คลาสของกราฟที่มีวัฏจักร Hamiltonian ง่าย ๆ แต่ NP-hard TSP

13

มิลวงจรปัญหา (HC) ประกอบด้วยในการหาวงจรที่ต้องผ่านทุกจุดในกราฟไม่มีทิศทางที่กำหนด พนักงานขายปัญหาการเดินทาง (TSP) ประกอบด้วยในการหาวงจรที่ต้องผ่านทุกจุดในกราฟขอบถ่วงน้ำหนักที่กำหนดและลดระยะทางรวมโดยวัดจากผลรวมของน้ำหนักของขอบในวงจร HC เป็นกรณีพิเศษของ TSP และทั้งคู่รู้จักกันในชื่อ NP-complete [Garey & Johnson] (ดูลิงก์ด้านบนสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมและตัวแปรของปัญหาเหล่านี้)

มีกราฟที่เรียนซึ่งปัญหาวงรอบมิลโตเนียนสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยใช้อัลกอริทึมที่ไม่น่าสนใจแต่ปัญหาของพนักงานขายที่เดินทางเป็นปัญหา NP-hard หรือไม่?

Non-trivialคือการแยกคลาสต่าง ๆ เช่นคลาสของกราฟที่สมบูรณ์ซึ่งวัฏจักรของ Hamiltonian รับประกันได้ว่ามีอยู่และสามารถพบได้ง่ายหรือโดยทั่วไปของคลาสของกราฟที่ HC รับประกันอยู่เสมอ

— Standa Zivny
แหล่งที่มา

20

Cographsไม่ได้เป็น Hamiltonian เสมอมีการทดสอบเวลาพหุนามสำหรับ Hamiltonicity และ NP-hard เพื่อแก้ปัญหาพนักงานขายที่เดินทาง

โดยทั่วไปปัญหารอบแฮมิลตันจะสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม ( แต่ไม่ได้รับการแก้ไขพารามิเตอร์ tractible) บนกราฟ จำกัดก๊กกว้าง ; ดูเช่น Fomin และคณะ, "ความกว้างของกลุ่ม: กับราคาของรุ่นทั่วไป", SODA'09 แต่อีกครั้งเนื่องจากตระกูลกราฟเหล่านี้มีกราฟที่สมบูรณ์ TSP จึงยากสำหรับกราฟเหล่านี้

— David Eppstein
แหล่งที่มา

ฉันอยากรู้เกี่ยวกับคำสั่งสุดท้ายของคุณ นั่นเป็นเพราะทัวร์ TSP จะระบุตัวตนอย่างมีประสิทธิภาพโดยมีจุดยอดกลุ่มทั้งหมดจะต่อเนื่องกันในทัวร์?

— Suresh Venkat

1

ไม่ฉันหมายถึงเพียงว่า TSP นั้นยากแม้ในกราฟที่สมบูรณ์และกราฟที่สมบูรณ์นั้นอยู่ในบรรดากราฟที่มีความกว้าง clique-bound กราฟที่สมบูรณ์นั้นไม่ได้ให้คำตอบที่ดีสำหรับคำถามนี้เพราะ Hamiltonicity นั้นเป็นเรื่องเล็กน้อยสำหรับพวกเขา แต่ superclasses ของ cliques (เช่น cographs) อาจมีการทดสอบแบบ Hamilton หรือ non-polynomial

— David Eppstein

11

วิธีการเกี่ยวกับกราฟบริบูรณ์ ? เนื่องจาก TSP สามารถลดลงเป็นอินสแตนซ์ของกราฟที่สมบูรณ์ได้ (โดยการเพิ่มระยะทางที่เหมาะสมระหว่างไม่มีขอบ) จึงยังคงเป็นปัญหาที่ยากมากที่จะแก้ปัญหา TSP ในกราฟที่สมบูรณ์ แต่กราฟที่สมบูรณ์ก็คือมิลโตเนียน

— เซียน - จื้อฉาง張顯之
แหล่งที่มา

ใช่แน่นอนขอบคุณ! ลืมที่จะยกเว้นกราฟที่สมบูรณ์และสำหรับเรื่องนั้นกราฟทุกชั้นที่ HC สามารถแก้ไขได้เล็กน้อย

— Standa Zivny

3

@Standa Zivny: ฉันไม่แน่ใจว่าคุณกำลังจะแก้ไขคำถามหรือไม่ แต่ถ้าคุณต้องการที่จะแยก“ กราฟทุกชั้นที่ HC สามารถแก้ปัญหาได้เล็กน้อย” คุณควรแก้ไขคำถาม อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่ามันเป็นไปได้ที่จะกำหนดความแตกต่างระหว่างกรณีที่ HC สามารถแก้ไขได้ "ง่าย ๆ " และกรณีที่ HC สามารถแก้ไขได้ "เล็กน้อย"

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Ito: เป็นจุดที่ดีฉันได้แก้ไขคำถาม

— Standa Zivny

@StandaZivny - กราฟทั้งหมดที่ไม่สำคัญสำหรับ HC นั้นยากสำหรับ TSP เช่นกราฟเส้นทาง

— RB

3

มีกราฟจำนวนอนันต์มากมายที่ทราบกันดีว่ามีวงจรแฮมิลตัน สองชั้นเรียนที่น่าสนใจโดยเฉพาะคือ n-cubes และกราฟ Halin วิธีคิดอย่างหนึ่งของกราฟ Halin คือการฝังต้นไม้ที่มีจุดยอดอย่างน้อย 3 จุดและไม่มีจุดยอดสองจุดในระนาบจากนั้นผ่านวงจรอย่างง่ายผ่านจุดยอด 1-valent ของต้นไม้

http://en.wikipedia.org/wiki/Halin_graph

กราฟเหล่านี้เป็นที่รู้จักกันว่ามี HC และในความเป็นจริงพวกเขาทั้ง pancyclic (วงจรของความยาวทั้งหมด) หรือขาดความยาววงจรหนึ่งที่แน่นอนซึ่งจะต้องมีความยาวเท่ากัน

— Joseph Malkevitch
แหล่งที่มา