การตรวจสอบความเท่าเทียมกันของ polytopes สองรายการ

14

พิจารณาเวกเตอร์ของตัวแปรและชุดของเส้นตรงข้อ จำกัด ที่ระบุโดยข $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

นอกจากนี้ให้พิจารณา polytopes สองรายการ

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

ที่ 's และ ' s เป็นเลียนแบบแมป กล่าวคือพวกเขามีรูปแบบ d(เราทราบว่าและเป็น polytopes เพราะเป็น "affine mappings" ของ polytope ) $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

คำถามคือวิธีการตัดสินใจว่าและมีค่าเท่ากันหรือไม่? ความซับซ้อนคืออะไร? $P_1$ $P_2$

แรงจูงใจของปัญหามาจากเครือข่ายเซ็นเซอร์ แต่ดูเหมือนว่าจะเป็นปัญหาทางเรขาคณิตที่น่ารัก เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้ในระยะเวลาหนึ่งโดยการแจกแจงจุดยอดทั้งหมดของและแต่มีแนวทางที่ดีกว่านี้หรือไม่? $P_1$ $P_2$

— Maomao
แหล่งที่มา

2

คุณหมายถึงอะไรโดยสองโพลิสทอปที่เทียบเท่ากัน? การตีความสามครั้งมาถึงความคิดของฉันทันที: เท่ากับเซต, เทียบเท่าที่เทียบเท่ากันและเทียบเท่าเชิง combinatorially คำตอบที่มีอยู่สองคำตอบนั้นต่างกัน

— Tsuyoshi Ito

ฉันหมายถึงเท่ากับชุด

— maomao

โปรดแก้ไขคำถามเพื่อรวมคำอธิบายนั้น อย่าเพิ่งทิ้งมันไว้ในความคิดเห็น คำถามควรอยู่ในตัวเองผู้คนไม่ควรอ่านความคิดเห็นเพื่อทำความเข้าใจกับสิ่งที่คุณถาม ขอขอบคุณ.

— DW

12

ฉันไม่สามารถพูดได้อย่างแน่นอนถ้าคุณจะพิจารณาวิธีการต่อไปนี้ดีกว่า แต่จากมุมมองเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อนมีวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น ความคิดคือการใช้ถ้อยคำใหม่คำถามของคุณในทฤษฎีลำดับแรกของปันส่วนด้วยการเพิ่มและการเรียงลำดับ คุณมีที่รวมอยู่ในถ้าหาก $P_1$ $P_2$

\begin{aligned} Φ := \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (A \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq i \leq m}{⋀} f_{i} (\vec{x}) = g_{i} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

หากคุณกำลังมองหาการสนับสนุนเครื่องมือเพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวในทางปฏิบัติผู้แก้ปัญหา SMT สมัยใหม่เช่นz3สนับสนุนทฤษฎีนี้อย่างเต็มที่

— Christoph Haase
แหล่งที่มา

5

ความจริงที่ว่า polytope พื้นฐาน $Ax \le b$ เหมือนกันสำหรับ $P_1$ และ $P_2$ ไม่สำคัญยกเว้นว่าเรารู้บางอย่างเกี่ยวกับ $A$ และ $b$ . นี่เป็นเพราะโพลีท็อปทั่วไปเป็นโครงร่างเลียนแบบของซิมเพล็กซ์ (ดูตัวอย่างเช่น "เลคเชอร์สำหรับโพลีเอพเตส" ของ Ziegler ทฤษฎีบท 2.15) ดังนั้นหาก $A$ และ $b$ เข้ารหัสซิมเพล็กคำถามของคุณเทียบเท่ากับการถามว่าโพลิปโตมอร์ฟมอร์ฟิซึ่มทั่วไปนั้นยากเพียงใด การค้นหาอย่างรวดเร็วเผยให้เห็นกระดาษต่อไปนี้โดย Kaibel และ Schwartz เกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหา Polytope Isomorphismซึ่งพวกเขาแสดงให้เห็นว่ามันเป็นกราฟ Isomorphism ยาก

— Denis Pankratov
แหล่งที่มา

2

ฉันไม่คิดว่าอาร์กิวเมนต์นี้ใช้งานได้ - มันละเว้นมิติของซิมเพล็กซ์ที่กำหนดโดยทฤษฎีบทที่ยกมา (x เป็นส่วนหนึ่งของอินพุตดังนั้นการลดใด ๆ จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่ามันมีขอบเขตแบบ polynomially)

— Colin McQuillan

จุดดี! ดูเหมือนว่าการเรียกร้องของฉันยังคงดำเนินต่อไป แต่เราต้องเข้าไปพิสูจน์ในเอกสารที่ฉันอ้างถึง เริ่มต้นด้วยกราฟที่พวกเขาสร้าง polytope เช่นนั้นสองกราฟ isomorphic ถ้าและถ้า polytopes ที่สอดคล้องกันคือ isomorphic polytopes ของพวกเขามีจำนวนจุดยอดพหุนามและคำอธิบายจุดยอดสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม ดังนั้นเราสามารถใช้ (A, b) เป็น simplex ในมิติที่เป็นจำนวนของจุดยอดและ f เป็นการฉายภาพแบบเลียนแบบที่ให้โพลีท็อปที่สามารถหาได้จากคำอธิบายจุดสุดยอด

— Denis Pankratov