ทฤษฎีบท PCP - ขั้นตอนการลดตัวอักษร

สิ่งต่อไปนี้อาจดูเหมือนโง่ (และนั่นอาจสะท้อนความเข้าใจที่ไม่ดีของฉัน - ดังนั้นโปรดอดทนกับฉัน)

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับทฤษฎีบท PCP เรารู้ว่าหลังจากสามขั้นตอนแรก ได้แก่ การลดองศาการขยายและการขยายช่องว่างเรามีกราฟข้อ จำกัดพร้อมช่องว่างที่ปรับปรุงและขนาดตัวอักษรขนาดใหญ่ (เช่นΣ d t ) เป็นปัญหานี้ที่ขั้นตอนการลดตัวอักษรอยู่$G$$\Sigma^{d^t}$

คำถามของฉันคือว่าตามที่ระบุใน Venkat Guruswami ของเอกสารประกอบการบรรยายเบื้องต้นเกี่ยวกับองค์ประกอบมันดูเหมือนว่าฉันว่าความคิดระดับสูงในการแสดงข้อ จำกัดกว่าขอบอีเป็นข้อ จำกัด บูลีนตัวแปรบูล สิ่งนี้ทำได้โดยไม่ทำอะไรเลยและเราจำเป็นต้องใช้การลด PCP, P eบนขอบนี้ "ดูเหมือนว่า" เป็นการเรียกซ้ำของ PCP และนี่คือที่ฉันเริ่มกังวลเล็กน้อย ดูเหมือนว่าการเรียกซ้ำนี้จะทำให้ขนาดตัวอักษรใหญ่ขึ้นอีกครั้ง$c_e$$e$$P_e$

ผู้เขียนได้เสนอคำอธิบายบางอย่างโดยการสังเกตว่าการเรียกซ้ำครั้งนี้มี "กรณีพื้นฐาน" - กล่าวคือ - การลด PCP "ภายใน" นำไปใช้กับข้อ จำกัด ของขนาดคงที่เท่านั้น

(โดยสิ่งนี้ฉันเข้าใจว่าการเรียกซ้ำภายในจะถูกเรียกใช้เฉพาะเมื่อเรากำลังมองหาข้อ จำกัดผ่านขอบเดียวซึ่งเป็นข้อ จำกัด แบบไบนารี แต่ยังฉันยังไม่ได้มาด้วยความกลัวว่าอย่างใดเราก็อาจระเบิดขนาดตัวอักษร แทนที่จะหดตัวลง) สำหรับฉันมันยังคงดูเหมือนว่าการทำซ้ำขั้นตอนซ้ำของ Gap Amplification จะทำให้เรื่องแย่ลงโดยการทำให้ขนาดตัวอักษรใหญ่ขึ้นเว้นแต่ว่าเราจะใช้มาตรการเพื่อจัดการกรณีพื้นฐานแตกต่างกันเล็กน้อย$c_e$

ฉันหวังว่าข้อความค้นหาของฉัน (โง่เหมือนที่เป็นอยู่) อาจชัดเจน โปรดแจ้งให้ฉันทราบว่าฉันขาดส่วนสำคัญอะไร (หรือเข้าใจผิด)

คุณกำลังถามเกี่ยวกับหลักฐานของ Dinur เกี่ยวกับทฤษฎีบท PCP ขั้นตอนการลดขนาดตัวอักษรใช้ PCP แต่ PCP มีพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันมากจากที่คุณสร้างขึ้นและคุณไม่จำเป็นต้องใช้การเรียกซ้ำเพื่อสร้าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการพิสูจน์ของ Dinur เนื่องจาก PCP ด้านในสำหรับการลดขนาดตัวอักษรนี้ใช้กับอินพุตที่มีขนาดคงที่เราไม่สนใจว่าจะมีการระเบิดขนาดใหญ่ (อธิบายแบบเอกซ์โปเนนเชียลหรือมากกว่านั้น) ซึ่งทำให้ง่ายต่อการให้ ก่อสร้างโดยตรงของ PCP ที่ดีพอ

หลักฐานทั้งหมดรวมถึงขั้นตอนนี้มีการอธิบายในหลายสถานที่ (ดูคำตอบสำหรับคำถามนี้ ) และดังนั้นคุณอาจพบคำอธิบายที่แตกต่างที่คุณชอบดีกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งในตำราเรียนที่ซับซ้อนของฉันกับ Sanjeev Arora ซึ่งครอบคลุมในบทที่ 11 และ 22 เรามีสองวิธีทางเลือกในการลดขั้นตอนตัวอักษร หนึ่งคือการใช้ PCP ที่ใช้ Hadamard ในข้อความหลัก แต่บางทีสิ่งที่ง่ายที่สุดที่บรรจุอยู่ในตัวมันเองก็คืองานก่อสร้างในแบบฝึกหัด 22.5 นอกจากนี้เรายังมีตารางในส่วน 22.2.1 ที่แสดงว่าขั้นตอนใดของการพิสูจน์ที่ทำกับขนาดตัวอักษร (และพารามิเตอร์อื่น ๆ เช่นข้อผิดพลาดด้านเสียงขนาดและจำนวนข้อความค้นหา) และอาจบรรเทาความกังวลของคุณ