ประเมินวงจรบูลีนบนแบตช์ของอินพุตที่คล้ายกัน

สมมติว่าฉันมีวงจรบูลีน $C$ ที่คำนวณฟังก์ชันบางอย่าง $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$. สมมติว่าวงจรประกอบด้วย AND, OR และ NOT เกตกับ fan-in และ fan-out ไม่เกิน 2

ปล่อย $x \in \{0,1\}^n$เป็นอินพุตที่ได้รับ ป.ร. ให้ไว้$C$ และ $x$ฉันต้องการประเมิน $C$ บน $n$ อินพุตที่แตกต่างจาก $x$ ในตำแหน่งบิตเดียวคือการคำนวณ $n$ ค่า $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ ที่ไหน $x^i$ เป็นเช่นเดียวกับ $x$ ยกเว้นว่ามัน $i$บิตที่ถูกพลิก

มีวิธีการทำสิ่งนี้ที่มีประสิทธิภาพมากกว่าที่ประเมินโดยอิสระหรือไม่ $C$ $n$ ครั้งใน $n$ อินพุตแตกต่างกันอย่างไร

สมมติ $C$ มี $m$ประตู จากนั้นประเมินอิสระ$C$ ในทุก $n$ อินพุตจะใช้ $O(mn)$เวลา. มีวิธีคำนวณหรือไม่$C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ ใน $o(mn)$ เวลา?

บริบททางเลือก: ถ้าเรามีวงจรเลขคณิต (ซึ่งมีเกตเป็นการคูณการบวกและการปฏิเสธ)$\mathbb{R}$แล้วมันจะเป็นไปได้ที่จะคำนวณ $n$ อนุพันธ์ทิศทาง ${\partial f \over \partial x_i}(x)$ ใน $O(m)$เวลา. โดยพื้นฐานแล้วเราสามารถใช้วิธีมาตรฐานสำหรับการคำนวณการไล่ระดับสี (กฎการแพร่กระจายกลับ / ห่วงโซ่) ใน$O(m)$เวลา. ใช้งานได้เพราะฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องนั้นมีความต่อเนื่องและแตกต่างกัน ฉันสงสัยว่าสิ่งที่คล้ายกันสามารถทำได้สำหรับวงจรบูลีน วงจรบูลีนนั้นไม่ต่อเนื่องและสร้างความแตกต่างดังนั้นคุณจึงไม่สามารถทำแบบเดียวกันได้ แต่อาจมีเทคนิคที่ฉลาดอื่น ๆ อาจเป็นกลอุบายของฟูริเยร์หรือบางอย่าง?

(คำถามที่แตกต่าง: ถ้าเรามีประตูบูลีนที่มีแฟน - อินและไม่มีแฟนคลับ จำกัด คุณสามารถทำได้ดีกว่าการประเมิน $C$ $n$ ครั้ง?)

ฉันคิดว่ามันไม่น่าเป็นไปได้ที่กลอุบายดังกล่าวนั้นง่ายต่อการค้นหาและ / หรือจะให้ผลกำไรที่สำคัญแก่คุณ นี่คือวิธี:

ก่อนอื่นในขณะที่ง่ายขึ้นอย่างเห็นได้ชัดปัญหาของคุณสามารถแก้ปัญหาทั่วไปของวงจร $C$ และ $N$ ปัจจัยการผลิต $x_0, \ldots, x_{N-1}$ประเมินผล $C$ เลยอินพุตเร็วกว่า $\tilde{O}(N\cdot|C|)$เวลา. เหตุผลก็คือเราสามารถปรับแต่ง$C$ เป็นวงจร $C'$ ขนาด $|C| + \tilde{O}(Nn)$ ซึ่งในอินพุต $0^i10^{N-1-i}$เอาท์พุท $C(x_{i})$. โดยพื้นฐานแล้วเราแค่สร้างตารางการค้นหาเล็กน้อยที่ส่ง$0^i10^{N-1-i}$ ถึง $x_i$และสอดมันเข้าไป $C$.

อัลกอริทึมที่ไม่สำคัญสำหรับการประเมินแบทช์ของวงจรบูลีนนั้นสามารถนำมาใช้เพื่อสร้างอัลกอริทึมที่น่าพอใจได้อย่างรวดเร็ว นี่คือตัวอย่างในกรณีง่าย ๆ ที่เราคิดว่าเรามีอัลกอริทึมที่ทำการประเมินผลในเวลา$\tilde{O}(|C|^{2-\epsilon} + (N\cdot|C|)^{1-\epsilon/2} + N^{2-\epsilon})$ สำหรับค่าคงที่ใด ๆ $\epsilon > 0$. บนอินพุตวงจร$C$เราสามารถตัดสินใจความพึงพอใจโดยการขยาย $C$ เป็นวงจร $C'$ ขนาด $2^{n/2}\cdot |C|$ ซึ่งเป็นเพียงหรือมากกว่าตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดของครั้งแรก $n/2$ อินพุตไปยัง $C$(ปล่อยอินพุตอื่นให้ว่าง) จากนั้นเราประเมินชุดงาน$C'$ ในทุกสิ่ง $2^{n/2}$ปัจจัยการผลิต ผลลัพธ์ที่ได้คือเราพบว่าการมอบหมายที่น่าพอใจ$C'$ IFF $C$เป็นที่น่าพอใจ เวลาทำงานคือ$\tilde{O}(2^{(n/2)(2-\epsilon)}\cdot |C|^{2-\epsilon}) = \tilde{O}(2^{n(1-\epsilon/2)}\cdot \textrm{poly}(|C|))$.