2FA ระบุความซับซ้อนของ k-Clique หรือไม่

ในรูปแบบที่เรียบง่าย:

หุ่นยนต์ จำกัด สองทางสามารถรับรู้กราฟ -vertex ที่มีรูปสามเหลี่ยมที่มีสถานะหรือไม่?$v$$o(v^3)$

รายละเอียด

ที่สนใจของที่นี่มีกราฟ -vertex เข้ารหัสโดยใช้ลำดับของขอบแต่ละขอบเป็นคู่ของจุดที่แตกต่างจาก\}$v$$\{0,1,\dots,v-1\}$

สมมติว่าเป็นลำดับของออจำกัด แบบสองทาง (deterministic หรือ nondeterministic) เช่นนั้นจดจำ -Clique บนกราฟอินพุต -vertex และมีรัฐ คำถามทั่วไปคือ:หรือไม่$(M_v)$$M_v$$k$$v$$s(v)$$s(v) = \Omega(v^k)$

ถ้าและสำหรับหลายอนันต์ดังนั้น NL ≠ NP หักทะเยอทะยานผมจึงเงื่อนไขที่ว่าได้รับการแก้ไขและกรณีเป็นครั้งแรกขี้ปะติ๋วหนึ่ง$k = k(v) = \omega(1)$$s(v) \ge v^{k(v)}$$v$$k$$k=3$

พื้นหลัง

ออโตเมติก จำกัด แบบสองทาง (2FA) เป็นเครื่องทัวริงที่ไม่มีพื้นที่ทำงานมีเพียงจำนวนสถานะภายในที่แน่นอนเท่านั้น แต่สามารถย้ายหัวอินพุตแบบอ่านอย่างเดียวไปมาได้ ในทางตรงกันข้ามหุ่นยนต์ จำกัด (1FA) ชนิดปกติจะย้ายหัวอินพุตแบบอ่านอย่างเดียวในทิศทางเดียวเท่านั้น ออโตไฟไนต์สามารถ จำกัด (DFA) หรือ nondeterministic (NFA) เช่นเดียวกับการเข้าถึงข้อมูลทางเดียวหรือสองทาง

กราฟคุณสมบัติเป็นเซตย่อยของกราฟ ให้แสดงว่ากราฟ -vertex กับอสังหาริมทรัพย์Qสำหรับคุณสมบัติกราฟทุกภาษาสามารถรับรู้ได้โดย 1DFA ที่มีสถานะเป็นอย่างมากโดยใช้สถานะสำหรับกราฟที่เป็นไปได้ทั้งหมดและการติดฉลากตามและการเปลี่ยนระหว่าง ระบุด้วยขอบ จึงเป็นภาษาที่ปกติสำหรับทรัพย์สินใด ๆQโดยทฤษฎีบท Myhill-Nerode มีแล้วขึ้นไม่ซ้ำกับมอร์ฟที่เล็กที่สุด 1DFA ที่ตระหนักถึงQ_vหากมี$Q$$Q_v$$v$$Q$$Q$$Q_v$$2^{v(v-1)/2}$$Q$$Q_v$$Q$$Q_v$$2^{s(v)}$จากนั้นขอบเขตการระเบิดมาตรฐานให้ผลลัพธ์ที่ 2FA รู้จักอย่างน้อย s ( v ) Ω ( 1 )สถานะ ดังนั้นวิธีการนี้โดยใช้ขอบเขตการระเบิดมาตรฐานจะให้ผลที่มีกำลังสองสูงสุดในขอบเขตล่าง vกับจำนวนของรัฐใน 2FA สำหรับ Q vใด ๆ(แม้เมื่อ Qนั้นยากหรือไม่สามารถคาดเดาได้)$Q_v$$s(v)^{\Omega(1)}$$v$$Q_v$$Q$

-Clique เป็นคุณสมบัติกราฟของประกอบด้วยsubgraph k -vertex ที่สมบูรณ์ การรับรู้ k -Clique vสามารถทำได้โดย 1NFA ที่แรก nondeterministically เลือกหนึ่งใน ($k$$k$$k$$_v$ k-cliqu ที่มีศักยภาพต่างกันเพื่อค้นหาแล้วสแกนอินพุตหนึ่งครั้งค้นหาแต่ละขอบที่ต้องการเพื่อยืนยันกลุ่มและติดตามขอบเหล่านี้โดยใช้2k(k-1)/2สถานะสำหรับแต่ละ กลุ่มคนที่มีศักยภาพต่างกัน 1NFA ดังกล่าวมี ($\binom{v}{k}$$k$$2^{k(k-1)/2}$รัฐที่1≤ควี≤อี เมื่อkได้รับการแก้ไขนี้เป็นΘ(วีk)รัฐ อนุญาตให้เข้าถึงแบบสองทางในการป้อนข้อมูลที่อาจช่วยให้การปรับปรุงมากกว่าขอบเขตทางเดียวนี้ คำถามนั้นถามk=$\binom{v}{k}2^{k(k-1)/2} = (c_v 2^{(k-1)/2}/k)^k.v^k$$1 \le c_v \le e$$k$$\Theta(v^k)$$k=3$ ว่า 2FA สามารถทำได้ดีกว่าขอบเขต 1FA นี้หรือไม่

ภาคผนวก (2017/04/16):ดูยังเป็นคำถามที่เกี่ยวข้องสำหรับช่วงเวลาที่กำหนดและมีความสุขคำตอบที่ครอบคลุมขั้นตอนวิธีการที่รู้จักกันดี คำถามของฉันมุ่งเน้นไปที่พื้นที่ non-uniform unondeterministic ในบริบทนี้การลดการคูณเมทริกซ์ที่ใช้โดยอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพด้านเวลานั้นแย่กว่าวิธีการบังคับแบบเดรัจฉาน

สำหรับฉันดูเหมือนว่ารูปสามเหลี่ยมสามารถทำได้โดย 2FA กับสถานะO ( n 2 ) (n คือจำนวนจุดยอด)$A$$O(n^2)$

สำหรับความคิดมีดังนี้:$k=3$

1. ในเฟส 1 เลือกขอบ( i , j )และร้านค้า( p h a s e 1 , i , j )ในสถานะของมัน$A$$(i,j)$$(phase 1,i,j)$
2. ในระยะที่ 2 จะย้ายไปที่ขอบของแบบฟอร์มหรือ( m , i )และถือว่าสถานะของแบบฟอร์ม( p h a s e 2 , j , m $(i,m)$$(m,i)$$(phase 2,j,m)$
3. ในระยะที่ 3 จะตรวจสอบว่ามีบางขอบหรือ( m , j )และถือว่าสถานะการยอมรับถ้าพบว่ามี$(j,m)$$(m,j)$

ที่จริงแล้วสามารถทำได้ในลักษณะจากซ้ายไปขวา (จากนั้นอาจตัดสินใจเลือกที่จะเป็นอันดับแรกสำหรับ( j , m )หรือ( m , j )ในระยะที่ 2) แต่ถ้าขอบ 2 มาในรูปแบบ( M , ฉัน) , ต้องการที่จะอ่านเป็นครั้งแรกที่ฉันแล้วmคือขั้นตอนเดียวซ้ายเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่$A$$(j,m)$$(m,j)$$(m,i)$$A$$i$$m$

สิ่งนี้จะส่งผลให้ออโตมาตาที่มีสถานะสำหรับk -Clique สำหรับk > 3โดยคาดเดาชุดSขนาดขนาดk - 3และการทดสอบเป็นครั้งแรกว่าโหนดของSนั้นเชื่อมต่อแบบคู่กับขอบและแต่ละอัน ของฉัน j, ม. ในข้างต้นการตรวจสอบว่าพวกเขามีขอบโหนดทั้งหมดในS$O(n^{k-1})$$k$$k>3$$S$$k-3$$S$$S$