BPP ที่มีเหรียญแบบอคติเท่ากับ BPP มาตรฐานเมื่อใด

ให้เครื่องทัวริงน่าจะมีการเข้าถึงเหรียญที่ไม่เป็นธรรมที่ขึ้นหัวด้วยความน่าจะเป็น (การพลิกเป็นอิสระ) กำหนดเป็นคลาสของภาษาที่เครื่องรู้จักในเวลาพหุนาม เป็นการฝึกมาตรฐานเพื่อพิสูจน์ว่า: $p$ $BPP_p$

A) ถ้าเป็นเหตุผลหรือแม้กระทั่ง -computable แล้วBPP_p(โดยคำนวณได้ฉันหมายถึง: มีอัลกอริทึมแบบโพลิโนเมียลแบบสุ่มที่ถูกป้อนส่งกลับค่าที่ไม่เป็นเอกภาพจากเหตุผลไบนารีที่มีตัวหารที่อยู่ภายในของ ) $p$ $BPP$ $BPP_p=BPP$ $BPP$ $n$ $2^n$ $2^{-n-1}$ $p$

B) สำหรับบาง uncomputableชั้นมีภาษาที่ตัดสินไม่ได้และด้วยเหตุนี้มีขนาดใหญ่กว่าBPPค่าดังกล่าวของรูปแบบที่มีความหนาแน่นสูงใน(0,1) $p$ $BPP_p$ $BPP$ $p$ $(0,1)$

คำถามของฉันคือต่อไปนี้: เกิดอะไรขึ้นในระหว่าง มีเกณฑ์สำหรับหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: $BPP_p=BPP$

1) ทำ uncomputable ในน่าจะเป็นอยู่เช่นว่า ? (อาจคำนวณได้ในบางคลาสที่สูงกว่า) $BPP$ $p$ $BPP_p=BPP$

2)กว้างกว่าสำหรับไม่สามารถทั้งหมดหรือไม่ (พารามิเตอร์ที่เป็นปัญหาคือพารามิเตอร์ที่การขยายแบบไบนารีประกอบด้วยลำดับที่ยาวมากของศูนย์และ / หรือรายการในกรณีนี้บิตการคำนวณโดยการสุ่มตัวอย่างอาจใช้เวลานานมากถึงเวลาที่ไม่สามารถคำนวณได้ ความยากลำบากที่สามารถเอาชนะโดยฐานของการขยายตัวอื่น แต่บางอาจหลอกฐานทั้งหมด) $BPP_p$ $BPP$ $p$ $p$

cc.complexity-theory randomized-algorithms probabilistic-complexity

— Daniil Musatov
แหล่งที่มา

คุณหมายถึงอะไรโดย p กำลังคำนวณ (un)

— daniello

ฉันเพิ่มคำจำกัดความของคำนวณได้ สำหรับการคำนวณโดยทั่วไปเราอาจวางคำว่า "พหุนามแบบสุ่ม" หรือพูดง่ายๆว่าการขยายตัวแบบไบนารีนั้นคำนวณได้ (ด้วยทรัพยากรที่ล้อมรอบสิ่งนี้ไม่เหมือนกัน)

B P P

$BPP$

— Daniil Musatov

ผมคิดว่าทุก uncomputableเพราะได้รับหนึ่ง -biased เหรียญสามารถคำนวณ 'บิต TH ของโดยการสุ่มตัวอย่าง สมมติว่าเราสามารถคำนวณ 'th bit ในเวลา , จากนั้นภาษาที่มีสำหรับทั้งหมดที่บิตที่คืออยู่ใน , แต่ชัดเจนว่ามันไม่สามารถคำนวณได้

B P P_{p} \neq B P P

$BPP_p \neq BPP$

p

$p$

p

$p$

n

$n$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

1^{x}

$1^x$

x

$x$

f^{- 1} (x)

$f^{-1}(x)$

p

$p$

1

$1$

B P P_{p}

$BPP_p$

— daniello

นี่เป็นความจริงอย่างแน่นอนสำหรับส่วนใหญ่ที่ไม่สามารถคำนวณได้ แต่มีข้อแม้: ถ้ามีลำดับที่ยาวมากของค่าศูนย์และค่าที่มีอยู่นั้นอาจต้องใช้การสุ่มตัวอย่างที่ยาวมากเพื่อกำหนดบิตที่การสุ่มตัวอย่างนี้อาจนานจนไม่สามารถคำนวณได้ (เช่นฟังก์ชัน Busy Beavers) ฉันสงสัยว่ามันสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำจากการสุ่มตัวอย่างเอง และดูเหมือนว่าหากไม่มีการคำนวณจะไม่สามารถจดจำภาษาที่กล่าวถึงได้

p

$p$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— Daniil Musatov

1) ใช่ แต่เพียงเพราะความหมายของคุณ ใช้ภาษาที่ไม่เป็นเอกภาพ (ใช่ฉันรู้ว่านี่อาจจะว่างเปล่าในกรณีนั้นก็แค่เอาสิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่า ) นั่นคือเบาบางมากในแง่ที่ $L\in EXP\setminus BPP$ $EXP$ $n\notin L$ ถ้าไม่ใช่ หอคอยคือของแบบฟอร์ม ...กำหนด nนี้ไม่ได้ -computable แต่จะสามารถประมาณการใน $n$ $2's$ $2^{2^{2^\ldots}}$ $p=\sum_{n\in L} 1/n$ $p$ $BPP$ $p$ $P$ มากถึงข้อผิดพลาดเพิ่มเติมเล็กน้อยที่ช่วยให้สามารถจำลองเครื่องได้ $BPP_p$

มีคุณกำหนดไว้ -computable เช่นที่คุณต้องการโดยประมาณถึงข้อผิดพลาดของสารเติมแต่งที่ (แทน ) ในเวลาพหุนามสิ่งที่จะแตกต่างกัน $BPP$ $p$ $1/n$ $1/2^n$

ปรับปรุง ด้านล่างนี้คือคำตอบสำหรับกรณีที่เกิดข้อผิดพลาดสารเติมแต่งเราอนุญาตให้เป็นแทน 1 $2^{-n}$ $2^{-n-1}$

2) ใช่เพราะที่นี่คุณสามารถลืมเกี่ยวกับข้อ จำกัด พหุนามในชั้นเรียนและโดยการสุ่มตัวอย่างครั้งที่คุณจะได้รับบิต -th ของใน P $2^n$ $n$ $p$ $BPP_p$

— domotorp
แหล่งที่มา

2) ฉันคิดว่าทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางแสดงให้เห็นว่าเราควรลอง

ไม่ใช่

เวลาเพื่อให้ได้ความแม่นยำ

แต่ปัญหาหลักคือบางครั้งเราต้องการความแม่นยำมากขึ้น พูดว่าถ้า

2^{2 n}

$2^{2n}$

2^{n}

$2^n$

2^{- n}

$2^{-n}$

จากนั้นหนึ่งต้องการ

| p - \frac{1}{2} | < ϵ

$|p-\frac12|<\epsilon$

ตัวอย่างการคำนวณแม้หลักแรก และจำนวนตัวอย่างที่ต้องการอาจมีขนาดใหญ่มากโดยไม่มีข้อโต้แย้ง จุดนี้ค่อนข้างชัดเจนในการแก้ไข

\frac{1}{ϵ^{2}}

$\frac1{\epsilon^2}$

— Daniil Musatov

@Daniil: ตามที่ฉันได้แสดงความคิดเห็นกับคำถามเช่นกันคุณไม่ได้ขอการคำนวณตัวเลขในคำจำกัดความของคุณใน

คำนวณได้ ดังนั้นถ้า

เท่ากับ

ดังนั้นคุณควรเดา

สำหรับหลักแรกหลังจากเครื่องหมายจุลภาคตาม def ของคุณ

B P P

$BPP$

p

$p$

0.01111111111

$0.01111111111$

1

$1$

— domotorp

ตอนนี้เรากำลังพูดถึง

ไม่สามารถคำนวณได้ใช่ไหม ถ้าผมเข้าใจคุณสิทธิ, คุณแนะนำไม่ได้ที่จะคำนวณตัวเลขโดยการสุ่มตัวอย่างของ

แต่แทนที่จะไปคำนวณว่า

'หลักของวันที่

เหตุผลประมาณไบนารีของ

คือ 1 แต่ที่นี่เราต้องเผชิญกับปัญหาเดียวกันเพื่อ คำนวณตัวเลขตัวแรกที่เราต้องแยกระหว่าง 0.010000000001 และ 0.001111111110

p

$p$

p

$p$

i

$i$

2^{- i - 1}

$2^{-i-1}$

p

$p$

— Daniil Musatov

@Daniil: ตกลงที่ไม่ดีของฉันฉันคิดว่าคุณอยากไบนารีระยะเหตุผลซึ่งเป็นที่มากที่สุด

จากพี

ฉันได้ปรับปรุงคำตอบของฉันแล้ว คุณมีความสุขกับการแก้ปัญหาของฉันถึง 1)?

2^{- n}

$2^{-n}$

p

$p$

— domotorp