก์ชันใด ๆของอินพุตสามารถคำนวณได้ด้วย⌈ log ( n + 1 ) ⌉ negations เท่านั้น ฟิชเชอร์เวอร์ชั่นสร้างสรรค์ที่มีประสิทธิภาพถูกอธิบายโดย ดูการอธิบายผลลัพธ์จากบล็อก GLLด้วย
อย่างแม่นยำมากขึ้น:
ทฤษฎีบท:สมมติว่าถูกคำนวณโดยวงจรCกับgประตูแล้วมันก็คำนวณโดยวงจรC ∗กับ2 g + O ( n 2 log 2 n )ประตูและ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ negations
แนวคิดหลักคือการเพิ่มสำหรับแต่ละสายในCลวด parellel W 'ในC *ที่มักจะดำเนินการเติมเต็มของW เคสพื้นฐานสำหรับสายอินพุต: ฟิชเชอร์อธิบายวิธีสร้างวงจรผกผันI ( x ) = ¯ xด้วยO ( n 2 log 2 n )ประตูและมีเพียง ⌉ log ( n + 1 ) ⌉ negations สำหรับประตู AND ของวงจรC = b ∧เราสามารถขยายกับ ' = B ' ∨ ค'และเช่นเดียวกันหรือประตู ไม่ได้ประตูใน Cไม่มีค่าใช้จ่ายเราเพียงสลับบทบาทของ wและ w ′ดาวน์สตรีมของประตูไม่ออก ด้วยวิธีนี้วงจรทั้งหมดนอกเหนือจากวงจรย่อยของอินเวอร์เตอร์คือโมโนโทน
AA มาร์คอฟ ในความซับซ้อนผกผันของระบบการทำงาน J. ACM , 5 (4): 331–334, 1958
MJ Fischer ความซับซ้อนของเครือข่ายปฏิเสธ จำกัด - สำรวจโดยย่อ ใน ทฤษฎีออโตมาตะและภาษาทางการ , 71–82, 1975
Let the bits be sorted in the decreasing order, i.e. implies . This can be achieved by a monotone sorting network like the Ajtai–Komlós–Szemerédi sorting network.
We define the inversion circuit for bits inductively: For the base case we have and . Let . We reduce (for ) bits to one gate (for bits) and one negation gate using and gates. We use negation to compute . For let . We use to invert . Now we can define as follows:
It is easy to verify this inverts by considering the possible values of and using the fact that is decreasing.
From Michael J. Fischer, The complexity of negation-limited networks - a brief survey, 1975.