ความซับซ้อนของการขุดโฮโมมอร์ฟิซึมกับวงจรเชิง

รับกราฟแบบกำหนดทิศทางคงที่ (digraph) $D$, $D$ปัญหาการตัดสินใจการระบายความร้อนถามว่า $G$ มี homomorphism ไป $D$. โฮโมมอร์ฟิซึมของ$G$ ถึง $D$ คือการทำแผนที่ $f$ ของ $V(G)$ ถึง $V(D)$ ที่เก็บรักษาอาร์คนั่นคือถ้า $uv$ เป็นส่วนโค้งของ $G$จากนั้น $f(u)f(v)$ เป็นส่วนโค้งของ $D$.)

ชั้นเรียนของ $D$-COLORING ปัญหาการเชื่อมต่ออย่างยิ่งให้ Dichotomy การคาดคะเนสำหรับ CSPs ที่ระบุไว้โดย Feder และ Vardi (สามารถเข้าถึงได้บนCiteseer )

ในบทความปี 2001 (เข้าถึงได้จากหน้าผู้เขียน, ที่นี่ ), Feder พิสูจน์ทฤษฎีบทขั้วคู่เมื่อ$D$เป็นวงจรที่มุ่งเน้น (โดยวงจรที่มุ่งเน้นฉันหมายถึงวงจรที่ไม่ได้บอกทิศทางโดยที่แต่ละขอบถูกแทนที่ด้วยส่วนโค้งเดียวที่สามารถปรับได้ตามอำเภอใจ) กล่าวอีกนัยหนึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าสำหรับวงจรเชิงใด$D$, $D$-COLORING เป็นได้ทั้งพหุนามเวลาแก้ไขหรือ NP- สมบูรณ์

น่าเสียดายที่การจำแนกประเภทของ Feder เป็นสิ่งที่ไม่น่าสนใจอย่างมากและไม่ชัดเจนเนื่องจากความซับซ้อนของหลาย ๆ กรณีนั้นเกี่ยวข้องกับความซับซ้อนของ SAT บางรุ่นที่ขึ้นอยู่กับทิศทาง เมื่อดูที่กระดาษฉันไม่สามารถระบุคำตอบสำหรับคำถามของฉันได้:

คำถาม:อะไรคือขนาดที่เล็กที่สุดของวงจรที่มุ่งเน้น$D$ ดังนั้น $D$-COLORING NP-complete หรือไม่

คำตอบอาจจะระบุไว้ที่ไหนสักแห่งในวรรณกรรม แต่ฉันไม่สามารถหาได้

แก้ไข:ฉันจะให้รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการจำแนกประเภทของ Feder เฟดเดอร์แสดงให้เห็นว่าวงจรเชิง NP-complete ใด ๆ จะต้องมีความสมดุลนั่นคือมีส่วนโค้งจำนวนเท่ากันในทั้งสองทิศทาง จากนั้นให้พิจารณา "ระดับ" ที่เกิดจากการปฐมนิเทศ (เริ่มไปรอบ ๆ วงจรที่จุดสุดยอดโดยพลการถ้าอาร์คไปทางขวาคุณจะขึ้นไป 1 ถ้าอาร์คไปทางซ้ายคุณจะลง 1) จากนั้นถ้ามีอย่างน้อยหนึ่ง "การวิ่งบนล่าง" มันเป็นพหุนาม หากมี "การวิ่ง" อย่างน้อย 3 ครั้งและวัฏจักรนั้นเป็นแกนมันจะทำให้ NP สมบูรณ์ (ในตัวอย่างของAndrásจากความคิดเห็นมี "การวิ่ง" สามแบบ แต่วัฏจักรไม่ใช่แกนหลัก) กรณีที่ยุ่งยากที่สุดคือกรณีที่มี "การวิ่งบนล่าง" สองครั้ง บางตัวนั้นยากพหุนามบางส่วนและเฟดเดอร์เกี่ยวข้องกับปัญหา SAT แบบพิเศษเพื่อให้ได้ขั้ว

ในฐานะที่เป็นคำถามระดับกลาง: อะไรคือวงจรที่เล็กที่สุดที่มีการทำงาน "บนสุด" สามอันและหลักคืออะไร? ตัวอย่างดังกล่าวจะเป็น NP-complete โดยการสนทนาข้างต้น

สำหรับคำถามกลาง (แกนกลางที่มีการวิ่งบนล่างสามครั้ง) แล้วเรื่องนี้ล่ะ?

สัญกรณ์บางอย่าง: ฉันจะอธิบายการทำงานโดยคำใน $\{l,r\}^*$ด้วยเช่น $llrl$ สอดคล้องกับกราฟย่อย $\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$. ระดับเพิ่มขึ้น$r$ ส่วนโค้งและลดลงเมื่อ $l$ โค้งและฉันคิดว่ามันน้อยที่สุด $0$. ข้อ จำกัด ตรงไปตรงมาคือ:

• ไม่สามารถรันได้ซึ่งประกอบด้วยเท่านั้น $l$s หรือของเท่านั้น $r$s เพราะมิฉะนั้นก็มีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ชัดเจนจาก $D$ เพื่อเรียกใช้นี้ (การแมปแต่ละโหนดของ $D$เป็นรายการที่มีระดับเดียวกัน) นี่ก็หมายความว่าระดับสูงสุดจะต้องเป็นอย่างน้อย$3$.
• หากระดับสูงสุดคือ $3$จากนั้นการวิ่งบนล่างสุด (resp bottom-top) ทั้งหมดจะอยู่ในรูปแบบ $llr(lr)^ill$ (รับผิดชอบ $rrl(rl)^irr)$; อีกครั้งมันไม่ยากที่จะหาโฮโมมอร์ฟิซึมจาก$D$ เพื่อเรียกใช้ซึ่งย่อเล็กสุด $i$.

อย่างไรก็ตามสำหรับระดับสูงสุด $4$ มีทางออกคือความยาว $36$: พิจารณา $D$ มอบให้โดย $(rrrlrrlllrll)^3$. สิ่งนี้มีการรันบนล่างสุดที่จำเป็นและเป็นแกนหลัก (ดูด้านล่าง) ตามข้อ จำกัด ข้างต้นจำเป็นต้องมีน้อยที่สุดเนื่องจากการวิ่งแต่ละครั้งจะมีขอบ "ถอยหลัง" เพียงเส้นเดียว

เพื่อโน้มน้าวตัวเราเองว่านี่เป็นแกนกลางให้ตั้งชื่อจุดยอด ($v_1,\ldots,v_{36}$) ด้านล่าง (เช่นระดับ$0$) จุดยอดคือ $v_1,v_{13},v_{25}$. โฮโมมอร์ฟิซึมใด ๆ$\varphi$ จาก $D$ กับกราฟย่อยจะต้องรักษาระดับและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง $\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$; โมดูโล่แบบอัตโนมัติที่เห็นได้ชัด$v_i\mapsto v_{i+12}$ก็พอที่จะพิจารณากรณี $\varphi(v_1)=v_1$. พิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงของ$v_1$ ใน $D$ (บันทึกย่อด้วยระดับ):

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

เริ่มด้วย $\varphi(v_1)=v_1$, เรามี $\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$. แต่ถ้า$\varphi(v_2)=v_{36}$จากนั้น $\varphi(v_3)=v_{35}$และเราไม่มีค่าที่เป็นไปได้สำหรับ $\varphi(v_4)$. เราได้รับ$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$. ต่อไป$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$, แต่สำหรับ $\varphi(v_5)=v_3$ เราได้รับ $\varphi(v_6)=v_4$โดยไม่มีค่าที่เป็นไปได้สำหรับ $\varphi(v_7)$. ดังนั้น$\varphi$ จะต้องมีตัวตนในการทำงานทั้งหมด $v_1\to\ldots\to v_7$และโดยการทำซ้ำอาร์กิวเมนต์เดียวกันสำหรับการรันที่เหลืออยู่จะเป็นจริงในทุก ๆ $D$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$\varphi$ ไม่ทำแผนที่ $D$ ลงบนกราฟย่อยที่เหมาะสม