นี่คือขั้นตอนในทิศทางที่ถูกต้อง ...
ฉันจะยืนยันว่าสำหรับคุณมีn})p=1/21/2−In(1/2)=Ω(1/2n−−−−√)
(นี่ยังไม่แข็งแกร่งเท่าที่ควรเป็นไปได้บางทีมีบางคนสามารถโต้แย้งเพื่อแสดงให้เห็น ) นี่คือภาพร่างหลักฐานΩ(n/2n−−−−√)
มันพอเพียงที่จะแสดงn}) เราทำอย่างนั้น1/2−Ef[min(Inf1[f],Inf2[f])]=Ω(1/2n−−−−√)
โปรดทราบว่าถ้าและเป็นอิสระโดยสมบูรณ์เราจะทำเพราะความคาดหวังของขั้นต่ำของจำนวนเงินอิสระสองค่าคือn}) อันดับแรกเราจะพิจารณาอย่างรอบคอบว่าผลรวมทั้งสองนั้นเกือบเป็นอิสระInf1[f]Inf2[f]1/2−Ω(1/2n−−−−√)
พิจารณาจักรวาลของจุด n โทรและใน -neighborsถ้าพวกเขาแตกต่างกันในเวลาเพียง TH ประสานงาน พูดสองประเทศเพื่อนบ้านมีส่วนร่วม (เพื่อ ) ถ้า(x) (ดังนั้นคือจำนวนการบริจาค -neighbour แบ่งออกเป็น ) โปรดทราบว่าหากและเป็น -neighbour และและคือเพื่อนบ้านแล้วทั้งX={−1,1}nxx′X iiInfi[f]f(x)≠f(x′)Infi[f]i2n−1xx′iyy′i{x,x′}={y,y′}หรือ\จึงต้องมีการบริจาค -neighbors คือผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระแต่ละคนมีความคาดหวัง1/2{x,x′}∩{y,y′}=∅i2n−11/2
แบ่งจักรวาลออกเป็นกลุ่มขนาดสี่โดยที่และอยู่ในกลุ่มเดียวกัน iffและเห็นด้วยกับทุกอย่างยกเว้นพิกัดสองอันแรก จากนั้นสำหรับแต่ละคู่ของ 1-เพื่อนบ้านและแต่ละคู่ของ 2-เพื่อนบ้าน,และอยู่ในกลุ่มเดียวกัน สำหรับให้กลุ่มและให้ RVเป็นจำนวนที่เอื้อ -neighbors ในกรัมจากนั้นยกตัวอย่างเช่นจำนวนรวมของเพื่อนบ้าน 1 คนคือX2n−2xx′xx′(x,x′)(x,x′)xx′gi∈{1,2}cgiig∑gcg1เป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระในแต่ละ\}2n−2{0,1,2}
โปรดทราบว่าและมีความเป็นอิสระถ้าg' โดยการวิเคราะห์กรณีถ้าการกระจายร่วมกันของและเป็น
cg1cg′2g≠g′g=g′cg1cg2
01201/801/8101/2021/801/8
ให้ rvแสดงชุดของกลุ่มที่เป็นกลาง (พวกเขามีส่วนร่วมในจำนวนที่คาดหวังของพวกเขาเพื่อ 1 อิทธิพลและ 2 อิทธิพล) จำนวนของการมีส่วนร่วม 1 เพื่อนบ้านคือ
N={g:cg1=cg2=1}
|N|+∑g∈N¯¯¯¯¯cg1.
ปรับอากาศในสำหรับแต่ละ RV ของและมีความเป็นอิสระ (โดยการตรวจสอบการจัดจำหน่ายร่วมกันของพวกเขาเหนือ) ดังนั้น (ปรับอากาศใน ) ทั้งหมดของ RVเป็นแบบเดียวกันกับดังนั้น
Ng∈N¯¯¯¯¯cg1cg2N{cgi:i∈{1,2},g∈N¯¯¯¯¯}{0,2}
E[|N¯¯¯¯¯|−min(∑g∈N¯¯¯¯¯cg1,∑g∈N¯¯¯¯¯cg2) ∣∣ N]≥Θ(|N¯¯¯¯¯|−−−√).
สุดท้ายโปรดทราบว่าแต่ละกลุ่มเป็นกลางด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ดังนั้นเล็กมากพูด (และแม้ในกรณีนั้นด้านซ้ายมือด้านบนอย่างน้อย ) . จากนี้ขอบเขตล่างที่อ้างสิทธิ์มีดังนี้ ...Pr[|N¯¯¯¯¯|≤2n−2/3]exp(−Ω(2n))−2n