จำนวนเบราว์เซอร์ของกราฟโดยไม่ใช้อัลกอริทึมของ Karger

เรารู้ว่าอัลกอริทึม mincut Karger สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ (ในทางที่ไม่สร้างสรรค์) ที่จำนวนสูงสุดของ mincuts ไปได้กราฟสามารถมีเป็น$n \choose 2$2

ผมสงสัยว่าถ้าพวกเราก็สามารถพิสูจน์ตัวตนนี้โดยให้ bijective (แทนที่จะนึง) หลักฐานจากชุดของ mincuts เพื่อชุดของ cardinality อีก$n \choose 2$2 ไม่มีเหตุผลที่เฉพาะเจาะจงมันแค่อยากรู้อยากเห็น ฉันพยายามทำด้วยตัวเอง แต่จนถึงตอนนี้ยังไม่ประสบความสำเร็จ ฉันจะไม่ต้องการให้ใครเสียเวลากับเรื่องนี้และถ้าคำถามดูเหมือนไม่มีจุดหมายฉันจะขอให้ผู้ดำเนินรายการดำเนินการตามนั้น

ดีที่สุด -Akash

$\binom{n}{2}$ผูกผมคิดว่าได้รับการพิสูจน์โดยเดิมที Dinitz, Karzanov และซอฟในปี 1976 ใน "โครงสร้างสำหรับระบบการทำงานของทุกตัดขั้นต่ำของกราฟ" บางทีคุณสามารถค้นหาสิ่งที่คุณกำลังมองหาในเอกสารนี้ แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามันเป็นออนไลน์

อย่างไม่เป็นทางการใครสามารถยืนยันว่าเพื่อให้มีจำนวนสูงสุดของการตัดขั้นต่ำโหนดทั้งหมดในกราฟจะต้องมีระดับเดียวกัน

ขอตัดแบ่งกราฟเป็นสองชุดของโหนดและเช่นที่C ให้จำนวนนาทีตัดในกราฟจะแสดงเป็น(G)$G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

พิจารณากราฟที่เชื่อมต่อกันด้วยจุดยอดที่แต่ละจุดยอดมีระดับสอง นี่ต้องเป็นกราฟวัฏจักรและการตัดต่ำสุดคือสองขอบ เห็นได้ชัดว่าการตัดสองขอบใด ๆ จะส่งผลให้เกิดการตัดและการตัดดังกล่าวเป็นการตัดขั้นต่ำ เนื่องจากมีขอบที่แตกต่างกันคู่จึงมีการตัดขั้นต่ำ$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

สร้างกราฟใหม่โดยลบขอบออกจากกราฟวัฏจักร การตัดขั้นต่ำของกราฟใหม่คือหนึ่งขอบและตัดขอบใด ๆ ก็พอเพียง: มีการตัดซึ่งสามารถทำได้$n-1$

สร้างกราฟใหม่โดยเพิ่มขอบลงในกราฟวัฏจักร ตอนนี้สองโหนดมีดีกรีสามและโหนดมีดีกรีสอง การศึกษาระดับปริญญาสามโหนดทั้งสองจะต้องเป็นของหรือทั้งสองเป็นของC ทราบว่าในกรณีของกราฟวงจรที่ไม่มีโหนดถูก จำกัด ให้ปรากฏร่วมกันในหรือC ความหมายก็คือการเพิ่มขอบเพิ่มข้อ จำกัด ซึ่งจะช่วยลดจำนวนของการตัดขั้นต่ำ$n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

การเลื่อนระดับโหนดเพิ่มเติมไปที่ระดับสามจะเพิ่มข้อ จำกัด เพิ่มเติมจนถึงจุดที่มีการตัดระดับต่ำสุดเพียงหนึ่งระดับเท่านั้น

ดังกล่าวข้างต้นแสดงให้เห็นว่ากราฟวงจรเป็น (อย่างน้อย) สูงสุดในท้องถิ่นของMC$mc$

พิจารณาชุดของกราฟที่ทุกโหนดมีระดับสาม การลบขอบให้กราฟด้วยการตัดสองนาทีขั้นต่ำ การเพิ่มขอบดังกล่าวข้างต้นสร้างสองโหนดที่ส่วนใหญ่ปรากฏในด้านเดียวกันของการตัด

นี้แสดงให้เห็นว่ากราฟที่ทุกโหนดปริญญาเป็นสูงสุดในท้องถิ่นของMCสังเกตว่ากราฟที่สมบูรณ์มีการลดขนาดแสดงว่านี่เป็นฟังก์ชันที่ลดลง$k$$mc$$mc=n$$n-1$

ฉันไม่ได้คิดมากเกินไปว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำเป็นระเบียบข้างต้น แต่เป็นวิธีที่เป็นไปได้

นอกจากนี้ฉันคิดว่ากระดาษ Bixby Jelani เนลสันกล่าวถึงในความคิดเห็นต่อคำตอบของเขามีชื่อว่า "จำนวนขั้นต่ำและขอบยอดในกราฟที่มีการเชื่อมต่อที่ขอบและพันธะ M" ( ลิงค์ )