พารามิเตอร์กราฟใดที่ไม่ได้เน้นที่กราฟสุ่ม

เป็นที่ทราบกันดีว่าพารามิเตอร์กราฟสำคัญหลายตัวแสดงความเข้มข้น (แรง) บนกราฟสุ่มอย่างน้อยก็ในบางช่วงของความน่าจะเป็นของขอบ ตัวอย่างทั่วไปบางอย่าง ได้แก่ หมายเลขรงค์, กลุ่มสูงสุด, ชุดอิสระสูงสุด, การจับคู่สูงสุด, หมายเลขการครอบครอง, จำนวนสำเนาของกราฟย่อยคงที่, เส้นผ่านศูนย์กลาง, ระดับสูงสุด, จำนวนตัวเลือก (รายการหมายเลขสี), Lovasz theta- จำนวน, ความกว้างของต้นไม้ ฯลฯ$\theta$

คำถาม: อะไรคือข้อยกเว้นนั่นคือพารามิเตอร์กราฟที่มีความหมายที่ไม่ได้มุ่งเน้นไปที่กราฟแบบสุ่ม?

แก้ไข คำจำกัดความที่เป็นไปได้ของความเข้มข้นคือ:

ให้เป็นพารามิเตอร์กราฟบนกราฟสุ่ม -vertex เราเรียกมันว่าเข้มข้นถ้าสำหรับมันก็ถือว่า ความเข้มข้นมีความแข็งแรงถ้าความน่าจะเป็นใกล้ถึง 1 ที่อัตราเอ็กซ์โพเนนเชียล แต่บางครั้งก็มีการใช้งานที่แข็งแกร่งในแง่ที่แตกต่างซึ่งหมายถึงความจริงที่ว่าคอนเวอร์เจนซ์ยังคงเป็นจริงด้วยช่วงเวลาที่หดตัวทำให้มีช่วงที่แคบมาก ตัวอย่างเช่นถ้าX_nเป็นระดับต่ำสุดดังนั้นสำหรับบางช่วงของความน่าจะเป็นที่ขอบpหนึ่งสามารถพิสูจน์ได้ $X_n$$n$Lim n →การ∞ Pr ( ( 1 - ε ) E ( X n ) ≤ X n ≤ ( 1 + ε ) E ( X n ) ) = $\epsilon>0$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$$ พีลิมn →การ∞ Pr ( ⌊ E ( X n ) ⌋ ≤ X n ≤ ⌈ E ( X n ) ⌉ ) = $X_n$$p$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$$ ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่สั้นที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ เป็นจำนวนเต็ม แต่ค่าที่คาดไว้อาจไม่เป็น)

หมายเหตุ:หนึ่งสามารถสร้างข้อยกเว้นประดิษฐ์จากกฎความเข้มข้น ตัวอย่างเช่นให้$X_n=n$หากกราฟมีจำนวนคี่ที่ขอบและ 0 เป็นอย่างอื่น เห็นได้ชัดว่าไม่เข้มข้น แต่ฉันจะไม่คิดว่ามันเป็นพารามิเตอร์ที่มีความหมาย

พารามิเตอร์จำนวนมากของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อที่ใหญ่ที่สุดไม่ได้มีความเข้มข้นสำหรับถ้าและโดยทั่วไปถ้าอยู่ในหน้าต่างวิกฤติ ตัวอย่างคือเส้นผ่านศูนย์กลางและขนาดของส่วนประกอบที่ใหญ่ที่สุดขนาดของส่วนประกอบที่ใหญ่เป็นอันดับสองจำนวนของชิ้นส่วนที่มีเป็นต้น$G(n,p)$$p=1/n$$p$

ดูเช่น

เดวิด "ทัศนศึกษาแบบบราวเนียนกราฟสุ่มวิกฤตและการรวมตัวกันแบบทวีคูณ" พงศาวดารแห่งความน่าจะเป็น (1997): 812-854

Nachmias, Asaf และ Yuval Peres "กราฟสุ่มที่สำคัญ: เส้นผ่านศูนย์กลางและเวลาในการผสม" พงศาวดารแห่งความน่าจะเป็น 36 หมายเลข 4 (2008): 1267-1286

Addario-Berry, Louigi, Nicolas Broutin และ Christina Goldschmidt "ขีด จำกัด ต่อเนื่องของกราฟสุ่มที่สำคัญ" ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสาขาที่เกี่ยวข้อง 152 ฉบับที่ 3-4 (2012): 367-406

$\#\mathsf{P}$

$2^m$$\pm \Theta(n)$$2^{\Theta(n)}$$(1+\epsilon)$

$(n-1)!/2^{n+1}$$(n-1)!/2$$1/2^n$$(n-2)!/2^{n-1}$เล็กลงด้วยปัจจัยเชิงเส้น หากจำนวนรอบของแฮมิลตันมีความเข้มข้นสูงการพลิกที่ขอบส่วนใหญ่จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงจำนวนนี้ใกล้เคียงกับค่าที่คาดไว้ แต่จากนั้นความผันผวนของในจำนวนขอบจะทำให้เกิดความผันผวนของจำนวนรอบมิลโตเนียนซึ่งเป็นสัดส่วนกับค่าที่คาดไว้ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของความเข้มข้นที่แข็งแกร่ง$\Theta(n)$

ผู้สมัครที่มีเหตุผลอื่น ๆ สำหรับความล้มเหลวในการมีสมาธิรวมถึงจำนวน colorings (พาร์ทิชันของจุดยอดในชุดอิสระ) จำนวนการจับคู่หรือการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบหรือจำนวนของต้นไม้ที่ทอด