ปรับปรุงการลดทั่วไปของ Cook สำหรับ Clique เป็น SAT หรือไม่

ฉันสนใจที่จะลด -Clique เป็น SAT โดยไม่ทำให้มีขนาดใหญ่ขึ้น$k$

Clique อยู่ใน NP ดังนั้นจึงสามารถลดลงเป็น SAT โดยใช้พื้นที่ลอการิทึม การลดลงของตำราเรียนของ Garey / Johnson ตรงไปตรงมาจะทำให้อินสแตนซ์นั้นมีขนาดเป็นลูกบาศก์ อย่างไรก็ตาม -Clique อยู่ในทุก P คงที่kจึงมี "ควร" จะต้องมีการลดลงอย่างมีประสิทธิภาพอย่างน้อยคงที่k$k$$k$$k$

วิธีหนึ่งในการสร้างการลดคือการใช้ตัวแปร SAT เป็นเวกเตอร์คุณลักษณะโดยมีตัวแปรที่ตั้งค่าเป็นจริงซึ่งบ่งชี้ว่าจุดสุดยอดที่เกี่ยวข้องอยู่ในกลุ่ม การลดลงนี้เป็นไปตามธรรมชาติ แต่จะสร้างอินสแตนซ์ SAT ของขนาดกำลังสองหากกราฟเบาบาง สำหรับกราฟที่กระจัดกระจายจำเป็นต้องใช้คำสั่งสองส่วนในการบังคับใช้ว่าในทุกคู่ของจุดยอดที่ไม่ติดกันที่จุดสุดยอดหนึ่งจุดอาจอยู่ในกลุ่ม

ลองทำดีกว่า )$O(n^2)$

การลดลงของCook / Schnorr / Pippenger / Fischer ทั่วไปโดยการใช้ NDTM แบบ จำกัด เวลาแบบ polynomially ซึ่งเป็นตัวตัดสินภาษาโดยการจำลอง NDTM ด้วย DTM ที่หลงลืมและจำลองวงจร DTM ที่หลงลืมโดยวงจรและจากนั้นจำลองวงจรด้วย 3 -SAT อินสแตนซ์ นี้จะสร้างอินสแตนซ์ 3 SAT ขนาดถ้ามีเวลา NDTM ผูกพันเป็นT ( n ) ดูเหมือนจะไม่สามารถหลีกเลี่ยงปัจจัยการบันทึกได้เนื่องจากค่าใช้จ่ายเมื่อทำการจำลองด้วยเครื่องที่หลงลืม สำหรับk-คลิกหนึ่งดูเหมือนว่าจะมีt $O(t(n)\log t(n))$$t(n)$$k$ซึ่งมีผลเป็นเช่น 3 SAT ของ O ( n k ( บันทึกn + บันทึกk ) )ขนาดซึ่งเป็นquasilinearสำหรับการแก้ไขk ใน Cook Paper ปี 1988 ของเขาถามว่ามีการลดทั่วไปที่ดีกว่าสำหรับภาษาใน NP หรือไม่และเท่าที่ฉันรู้ว่าสิ่งนี้ยังคงเปิดอยู่ อย่างไรก็ตาม Clique มีโครงสร้างจำนวนมากดังนั้นบางทีอาจทำได้ดีกว่าในกรณีนี้$t(n) = O(nk)$$O(nk(\log n + \log k))$$k$

มีการลดที่ดีขึ้นจาก Clique ถึง SAT หรือไม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นไปได้หรือไม่ที่คงที่ที่จะลดk -Clique เป็น SAT ในขณะที่ยังคงเพิ่มขนาดเชิงเส้นอินสแตนซ์? หรือสามารถใช้ผลลัพธ์ที่มีอยู่เพื่อยืนยันว่าสิ่งนี้ไม่น่าจะเป็นไปได้? ฉันได้ลองใช้Fortnow / SanthanamและDell / van Melkebeekแต่ค่าโสหุ้ยนั้นใหญ่เกินไปสำหรับผลลัพธ์เหล่านี้ที่จะบ่งบอกถึงสิ่งที่เฉพาะเจาะจง$k$$k$

(ฉันได้ทำงานกับการลดที่ดูเหมือนว่าจะหลีกเลี่ยง log factor แต่ก่อนที่จะเสียเวลามากขึ้นในรายละเอียดเต็มไปด้วยเลือดเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของมันฉันต้องการที่จะทราบว่าการลดดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันแล้วหรือไม่ อยู่.)

$k$$O(nk)$$O(nk^2)$$k$$n$

$x_{iv}=1$$v$$i$$x_i$$i$$nk$

$(i,j)$$n$$(\neg x_{iu} \lor x_{jv_1} \lor \dots \lor x_{jv_m})$$v_1,\dots,v_m$$u$$u$$O(nk^2)$

$i$$x_i$$x_i < x_{i+1}$$O(n)$$O(nk)$

$k \lg n$$\lg n$$i$$k$$k(k-1)/2$$O((n+m+k^2) \text{poly}(\lg n))$$m =$