คาดว่าอิทธิพลขั้นต่ำของฟังก์ชันบูลีนแบบสุ่ม

$f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ $i$

{Inf}_{i} [f] \overset{d e f}{=} \underset{x \sim {- 1, 1}^{n}}{Pr} [f (x) \neq f (x^{\oplus i})]

$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$

x^{\oplus i}

$x^{\oplus i}$

i

$i$

x

$x$

f

$f$

MinInf [f] \overset{d e f}{=} min_{i \in [n]} {Inf}_{i} [f] .

$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$

กำหนดพารามิเตอร์ , เราเลือกสุ่มฟังก์ชั่นโดยเลือกความคุ้มค่าในแต่ละปัจจัยการผลิตที่เป็นอิสระที่สุ่มจะเป็นด้วยความน่าจะและกับความน่าจะเป็น . จากนั้นมันก็ง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับทุก ๆ และfortiori $p\in[0,1]$ $p$ $f$ $2^n$ $1$ $p$ $-1$ $1-p$ $i\in[n]$

E_{f} [{Inf}_{i} [f]] = 2 p (1 - p)

$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$

I_{n} (p) \overset{d e f}{=} E_{f} [MinInf [f]] \leq 2 p (1 - p) .

$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$

คำถามของฉันคือ:

มี asymptotically (เกี่ยวกับ $n$ ) การแสดงออกที่แน่นสำหรับ $I_n(p)$ ? แม้แต่สำหรับ $p=\frac{1}{2}$ เราสามารถรับนิพจน์เช่นนี้ได้หรือไม่?

โดยเฉพาะฉันจะดูแลเกี่ยวกับข้อตกลงการสั่งซื้อต่ำเช่นฉันจะสนใจในเทียบเท่า asymptotic สำหรับปริมาณ $2p(1-p)-I_n(p)$ (P)

(คำถามถัดไป แต่คำถามที่รองลงมาคือคำถามที่ว่าใครจะได้รับความเข้มข้นที่ดีรอบ ๆ ความคาดหวังนี้)

โดยขอบเขตของเชอร์อฟเราสามารถแสดงให้เห็นว่ามีสมาธิที่ดีดังนั้นเราจึงได้รับการรวมกลุ่ม (ถ้าฉันไม่ได้ยุ่งเกินไป) แต่นี่คือ ส่วนใหญ่มีแนวโน้มหลวมที่ขอบล่าง (เนื่องจากสหภาพถูกผูกไว้) และแน่นอนในขอบเขตบน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันกำลังมองหาขอบเขตบนที่น้อยกว่าเล็กน้อย) $\operatorname{Inf}_i[f]$

\frac{1}{2} - O (\sqrt{\frac{n}{2^{n}}}) \leq I_{n} (\frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

โปรดทราบว่าหนึ่งในประเด็นในการทำที่นอกเหนือจากการขั้นต่ำของตัวแปรสุ่มกระจายเหมือนกัน (อิทธิพล) คือตัวแปรสุ่มเหล่านี้จะไม่ได้เป็นอิสระ ... แม้ว่าฉันไม่คาดหวังความสัมพันธ์ของพวกเขาที่จะสลายตัว "อย่างรวดเร็ว" กับ . $n$ $n$

(สำหรับสิ่งที่คุ้มค่าฉันได้คำนวณสองสามตัวแรกอย่างชัดเจนถึงและใช้การจำลองเพื่อประมาณค่าต่อไปนี้มากถึงหรือมากกว่านั้นไม่แน่ใจว่ามีประโยชน์อย่างไร อาจเป็นได้ แต่ฉันสามารถรวมได้เมื่อฉันกลับไปที่สำนักงานของฉัน) $I_n(1/2)$ $n=4$ $n=20$

reference-request pr.probability boolean-functions

— ผ่อนผัน C.
แหล่งที่มา

นี่เป็นเพียงไม่กี่คนแรก (เฉพาะ 4 คนแรกเท่านั้นที่แน่นอนคนอื่น ๆ มาจากการสุ่มตัวอย่าง (เพื่อประเมินอิทธิพล) เฉลี่ยมากกว่า 10 ^ 5 ฟังก์ชั่นที่สร้างแบบสุ่ม): (หมายเหตุ: สำหรับการจำลองไม่แน่ใจว่าตัวเลขที่ 4 เป็นจริง นัยสำคัญ)

\begin{aligned} 1 & 0.500 \\ 2 & 0.375 \\ 3 & 0.3359375 \\ 4 & 0.339141845703125 \\ 5 & 0.3623 \\ 6 & 0.3907 \\ 7 & 0.4166 \\ 8 & 0.4373 \\ 9 & 0.4535 \\ 10 & 0.4659 \\ 11 & 0.4751 \\ 19 & 0.4965 \\ 20 & 0.4967 \end{aligned}

$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$

— ผ่อนผัน C.

นี่คือขั้นตอนในทิศทางที่ถูกต้อง ...

ฉันจะยืนยันว่าสำหรับคุณมีn}) $p=1/2$ $1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

(นี่ยังไม่แข็งแกร่งเท่าที่ควรเป็นไปได้บางทีมีบางคนสามารถโต้แย้งเพื่อแสดงให้เห็น ) นี่คือภาพร่างหลักฐาน $\Omega(\sqrt{n/2^n})$

มันพอเพียงที่จะแสดงn}) เราทำอย่างนั้น $1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

โปรดทราบว่าถ้าและเป็นอิสระโดยสมบูรณ์เราจะทำเพราะความคาดหวังของขั้นต่ำของจำนวนเงินอิสระสองค่าคือn}) อันดับแรกเราจะพิจารณาอย่างรอบคอบว่าผลรวมทั้งสองนั้นเกือบเป็นอิสระ $\text{Inf}_1[f]$ $\text{Inf}_2[f]$ $1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

พิจารณาจักรวาลของจุด n โทรและใน -neighborsถ้าพวกเขาแตกต่างกันในเวลาเพียง TH ประสานงาน พูดสองประเทศเพื่อนบ้านมีส่วนร่วม (เพื่อ ) ถ้า(x) (ดังนั้นคือจำนวนการบริจาค -neighbour แบ่งออกเป็น ) โปรดทราบว่าหากและเป็น -neighbour และและคือเพื่อนบ้านแล้วทั้ง $X=\{-1,1\}^n$ $x$ $x'$ $X$ $i$ $i$ $\text{Inf}_i[f]$ $f(x) \ne f(x')$ $\text{Inf}_i[f]$ $i$ $2^{n-1}$ $x$ $x'$ $i$ $y$ $y'$ $i$ $\{x,x'\}=\{y,y'\}$ หรือ\จึงต้องมีการบริจาค -neighbors คือผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระแต่ละคนมีความคาดหวัง1/2 $\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$ $i$ $2^{n-1}$ $1/2$

แบ่งจักรวาลออกเป็นกลุ่มขนาดสี่โดยที่และอยู่ในกลุ่มเดียวกัน iffและเห็นด้วยกับทุกอย่างยกเว้นพิกัดสองอันแรก จากนั้นสำหรับแต่ละคู่ของ 1-เพื่อนบ้านและแต่ละคู่ของ 2-เพื่อนบ้าน,และอยู่ในกลุ่มเดียวกัน สำหรับให้กลุ่มและให้ RVเป็นจำนวนที่เอื้อ -neighbors ในกรัมจากนั้นยกตัวอย่างเช่นจำนวนรวมของเพื่อนบ้าน 1 คนคือ $X$ $2^{n-2}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$ $(x,x')$ $(x,x')$ $x$ $x'$ $g$ $i\in\{1,2\}$ $c^g_i$ $i$ $g$ $\sum_g c^g_1$ เป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระในแต่ละ\} $2^{n-2}$ $\{0,1,2\}$

โปรดทราบว่าและมีความเป็นอิสระถ้าg' โดยการวิเคราะห์กรณีถ้าการกระจายร่วมกันของและเป็น $c^g_1$ $c^{g'}_2$ $g\ne g'$ $g=g'$ $c^g_1$ $c^g_2$

\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \\ 1 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 2 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \end{array}

$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$

ให้ rvแสดงชุดของกลุ่มที่เป็นกลาง (พวกเขามีส่วนร่วมในจำนวนที่คาดหวังของพวกเขาเพื่อ 1 อิทธิพลและ 2 อิทธิพล) จำนวนของการมีส่วนร่วม 1 เพื่อนบ้านคือ $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

| N | + \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} .

$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$

ปรับอากาศในสำหรับแต่ละ RV ของและมีความเป็นอิสระ (โดยการตรวจสอบการจัดจำหน่ายร่วมกันของพวกเขาเหนือ) ดังนั้น (ปรับอากาศใน ) ทั้งหมดของ RVเป็นแบบเดียวกันกับดังนั้น $N$ $g\in \overline N$ $c^g_1$ $c^g_2$ $N$ $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ $\{0,2\}$

E [| \bar{N} | - min (\sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g}, \sum_{g \in \bar{N}} c_{2}^{g}) | N] \geq Θ (\sqrt{| \bar{N} |}) .

$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$

สุดท้ายโปรดทราบว่าแต่ละกลุ่มเป็นกลางด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ดังนั้นเล็กมากพูด (และแม้ในกรณีนั้นด้านซ้ายมือด้านบนอย่างน้อย ) . จากนี้ขอบเขตล่างที่อ้างสิทธิ์มีดังนี้ ... $\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ $\exp(-\Omega(2^n))$ $-2^n$

— โอนีลยัง
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณ! ฉันจะลองและดูว่ามีวิธีที่จะปรับวิธีการของคุณได้รับเพิ่มเติม ภายใต้ราก ...

n

$n$

— Clement C.