อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างสมมติฐานเหล่านั้นในทฤษฎีความซับซ้อนแบบละเอียด

ทฤษฎีความซับซ้อนผ่านแนวคิดเช่น NP-ครบถ้วนสมบูรณ์แยกความแตกต่างระหว่างปัญหาการคำนวณที่มีวิธีการแก้ปัญหาที่ค่อนข้างมีประสิทธิภาพและผู้ที่ดื้อดึง ความซับซ้อน "ละเอียด" มีวัตถุประสงค์เพื่อปรับแต่งความแตกต่างเชิงคุณภาพนี้เป็นแนวทางเชิงปริมาณเกี่ยวกับเวลาที่แน่นอนในการแก้ปัญหา รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถดูได้ที่นี่: http://simons.berkeley.edu/programs/complexity2015

นี่คือสมมติฐานที่สำคัญบางประการ:

ผลประโยชน์ทับซ้อน: -ต้องเวลาสำหรับบาง0$3$$SAT$$2^{\delta n}$$\delta > 0$

SETH: สำหรับทุก ๆมีที่ -บนตัวแปรไม่สามารถแก้ไขคำสั่งได้ในเวลาk k S T n ม. 2 ( 1 - ε ) n P o L Y $\varepsilon > 0$$k$$k$$SAT$$n$$m$$2^{(1-\varepsilon)n}~poly~m$

เป็นที่รู้จักกันว่า SETH จะแข็งแกร่งกว่าผลประโยชน์ทับซ้อนและพวกเขาทั้งสองมีความแข็งแกร่งกว่า$P \neq NP$และทั้งสองแข็งแรงกว่า$FTP\neq W[1]$ ]

การคาดเดาที่สำคัญอีกสี่ประการ:

1. 3SUM Conjecture: 3SUM กับจำนวนเต็ม$n$ใน$\{-n^3,…,n^3\}$ต้องใช้$n^{2-o(1)}$เวลา

2. OV การคาดคะเน: เวกเตอร์ตั้งฉากบน$n$เวกเตอร์ต้อง$n^{2-o(1)}$เวลา

3. APSP การคาดคะเน: คู่ทุกเส้นทางที่สั้นที่สุดใน$n$โหนดและ$O(\log n)$น้ำหนักบิตต้อง$n^{3-o(1)}$เวลา

4. การคาดคะเน BMM: ใด ๆ "combinatorial" อัลกอริทึมสำหรับการคูณเมทริกซ์บูลีนต้อง$n^{3-o(1)}$เวลา

เป็นที่ทราบกันดีว่า SETH มีความหมายว่า OV Conjecture (Ryan Willams, 2004) นอกจากหลักฐานของไรอัน SETH$\implies$ OV Conjecture ไม่มีการลดอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการคาดเดา

คำถามของฉัน: คุณรู้จักสมมติฐานหรือการคาดเดาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องในด้านนี้หรือไม่? ความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาคืออะไร?

การรับทราบ: ผลลัพธ์ที่แสดงนั้นมาจากสไลด์ของ Virginia Vassilevska Williams เธอก็ให้คำตอบบางส่วนกับคำถามนี้

ลิงก์ไปยังสไลด์: http://theory.stanford.edu/~virgi/overview.pdf

บทความนี้เป็นรายงานเมื่อเร็ว ๆ นี้ที่แนะนำการตั้งสมมติฐาน Strong Exponential Time (NSETH) ของ Nondeterministic ซึ่งเป็นส่วนเสริมของ SETH

NSETH: สำหรับทุกมีkดังกล่าวว่าk -DNF-ตึงไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลา nondeterministic 2 ( 1 - ε ) n$\epsilon >0$$k$$k$$2^{(1-\epsilon)n}$

NSETH บอกเป็นนัยว่า SETH ถ้า NSETH เป็นจริงแล้วปัญหาบางอย่างไม่มีขอบเขตของ SETH ที่ต่ำกว่า (เพราะมีอัลกอริทึมแบบ nondeterministic เร็วกว่าอัลกอริธึมที่กำหนดขึ้น)

บทความนี้ยังนำเสนอสมมติฐานที่ไม่สม่ำเสมอแบบไม่ระบุชื่อ Nondeterministic Strong (NUNSETH) ซึ่งเป็นสมมติฐานที่แข็งแกร่งกว่า NSETH และ SETH

NUNSETH: สำหรับทุกมีkดังกล่าวว่าk -DNF-ตึงไม่สามารถรับการยอมรับจากครอบครัววงจร nondeterministic ขนาด2 ( 1 - ε ) n$\epsilon >0$$k$$k$$2^{(1-\epsilon)n}$

การคาดเดาที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งคือความแข็งของ -Clique สำหรับค่าคงที่k (ดูที่นี่ )$k$$k$

นี่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่คุณกำลังมองหา แต่มีเอกสาร FOCS ที่น่าสนใจที่แสดงว่าปัญหาตามธรรมชาติที่เรียกว่า "การจับคู่สามเหลี่ยม" นั้นยากสำหรับการคาดเดาของ SETH, 3SUM หรือ APSP (ดูที่นี่ ) ในปัจจุบันยังไม่ทราบว่าการคาดเดาทั้งสามข้อนี้บ่งบอกถึงกันและกันในวิธีที่น่าสนใจหรือไม่ - นี่เป็นหนึ่งในคำถามเปิดที่สำคัญของความซับซ้อนแบบละเอียด

ผลลัพธ์ที่ค่อนข้างล่าสุดโดย Backurs, Indyk ยอมรับ STOC 2015 ที่คำนวณระยะทางแก้ไขในเวลา → SETHเน็คไทเท็จอย่างเป็นระเบียบ / แข็งแกร่งต่อโปรแกรม / กระบวนทัศน์ พวกเขามีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับ / สร้างขึ้นจากผลวิลเลียมส์ที่ SETH →เวกเตอร์มุมฉากคาดเดา (ครอบคลุมโดยสื่อหลักบอสตันโกลบ)$O(n^{2-\epsilon})$

• ไม่สามารถคำนวณระยะทางแก้ไขได้ในเวลา Subquadratic อย่างยิ่ง (เว้นแต่ว่า SETH เป็นเท็จ) / Backurs, Indyk

• แผนที่ใหม่บ่งบอกถึงขีด จำกัด ของการคำนวณ / Pavlus, นิตยสาร Quanta

• 40 ปีที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มองหาวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่มีอยู่ / บอสตันโกลบ

• Puzzling Evidence / บล็อก RJLipton

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันมากเนื่องจาก Wehar พิจารณาปัญหา "2 DFA intersection emptiness" และพบว่า →เวลา SETH false$O(n^{2-\epsilon})$

• การตัดสินใจความว่างเปล่าของการแยกภาษาปกติในเวลา subquadratic / cstheory SE

Wehar มีผลลัพธ์อื่น ๆ ที่ดูเหมือนจะพอดีกับการเชื่อมต่อทั่วไป "ความซับซ้อนของเนื้อละเอียด" ซึ่งความว่างเปล่าของการตัดกัน DFA เดียวกันในn o ( k )เวลา→ N L ⊊ $k$$n^{o(k)}$$NL \subsetneq P$

• ผลการค้นหาความแข็งสำหรับแยกไม่ว่างเปล่า / Wehar

ตามแนวเส้นเหล่านี้มันยังมีมูลค่าการกล่าวขวัญว่ามีการเชื่อมต่อที่สำคัญที่รู้จักกันระหว่างการก่อสร้าง DFA และการคำนวณระยะทาง Levenshtein เช่นในบทความนี้

• การแก้ไขสตริงอย่างรวดเร็วด้วย Levenshtein automata / Shulz, Mihov