การสลายตัวของต้นไม้สำหรับกราฟระนาบ

ครั้งแรกที่ถามเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ไม่มีคำตอบ

1. สมมติว่าฉันมีกราฟระนาบกับการฝังภาพถ่ายฉันจะหาการสลายตัวของต้นไม้ได้อย่างไร
2. การสลายตัวของต้นไม้ที่เหมาะสมคืออะไร $d$-by-$d$ตารางสี่เหลี่ยม ไม่แน่ใจว่าจะกำหนด "ดีที่สุด" ได้อย่างสมบูรณ์ แต่ควรแยกความแตกต่างระหว่างการย่อยสลายด้วยถุงใบใหญ่และการย่อยสลายด้วยถุงขนาดใหญ่หลายใบ

หากสิ่งที่คุณต้องการจริงๆคือเพื่อกำจัดที่ดีคุณอาจจะมองหาทั่วไปผ่าซ้อนกัน นี่คือกลยุทธ์ที่ใช้ประโยชน์จากตัวแยกที่ดีของกราฟระนาบที่จะให้$O(n^{\omega/2})$ อัลกอริทึมสำหรับการกำจัดแบบเกาส์ดีเทอร์มิแนนต์และเมทริกซ์ที่มาจากกราฟระนาบ

สำหรับคำถามแรกมันเปิดว่าการค้นหาการสลายตัวของต้นไม้สำหรับกราฟระนาบสามารถทำได้ในเวลาพหุนาม อัลกอริทึมการประมาณที่ดีที่สุดอาจเป็นอัลกอริทึมRatCatcherโดย Seymour และ Thomas ซึ่งคำนวณความกว้างแบนด์วิธของกราฟระนาบดังนั้นมันจึงมีอัตราส่วนการประมาณ 1.5 โดยความสัมพันธ์ระหว่างแบนด์วิธและความน่าเชื่อถือ

สำหรับอันที่สองเรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้เกี่ยวกับความน่าเชื่อถือของ $k \times k$ กริด:

ทฤษฎีบท. $k \times k$ ตารางมีความกังวล $k$.

และถุงสามารถถ่ายด้วยขนาด $k+1$มีทั้งหมด $k(k-1)$ถุง. ฉันไม่แน่ใจว่านี่คือสิ่งที่คุณต้องการหรือไม่ดังนั้นหากคุณแก้ไขคำจำกัดความของ "ดีที่สุด"

หากคุณไม่ต้องการการย่อยสลายต้นไม้ที่ดีที่สุดคุณสามารถสร้างการแยกย่อยต้นไม้โดยการใช้ตัวคั่นแบบวนซ้ำ