คาดว่าอิทธิพลขั้นต่ำของฟังก์ชันบูลีนแบบสุ่ม


14

f:{1,1}n{1,1}i

Infi[f]=defPrx{1,1}n[f(x)f(xi)]
xiixf
MinInf[f]=defmini[n]Infi[f].

กำหนดพารามิเตอร์ , เราเลือกสุ่มฟังก์ชั่นโดยเลือกความคุ้มค่าในแต่ละปัจจัยการผลิตที่เป็นอิสระที่สุ่มจะเป็นด้วยความน่าจะและกับความน่าจะเป็น . จากนั้นมันก็ง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับทุก ๆ และfortiorip[0,1]pf2n1p11pi[n]

Ef[Infi[f]]=2p(1p)
In(p)=defEf[MinInf[f]]2p(1p).

คำถามของฉันคือ:

มี asymptotically (เกี่ยวกับn ) การแสดงออกที่แน่นสำหรับIn(p) ? แม้แต่สำหรับp=12เราสามารถรับนิพจน์เช่นนี้ได้หรือไม่?

โดยเฉพาะฉันจะดูแลเกี่ยวกับข้อตกลงการสั่งซื้อต่ำเช่นฉันจะสนใจในเทียบเท่า asymptotic สำหรับปริมาณ2p(1p)In(p)(P)

(คำถามถัดไป แต่คำถามที่รองลงมาคือคำถามที่ว่าใครจะได้รับความเข้มข้นที่ดีรอบ ๆ ความคาดหวังนี้)


โดยขอบเขตของเชอร์อฟเราสามารถแสดงให้เห็นว่ามีสมาธิที่ดีดังนั้นเราจึงได้รับการรวมกลุ่ม (ถ้าฉันไม่ได้ยุ่งเกินไป) แต่นี่คือ ส่วนใหญ่มีแนวโน้มหลวมที่ขอบล่าง (เนื่องจากสหภาพถูกผูกไว้) และแน่นอนในขอบเขตบน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันกำลังมองหาขอบเขตบนที่น้อยกว่าเล็กน้อย)Infi[f]

12O(n2n)In(12)12
12

โปรดทราบว่าหนึ่งในประเด็นในการทำที่นอกเหนือจากการขั้นต่ำของตัวแปรสุ่มกระจายเหมือนกัน (อิทธิพล) คือตัวแปรสุ่มเหล่านี้จะไม่ได้เป็นอิสระ ... แม้ว่าฉันไม่คาดหวังความสัมพันธ์ของพวกเขาที่จะสลายตัว "อย่างรวดเร็ว" กับ .nn

(สำหรับสิ่งที่คุ้มค่าฉันได้คำนวณสองสามตัวแรกอย่างชัดเจนถึงและใช้การจำลองเพื่อประมาณค่าต่อไปนี้มากถึงหรือมากกว่านั้นไม่แน่ใจว่ามีประโยชน์อย่างไร อาจเป็นได้ แต่ฉันสามารถรวมได้เมื่อฉันกลับไปที่สำนักงานของฉัน)In(1/2)n=4n=20


นี่เป็นเพียงไม่กี่คนแรก (เฉพาะ 4 คนแรกเท่านั้นที่แน่นอนคนอื่น ๆ มาจากการสุ่มตัวอย่าง (เพื่อประเมินอิทธิพล) เฉลี่ยมากกว่า 10 ^ 5 ฟังก์ชั่นที่สร้างแบบสุ่ม): (หมายเหตุ: สำหรับการจำลองไม่แน่ใจว่าตัวเลขที่ 4 เป็นจริง นัยสำคัญ)
10.50020.37530.335937540.33914184570312550.362360.390770.416680.437390.4535100.4659110.4751190.4965200.4967
ผ่อนผัน C.

คำตอบ:


3

นี่คือขั้นตอนในทิศทางที่ถูกต้อง ...

ฉันจะยืนยันว่าสำหรับคุณมีn})p=1/21/2In(1/2)=Ω(1/2n)

(นี่ยังไม่แข็งแกร่งเท่าที่ควรเป็นไปได้บางทีมีบางคนสามารถโต้แย้งเพื่อแสดงให้เห็น ) นี่คือภาพร่างหลักฐานΩ(n/2n)

มันพอเพียงที่จะแสดงn}) เราทำอย่างนั้น1/2Ef[min(Inf1[f],Inf2[f])]=Ω(1/2n)

โปรดทราบว่าถ้าและเป็นอิสระโดยสมบูรณ์เราจะทำเพราะความคาดหวังของขั้นต่ำของจำนวนเงินอิสระสองค่าคือn}) อันดับแรกเราจะพิจารณาอย่างรอบคอบว่าผลรวมทั้งสองนั้นเกือบเป็นอิสระInf1[f]Inf2[f]1/2Ω(1/2n)

พิจารณาจักรวาลของจุด n โทรและใน -neighborsถ้าพวกเขาแตกต่างกันในเวลาเพียง TH ประสานงาน พูดสองประเทศเพื่อนบ้านมีส่วนร่วม (เพื่อ ) ถ้า(x) (ดังนั้นคือจำนวนการบริจาค -neighbour แบ่งออกเป็น ) โปรดทราบว่าหากและเป็น -neighbour และและคือเพื่อนบ้านแล้วทั้งX={1,1}nxxX iiInfi[f]f(x)f(x)Infi[f]i2n1xxiyyi{x,x}={y,y}หรือ\จึงต้องมีการบริจาค -neighbors คือผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระแต่ละคนมีความคาดหวัง1/2{x,x}{y,y}=i2n11/2

แบ่งจักรวาลออกเป็นกลุ่มขนาดสี่โดยที่และอยู่ในกลุ่มเดียวกัน iffและเห็นด้วยกับทุกอย่างยกเว้นพิกัดสองอันแรก จากนั้นสำหรับแต่ละคู่ของ 1-เพื่อนบ้านและแต่ละคู่ของ 2-เพื่อนบ้าน,และอยู่ในกลุ่มเดียวกัน สำหรับให้กลุ่มและให้ RVเป็นจำนวนที่เอื้อ -neighbors ในกรัมจากนั้นยกตัวอย่างเช่นจำนวนรวมของเพื่อนบ้าน 1 คนคือX2n2xxxx(x,x)(x,x)xxgi{1,2}cigiggc1gเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระในแต่ละ\}2n2{0,1,2}

โปรดทราบว่าและมีความเป็นอิสระถ้าg' โดยการวิเคราะห์กรณีถ้าการกระจายร่วมกันของและเป็น c1gc2gggg=gc1gc2g

01201/801/8101/2021/801/8

ให้ rvแสดงชุดของกลุ่มที่เป็นกลาง (พวกเขามีส่วนร่วมในจำนวนที่คาดหวังของพวกเขาเพื่อ 1 อิทธิพลและ 2 อิทธิพล) จำนวนของการมีส่วนร่วม 1 เพื่อนบ้านคือ N={g:c1g=c2g=1}

|N|+gN¯c1g.

ปรับอากาศในสำหรับแต่ละ RV ของและมีความเป็นอิสระ (โดยการตรวจสอบการจัดจำหน่ายร่วมกันของพวกเขาเหนือ) ดังนั้น (ปรับอากาศใน ) ทั้งหมดของ RVเป็นแบบเดียวกันกับดังนั้น NgN¯c1gc2gN{cig:i{1,2},gN¯}{0,2}

E[|N¯|min(gN¯c1g,gN¯c2g) | N]Θ(|N¯|).

สุดท้ายโปรดทราบว่าแต่ละกลุ่มเป็นกลางด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ดังนั้นเล็กมากพูด (และแม้ในกรณีนั้นด้านซ้ายมือด้านบนอย่างน้อย ) . จากนี้ขอบเขตล่างที่อ้างสิทธิ์มีดังนี้ ...Pr[|N¯|2n2/3]exp(Ω(2n))2n


ขอขอบคุณ! ฉันจะลองและดูว่ามีวิธีที่จะปรับวิธีการของคุณได้รับเพิ่มเติม ภายใต้ราก ...n
Clement C.
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.