ยุบภายใต้สมมติฐานที่ว่า

เป็นที่ทราบกันว่าถ้าแล้วลำดับชั้นของพหุนามทรุดและAMΣ P 2 M A = A $NP\subseteq P/Poly$$\Sigma_2^{P}$$MA = AM$

อะไรคือการล่มสลายที่แข็งแกร่งที่สุดที่รู้จักกันจะเกิดขึ้นถ้า ?$NEXP\subseteq P/Poly$

ผมเชื่อว่าที่แข็งแกร่งคือMA สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Impagliazzo Kabanets และ Wigderson$NEXP = MA$

ดูhttps://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=th&as_sdt=0,5&sciodt=0,5

ฉันยังสนใจที่จะรู้ถึงการพังทลายที่แข็งแกร่งกว่านี้อีก

แก้ไข (8/24): ตกลงฉันนึกถึงการล่มสลายที่อาจรุนแรงขึ้นซึ่งตามมาจากบทพิสูจน์ของเอกสารที่เชื่อมโยงข้างต้น เนื่องจากหมายถึง (ดูลิงก์ด้านบน) และปิดภายใต้ส่วนประกอบเรายังปิดภายใต้ส่วนประกอบดังนั้นซึ่งแข็งแกร่งกว่าเล็กน้อย อันที่จริงสมมติฐานหมายความว่าสำหรับการใด ๆภาษาที่เดียวสตริงพยานสามารถนำมาใช้ในโปรโตคอลแมสซาชูเซตที่สอดคล้องกันสำหรับทุก YES-กรณีของความยาวใดก็ตามจึงยัง (ที่N E X P = E X P E X P N E X P N E X P = M ∩ C o M N E X P W n n N E X P = O M A ∩ c o O M A O $NEXP \subset P/poly$$NEXP = EXP$$EXP$$NEXP$$NEXP = MA \cap coMA$$NEXP$$w_n$$n$$NEXP = OMA \cap coOMA$$OMA$= "แม่ที่หลงลืม" โปรดดู Fortnow-Santhanam-me http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdf ) คุณสมบัติพิเศษเหล่านี้ในขณะที่ทางเทคนิคสามารถพิสูจน์ให้เป็นประโยชน์ในการโต้แย้งขอบเขตล่างวงจรบางอย่าง

แก้ไข 2: ดูเหมือนว่า Andrew Morgan จะเน้นเรื่องนี้ไปแล้ว อ๊ะ :)

มีสิ่งสนุกสนานมากมายเกิดขึ้น ส่วนใหญ่คนที่ฉันรู้ของการเริ่มต้นกับกระดาษ IKW ที่นั่นการยุบ$\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$ปรากฏขึ้นและ (ฉันคิดว่า) เป็นการล่มสลายที่แท้จริงที่สุดของคลาสความซับซ้อนที่เรารู้จัก มี "ทรุด" อีกหลายประเภทแม้ว่าฉันคิดว่าควรจะชี้ให้เห็น

ที่สำคัญที่สุดฉันคิดว่าเป็นคุณสมบัติ "พยานรวบรัดสากล" (เช่นจากกระดาษ IKW) สำหรับหนึ่งมันเป็นเครื่องมือที่ทำให้การยุบตัวอื่น ๆ ของคุณนั้นเกิดขึ้นอย่างตรงไปตรงมา อีกอันหนึ่งขอบเขตล่าสุดของวงจรต่ำกว่า (เช่นที่นี่และที่นี่ ) สำหรับ$\textsf{NEXP}$ใช้ประโยชน์จากการเชื่อมต่อนี้ สั้น ๆ , อสังหาริมทรัพย์กล่าวว่าสำหรับทุก$\textsf{NEXP}$ภาษา$L$และใด ๆ$\textsf{NEXP}$ -machine $M$ตัดสินใจ$L$ทุก$x \in L$มีพรรณนาชัดถ้อยชัดคำพยานตามM$M$อย่างเป็นทางการมี$p$พหุนามขึ้นอยู่กับ$M$เพื่อให้ทุก$x \in L$มีวงจร$C_x$ขนาดเพื่อให้ตารางความจริงของเป็นลำดับของตัวเลือก nondeterministic สำหรับที่นำไปสู่การได้รับการยอมรับในการป้อนข้อมูลx$p(|x|)$$C_x$$M$$x$

ความกระชับของพยานมาในสะดวกเพราะคุณสามารถ rederive ตรงไปตรงมามากของการยุบอื่น ๆ จากมัน ยกตัวอย่างเช่นมันนิด ๆ ดังต่อไปนี้ว่า{EXP} ตัวอย่างเช่นสมมติว่าอยู่ในผ่าน -machine Mสถานที่ให้บริการรวบรัดพยานกล่าวว่ามีความเป็นพหุนามเพื่อให้มีพยานรวบรัดขนาดหน้าจากนั้นเราสามารถเลือกในโดยบนอินพุต , บังคับให้วงจรทั้งหมดมีขนาดไม่เกิน$\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$$L$$\textsf{NEXP}$$\textsf{NEXP}$$M$$p$$M$$p$$L$$\textsf{EXP}$$x$$p(|x|)$และตรวจสอบว่าพวกเขาเข้ารหัสลำดับของทางเลือกที่นำไปสู่ยอมรับการป้อนข้อมูลxคุณสามารถรวมสิ่งนี้กับผลลัพธ์ (รู้จักกันก่อนหน้านี้ผ่านการพิสูจน์เชิงโต้ตอบ) ที่EXP ⊆ P / poly$M$$x$$\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$เพื่อสรุป{}$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$

มันคุ้มค่าที่จะเน้นว่าเราจะต้องเลือกและด้วยเหตุนี้จึงเป็นรูปแบบของพยาน ตัวอย่างเช่นคุณสามารถสรุปได้จาก "$M$$\textsf{NEXP}$มีพยานรวบรัดสากล" ที่OMA} ที่นี่คือ "หลงลืม - MA" ซึ่งหมายความว่ามีความซื่อสัตย์ของเมอร์ลินซึ่งขึ้นอยู่กับความยาวของอินพุตเท่านั้น มันง่ายที่จะเห็นว่าดังนั้นโดยพื้นฐานแล้วนี่เป็นเพียงการให้รูปแบบปกติสำหรับวิธีคำนวณภาษาในภายใต้สมมติฐานที่ว่า$\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$$\textsf{OMA}$$\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$$\textsf{NEXP}$$\textsf{P}/\textrm{poly}$$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$OMAในที่แรก. นี่เป็นวิธีหนึ่งที่จะเห็นการล่มสลายของ :$\textsf{OMA}$

สำหรับภาษาตัดสินใจโดยเครื่องให้สร้าง machineดังต่อไปนี้ ดูป้อนข้อมูลบิตเป็นจำนวนระหว่างและ n สำหรับทุกความยาวnให้เดาพยานw xและเรียกใช้M ( x , w x )เพื่อตรวจสอบ M ′ ( N )ยอมรับถ้าหากMยอมรับอย่างน้อยNค่าของx$L \in \mathsf{NEXP}$$M$$\mathsf{NEXP}$$M'$$n$$N$$1$$2^n$$x$$n$$w_x$$M(x,w_x)$$M'(N)$$M$$N$$x$. ทายถูกจัดเรียงดังกล่าวว่าคำอธิบายสั้นของพยานสำหรับ$M'$เป็นวงจร$C$ซึ่งคำนวณแผนที่$(x,i) \mapsto$$i$บิต -th ของ$w_x$ x คิดว่าตอนนี้$N$ที่แม่นยำจำนวนสตริงใน$L$ที่มีความยาวn$n$จากนั้นพยานรวบรัดสำหรับ$M'$กับการป้อนข้อมูล$N$เป็นวงจรที่พร้อมเข้ารหัสทั้งหมดของ$M$ 'พยานสำหรับ length- $n$ปัจจัยการผลิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า$M'$มีพยานสังเขปจากนั้นพยานทั้งหมดของ$M$สามารถอธิบายพร้อมกันได้ในวงจรเดียวกัน

เพื่อให้การเคลมเสร็จสมบูรณ์เราจะจำได้ว่า$\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$ ] ปล่อยให้$M$เป็นเครื่องที่คาดเดา PCP แล้ว deterministically จำลองตรวจสอบวรรคข้างต้นบอกเราดำรงอยู่ของ PCPs พร้อมกันชัดถ้อยชัดคำพรรณนาสำหรับภาษาในทุกNEXP$\textsf{NEXP}$ดังนั้นตอนนี้เพื่อรับ$\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$เรามี Merlin ส่งคำอธิบายสั้น ๆ ของ PCP สำหรับอินพุตทั้งหมดของความยาวอินพุตปัจจุบันซึ่ง Arthur สามารถตรวจสอบได้โดยเพียงเสียบอินพุตของเขาแล้วเรียกใช้ตัวตรวจสอบ PCP

[ขอบคุณที่โคดี้เมอเรย์สำหรับการชี้ออกเคล็ดลับของการใช้การป้อนข้อมูลการนับจำนวนของสตริงในL$L$ก่อนหน้านี้ผมมี$M'$ใช้ว่าถ้า$\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$แล้ว$\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ที่จะเขียนลงในตารางความจริงของ$L$แต่กลยุทธ์ของโคดี้เป็นสง่ามากขึ้น.]

ในฐานะโน้ตสุดท้ายในขณะที่$\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$บอกเป็นนัยในทางเทคนิคการยุบ$\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$นั้นมีความหมายที่น่าสนใจอีกประการหนึ่ง เป็นที่รู้จักกันว่า$\textsf{PSPACE}$มีภาษาที่สมบูรณ์ซึ่งทั้งลดตัวเองลดลงเช่นเดียวกับลดตัวเองแบบสุ่ม โดยทั่วไปภาษาดังกล่าวทั้งหมดจะอยู่ใน$\textsf{PSPACE}$ดังนั้นเราจึงไม่ควรหวังที่จะพูด (ไม่มีเงื่อนไข) ที่มีภาษาที่สมบูรณ์เช่นนั้น คำสั่งที่คล้ายกัน (แทนที่NEXPโดยEXP ) ถูกใช้โดย Impagliazzo และ Wigdersonเพื่อสรุปประเภทของ "derandomization dichotomy" สำหรับ$\textsf{NEXP}$ได้เช่นภาษาที่สมบูรณ์ตราบใดที่เราหวังว่า$\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$ PSPACE อย่างไรก็ตามหาก$\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$แล้ว$\textsf{NEXP}$ จะทำ$\textsf{NEXP}$$\textsf{EXP}$$\textsf{BPP}$ในความสัมพันธ์กับ$\textsf{EXP}$ดังนั้นมันอาจจะมีประโยชน์ในการค้นพบผลกระทบอื่น ๆ ของ$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$โพลี