คุณจะได้รับแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างจากจุดอื่น ๆ ในแลมบ์ดาคิวบ์ได้อย่างไร

CoC กล่าวกันว่าเป็นสุดยอดของทั้งสามมิติของแลมบ์ดาคิวบ์ สิ่งนี้ไม่ชัดเจนสำหรับฉันเลย ฉันคิดว่าฉันเข้าใจมิติของแต่ละบุคคลและการรวมกันของสองใด ๆ ที่ดูเหมือนจะส่งผลให้มีการรวมกันค่อนข้างตรงไปตรงมา (บางทีฉันอาจจะขาดอะไรบางอย่าง?) แต่เมื่อฉันดู CoC แทนที่จะมองเหมือนการรวมกันของทั้งสามดูเหมือนว่าสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง มิติข้อมูลประเภทใดชนิดหนึ่ง Prop และขนาดเล็ก / ขนาดใหญ่มาจากไหน ผลิตภัณฑ์ที่ขึ้นต่อกันหายไปที่ไหน และทำไมจึงให้ความสำคัญกับข้อเสนอและบทพิสูจน์แทนประเภทและโปรแกรม มีสิ่งที่เทียบเท่าที่เน้นประเภทและโปรแกรมหรือไม่

แก้ไข: ในกรณีที่ไม่ชัดเจนฉันขอคำอธิบายว่า CoC เทียบเท่ากับการรวมกลุ่มของแลมบ์ดาคิวบ์อย่างตรงไปตรงมาได้อย่างไร และมีสหภาพที่แท้จริงของทั้งสามออกจากที่นั่นฉันสามารถเรียน (ที่เป็นในรูปแบบของโปรแกรมและประเภทไม่ใช่หลักฐานและข้อเสนอ)? นี่คือการตอบสนองต่อความคิดเห็นในคำถามไม่ใช่คำตอบปัจจุบัน

ขั้นแรกเพื่อย้ำจุดหนึ่งของโคดี้แคลคูลัสของการเหนี่ยวนำ (ซึ่งเคอร์เนลของ Coq อยู่บนพื้นฐาน) นั้นแตกต่างจากแคลคูลัสของการก่อสร้าง มันเป็นความคิดที่ดีที่สุดที่เริ่มจากทฤษฎีประเภท Martin-Löfกับจักรวาลและจากนั้นเพิ่ม Prop เรียงลำดับที่ด้านล่างของลำดับชั้นของประเภท นี่เป็นสัตว์ร้ายที่แตกต่างจาก CoC ดั้งเดิมซึ่งเป็นความคิดที่ดีที่สุดในฐานะ F-omega รุ่นที่ต้องพึ่งพา (ตัวอย่างเช่น CiC มีโมเดลเชิงทฤษฎีและ CoC ไม่มี)

ที่กล่าวว่าแลมบ์ดา - คิวบ์ (ซึ่ง CoC เป็นสมาชิก) มักจะถูกนำเสนอในรูปแบบของระบบบริสุทธิ์เนื่องจากเหตุผลทางเศรษฐกิจในจำนวนกฎการพิมพ์ โดยการรักษาประเภทประเภทและเงื่อนไขเป็นองค์ประกอบของหมวดหมู่ประโยคเดียวกันคุณสามารถเขียนกฎน้อยลงและหลักฐานของคุณได้รับซ้ำซ้อนน้อยลงเช่นกัน

อย่างไรก็ตามเพื่อความเข้าใจจะเป็นประโยชน์ในการแยกหมวดหมู่ที่แตกต่างออกไปอย่างชัดเจน เราสามารถแนะนำสามประเภทประโยค, ชนิด (ตั้งแต่ไปโดย metavariable k) ประเภท (ตั้งแต่ไปโดย metavariable A) และข้อตกลง (ตั้งแต่ไปโดย metavariable e) จากนั้นทั้งแปดระบบสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นความแตกต่างของสิ่งที่ได้รับอนุญาตในแต่ละระดับ

λ→ (แลมบ์ดาแลมบ์ดาพิมพ์ง่าย)

 k ::= ∗
 A ::= p | A → B
 e ::= x | λx:A.e | e e

นี่คือแคลคูลัสแลมบ์ดาชนิดพื้นฐาน มีชนิดเดียว∗ซึ่งเป็นชนิด ชนิดที่ตัวเองเป็นประเภทอะตอมและประเภทฟังก์ชั่นp A → Bคำศัพท์คือตัวแปรนามธรรมหรือแอปพลิเคชัน

λω_ (STLC + ตัวดำเนินการชนิดที่สูงกว่า)

 k ::= ∗ | k → k
 A ::= a | p | A → B | λa:k.A | A B
 e ::= x | λx:A.e | e e

STLC อนุญาตเฉพาะสิ่งที่เป็นนามธรรมในระดับของข้อกำหนด หากเราเพิ่มไว้ที่ระดับประเภทเราจะเพิ่มประเภทใหม่k → kซึ่งเป็นประเภทของฟังก์ชั่นระดับประเภทและสิ่งที่เป็นนามธรรมλa:k.Aและการประยุกต์ใช้A Bในระดับประเภทเช่นกัน ตอนนี้เราไม่มีพหุสัณฐาน แต่เรามีตัวดำเนินการพิมพ์

หากหน่วยความจำทำหน้าที่ระบบนี้จะไม่มีพลังงานในการคำนวณมากกว่า STLC มันให้ความสามารถในการย่อประเภท

λ2 (ระบบ F)

 k ::= ∗
 A ::= a | p | A → B  | ∀a:k. A 
 e ::= x | λx:A.e | e e | Λa:k. e | e [A]

แทนที่จะเพิ่มตัวดำเนินการประเภทเราอาจเพิ่ม polymorphism ในระดับชนิดเราเพิ่ม∀a:k. Aซึ่งเป็นชนิด polymorphic อดีตและในระดับคำว่าเราเพิ่มเป็นนามธรรมมากกว่าประเภทและการประยุกต์ประเภทΛa:k. ee [A]

ระบบนี้มีประสิทธิภาพมากกว่า STLC มาก - มันมีความแข็งแกร่งเท่ากับเลขคณิตอันดับสอง

λω (ระบบ F-omega)

 k ::= ∗ | k → k 
 A ::= a | p | A → B  | ∀a:k. A | λa:k.A | A B
 e ::= x | λx:A.e | e e | Λa:k. e | e [A]

ถ้าเรามีทั้งตัวดำเนินการประเภทและพหุสัณฐานเราจะได้ F-omega ระบบนี้เป็นทฤษฎีประเภทเคอร์เนลของภาษาการทำงานที่ทันสมัยที่สุด (เช่น ML และ Haskell) นอกจากนี้ยังมีประสิทธิภาพมากกว่าระบบ F อย่างมาก - ซึ่งเทียบเท่ากับความแข็งแกร่งในการคำนวณลำดับที่สูงขึ้น

λP (LF)

 k ::= ∗ | Πx:A. k 
 A ::= a | p | Πx:A. B | Λx:A.B | A [e]
 e ::= x | λx:A.e | e e

แทนที่จะเป็นพหุสัณฐานเราสามารถไปในทิศทางของการพึ่งพาจากแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ได้ง่าย หากคุณอนุญาตให้ฟังก์ชันประเภทนี้อนุญาตให้ใช้อาร์กิวเมนต์ในประเภทส่งคืน (เช่นเขียนΠx:A. B(x)แทนA → B) คุณจะได้รับλP เพื่อให้มีประโยชน์จริง ๆ เราต้องขยายชุดของชนิดด้วยตัวดำเนินการชนิดที่รับเงื่อนไขเป็นอาร์กิวเมนต์Πx:A. kดังนั้นเราจึงต้องเพิ่มนามธรรมΛx:A.BและแอปพลิเคชันA [e]ที่สอดคล้องกันในระดับประเภทด้วย

บางครั้งระบบนี้เรียกว่า LF หรือ Edinburgh Logical Framework

มันมีความแข็งแรงในการคำนวณเช่นเดียวกับแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ได้อย่างง่าย

λP2 (ไม่มีชื่อพิเศษ)

 k ::= ∗ | Πx:A. k 
 A ::= a | p | Πx:A. B | ∀a:k.A | Λx:A.B | A [e]
 e ::= x | λx:A.e | e e | Λa:k. e | e [A]

เรายังสามารถเพิ่มความหลากหลายให้กับ toP เพื่อรับλP2 ระบบนี้มักไม่ได้ใช้ดังนั้นจึงไม่มีชื่อเฉพาะ (กระดาษแผ่นเดียวที่ฉันอ่านซึ่งใช้เป็น Herman Geuvers ' Induction ไม่สามารถดัดแปลงได้ในทฤษฎีประเภทที่สองขึ้นอยู่กับคำสั่งซื้อ )

ระบบนี้มีความแข็งแกร่งเช่นเดียวกับระบบ F

λPω_ (ไม่มีชื่อพิเศษ)

 k ::= ∗ | Πx:A. k | Πa:k. k'
 A ::= a | p | Πx:A. B | Λx:A.B | A [e] | λa:k.A | A B 
 e ::= x | λx:A.e | e e 

เรายังสามารถเพิ่มตัวดำเนินการประเภทไปที่ toP เพื่อรับgetPω_ นี้เกี่ยวข้องกับการเพิ่มชนิดΠa:k. k'สำหรับผู้ประกอบการประเภทและนามธรรมประเภทในระดับที่สอดคล้องกันและการประยุกต์ใช้Λx:A.BA [e]

เนื่องจากไม่มีความแข็งแกร่งในการคำนวณมากกว่า STLC อีกต่อไประบบนี้จึงควรสร้างพื้นฐานที่ดีสำหรับเฟรมเวิร์กแบบลอจิคัล แต่ก็ไม่มีใครทำได้

CalculPω (แคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้าง)

 k ::= ∗ | Πx:A. k | Πa:k. k'
 A ::= a | p | Πx:A. B | ∀a:k.A | Λx:A.B | A [e] | λa:k.A | A B 
 e ::= x | λx:A.e | e e | Λa:k. e | e [A]

ในที่สุดเราก็ไปถึงλP Calcul, แคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้าง, โดยการλPω_และเพิ่มประเภท polymorphic ในอดีต∀a:k.AและระดับเทอมเชิงนามธรรมΛa:k. eและการประยุกต์ใช้e [A]มัน

ประเภทของระบบนี้แสดงออกได้ดีกว่าใน F-omega แต่มีความแข็งแรงในการคำนวณเหมือนกัน

ฉันมักจะต้องการลองและสรุปแต่ละมิติของ -cube และสิ่งที่พวกเขาเป็นตัวแทนดังนั้นฉันจะให้ภาพนี้$\lambda$

แต่ก่อนอื่นคุณควรพยายามที่จะทำให้ยุ่งเหยิงปัญหาต่าง ๆ ทฤษฎีบทโต้ตอบ Coq สอบมาตรจะขึ้นอยู่กับประเภททฤษฎีพื้นฐานบางครั้งความรักที่เรียกว่าแคลคูลัสของการก่อสร้างอุปนัยกับจักรวาล คุณจะทราบว่านี่เป็นคำพูดที่มากกว่าแค่คำว่า "แคลคูลัสแห่งการก่อสร้าง" และแน่นอนมีสิ่งต่าง ๆ มากมายในนั้นมากกว่าแค่ CoC โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันคิดว่าคุณสับสนเกี่ยวกับคุณลักษณะที่เหมาะสมใน CoC โดยเฉพาะอย่างยิ่งความแตกต่าง Set / Prop และจักรวาลไม่ปรากฏใน CoC

ฉันจะไม่ให้ภาพรวมทั้งหมดของระบบ Pure Type ที่นี่ แต่กฎสำคัญ (สำหรับPTS ที่ทำงานได้เช่น CoC) มีดังต่อไปนี้

$$\frac{\Gamma\vdash A:s\qquad \Gamma,x:A\vdash B:k}{\Gamma\vdash \Pi x:A.B\ :\ k}\ (s,k)\in R$$

$s,k$$S$$(s,k)$$R$$S$

$S$$R$$\Pi x:A.B$

$S$

$$\{*, \square\}$$ $$R=\{(*,*),(\square,\square),(\square,*),(*,\square)\}$$

ดังนั้นเราจึงมีกฎ 4 ข้อที่ตรงกับวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน 4 ประการ:

• $(*,*)$

• $(\square,\square)$

• $(\square,*)$

• $(*,\square)$

ฉันจะอธิบายรายละเอียดเหล่านี้โดยละเอียด

---

$A\rightarrow B$$\Pi x:A.B$$x$$B$

$*$$\mathrm{nat}$$\mathrm{bool}$$x=y$$x$$y$$*$

$\mathrm{list}$$\mathrm{list}:*\rightarrow *$$\mathrm{list}_{\mathrm{nat}}, \mathrm{list}_{\mathrm{bool}}$$*\rightarrow *$$(\square,\square)$

$$\Pi t:*.\ t\rightarrow t$$ $\lambda (t:*)(x:t).x$$\Pi t:*.\_$$(\square, *)$$t\rightarrow t$$(*,*)$

$$A\wedge B := \Pi t:*.\ (A \rightarrow B\rightarrow t)\rightarrow t$$ $$A\vee B := \Pi t:*.\ (A \rightarrow t)\rightarrow(B\rightarrow t)\rightarrow t$$ $$\bot := \Pi t:*.\ t$$ $$\top := \Pi t:*.\ t\rightarrow t$$ $$\exists x:A.\ P(x):= \Pi t:*.\ (\Pi y: A.\ P(y)\rightarrow t)\rightarrow t$$ $(*,\square)$

$*$$*$$(\square, *)$

$(\square,\square)$

$$\Pi c:*\rightarrow *.\ \ c\ \mathrm{nat}\rightarrow c\ \mathrm{nat}$$

$0=1$

$$=\ :\ \mathrm{nat}\rightarrow\mathrm{nat}\rightarrow *$$ $$=\ :\ \Pi t:*.\ t\rightarrow t\rightarrow *$$ $\mathrm{nat}\rightarrow\mathrm{nat}\rightarrow *$$(*,\square)$

$\square \rightarrow \square$$\square$ $\square$$\square_i$$i=1,2,3,\ldots$$\square_i:\square_{i+1}$

$(\square_i, \square_i)$

$$\frac{\Gamma\vdash A:\square_i}{\Gamma\vdash A:\square_j}\ i\leq j$$

ด้วยประเภทและกฎระเบียบพิเศษเหล่านี้คุณจะได้รับสิ่งที่ไม่ใช่ PTS แต่เป็นสิ่งที่ใกล้เคียง นี่คือ (เกือบ) แคลคูลัสเสริมของการก่อสร้างซึ่งใกล้เคียงกับพื้นฐานของ Coq ชิ้นส่วนที่ขาดหายไปขนาดใหญ่ที่นี่คือประเภทอุปนัยซึ่งฉันจะไม่พูดคุยที่นี่

แก้ไข:มีการอ้างอิงที่ค่อนข้างดีที่อธิบายคุณสมบัติต่าง ๆ ของการเขียนโปรแกรมภาษาในกรอบของ PTSes โดยการอธิบาย PTS ซึ่งเป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับการเป็นตัวแทนระดับกลางของภาษาโปรแกรมการทำงาน:

Henk: ภาษากลางระดับกลาง SP Jones & E. Meijer