“ การทำสีกราฟิคที่แตกต่างกันทั้งหมด” - ปัญหาที่ทราบแล้วหรือไม่

18

ฉันสนใจในปัญหาต่อไปนี้: เนื่องจากชุด X และชุดย่อย X_1, ... , X_n ของ X, ค้นหาสีขององค์ประกอบของ X ด้วยสี k เช่นนั้นองค์ประกอบในแต่ละ X_i ล้วนมีสีที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันกำลังดูกรณีที่ X_i ทั้งหมดมีขนาด k สิ่งนี้เป็นที่รู้จักในวรรณกรรมภายใต้ชื่อบางชื่อหรือไม่? ฉันกำลังมองหาลักษณะของอินสแตนซ์ที่เป็นสีและผลลัพธ์ที่ซับซ้อน (P กับ NP-hard) ตัวอย่างเช่นสำหรับ k = 2 อินสแตนซ์แบบ colorable สอดคล้องกับกราฟสองฝ่ายและทำให้สามารถแก้ไขปัญหาได้ในเวลาพหุนาม

— Falk Hüffner
แหล่งที่มา

หากกราฟมีขีด จำกัด ระดับ D จำนวนสีสูงสุดที่ใช้ได้คือ Theta (D / log k): ดูarxiv.org/abs/1009.5893หรือarxiv.org/abs/1009.6144

— daveagp

หากคุณสนใจในตำราเรียนที่มีการระบายสีประเภทนี้ให้ดูที่amazon.com/Introduction-Hypergraph-Theory-Vitaly-Voloshin/dp/ ......หากคุณสนใจที่จะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการใช้งานการระบายสีไฮเปอร์กราฟ รายงานการวิจัย

14

ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้เป็นที่รู้จักกันดีในวรรณคดีว่าเป็นปัญหาในการค้นหาสี k-strong สำหรับกราฟิค k-uniform นี้ควรจะเป็นสถานที่ที่ดีที่จะเริ่มต้น: [PDF]

— เจมส์คิง
แหล่งที่มา

10

มันเป็นเรื่องยากที่สุดเท่าที่ -colororing กราฟโดยที่ถูกสร้างขึ้นโดยการทำให้แต่ละอันเป็นกลุ่ม ข้อ จำกัด ของคุณที่ทั้งหมดมีขนาดหมายความว่าคุณสามารถครอบคลุมแต่ละขอบของด้วย clique บนจุดยอด $k$ $G=(X,E)$ $E$ $X_i$ $X_i$ $k$ $G$ $k$

— เสิร์จ Gaspers
แหล่งที่มา

1

จริง ดูเหมือนว่าการเปลี่ยนแปลงของ Covering By Cliques ใน Garey / Johnson NP-complete สำหรับ fixedแต่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับ (ตามที่ Falk กล่าวถึง)

k \geq 3

$k \ge 3$

k \leq 2

$k \le 2$

— Daniel Apon

2

การสร้างแนะนำในที่นี้คือกราฟ Gaifman อย่างแม่นยำ

G

$G$

— András Salamon

ถูกตัอง. เป็นกราฟ Gaifman แน่นอน

G

$G$

— Serge Gaspers

8

อย่างน้อยที่สุดก็เป็นเรื่องยากที่ -colouring พลกราฟE) สำหรับแต่ละขอบคุณมีเซตย่อย ; ที่นี่แต่ละเป็นองค์ประกอบจำลองที่ไม่ปรากฏในชุดย่อยอื่น ๆ หากคุณสามารถ -colourคุณสามารถค้นหาสีของระบบที่ตั้งไว้ได้อย่างง่ายดาย (เพียงแค่ระบายสีองค์ประกอบหุ่นอย่างโลภ) และในทางกลับกัน $k$ $G = (V,E)$ $e = \{u,v\}$ $X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$ $x(e,j)$ $k$ $G$

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

8

สีซึ่งในทุก hyperedge เป็นน้ำวน (หรือรุ้ง ) นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันเป็นสีที่แข็งแกร่ง

โปรดทราบว่าการระบายสีที่เข้มของกราฟไฮเปอร์เป็นสีที่เหมาะสมของกราฟ Gaifman ของกราฟไฮเปอร์ (ในGaifman กราฟ (หรือกราฟครั้งแรกหรือ2 ส่วน ) ของ hypergraph จะเกิดขึ้นโดยการเพิ่มขอบใด ๆ ระหว่างสองจุดที่ปรากฏร่วมกันในบาง hyperedge.)

ดังนั้นถ้าคุณกำลังมองหา -colouring ของ -uniform hypergraphคุณก็สามารถมองหา -colouring ของกราฟ Gaifman ของได้ กรณีสอดคล้องกับกราฟสีซึ่งเป็นพหุนามเวลาสำหรับและ NP-ที่สมบูรณ์แบบสำหรับ3 เห็นได้ชัดว่าเป็นเรื่องเล็กน้อยนำไปสู่การแก้ปัญหาไม่ได้และกรณีอื่น ๆ ก็เป็นปัญหาที่สมบูรณ์ $k$ $r$ $H$ $k$ $H$ $r=2$ $k=2$ $k\ge 3$ $r <2$ $k\lt r$

การอ้างอิงที่มีประโยชน์ซึ่งมีคำจำกัดความข้างต้นส่วนใหญ่คือ Vitaly I. Voloshin, การระบายสีไฮเปอร์กราฟกราฟผสม: ทฤษฎี, อัลกอริทึมและการประยุกต์ , ฟิลด์ Monographs Institute Monographs 17 , AMS, 2002, ISBN 0-8218-2812-6 หนังสือเล่มนี้ครอบคลุมกรณีทั่วไปของสีที่อ่อนแอโดยเน้นไปที่การรวมขอบสีสองประเภท: -edges ซึ่งมีจุดยอดอย่างน้อยสองจุดที่มีสีทั่วไปและ -edges ซึ่งมีจุดยอดอย่างน้อยสองจุดที่แตกต่างกัน สี $C$ $D$

— András Salamon
แหล่งที่มา

คุณจะแนะนำอะไรสำหรับการอ้างอิงสำหรับปัญหาความแข็งของปัญหา หนังสือด้านบน?

— domotorp

@domotorp no, หนังสือเน้นสีอ่อน ๆ ดูคำตอบโดย Jukka

— András Salamon