แรงจูงใจ

เมื่อวันก่อนฉันกำลังเดินทางไปรอบ ๆ เมืองด้วยระบบขนส่งสาธารณะและฉันสร้างปัญหากราฟที่น่าสนใจในการสร้างปัญหาในการค้นหาการเชื่อมต่อที่สั้นที่สุดระหว่างสองแห่ง

เราทุกคนรู้ "ปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุด" แบบคลาสสิก: กำหนดกราฟกำกับมีความยาวขอบและสองจุดยอดค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างและ (เช่นเส้นทางที่ลดความยาวขอบทั้งหมด) สมมติว่าความยาวขอบที่ไม่เป็นลบนั้นมีอัลกอริทึมต่าง ๆ และปัญหานั้นง่าย $G=(V,E)$ $w_e\in\mathbb{R}_0^+,\,e\in E$ $s,t\in V$ $s$ $t$

นี่เป็นแบบอย่างที่ดีสำหรับกรณีที่เรากำลังเดินเช่น จุดยอดเป็นทางแยกในเครือข่ายถนนของเราและแต่ละขอบมีความยาวคงที่ - เป็นเมตรเป็นต้น การตีความที่เป็นไปได้อีกอย่างของน้ำหนักขอบคือเวลาที่เราต้องเปลี่ยนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง นี่คือการตีความที่ฉันสนใจตอนนี้ $w_e$

ปัญหา

ตอนนี้ฉันต้องการสร้างแบบจำลองสถานการณ์ต่อไปนี้ ฉันต้องการที่จะเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B ในเมืองผ่านการขนส่งสาธารณะและลดเวลา เครือข่ายการขนส่งสาธารณะสามารถสร้างแบบจำลองได้อย่างง่ายดายเป็นกราฟกำกับตามที่คุณคาดหวัง ส่วนที่น่าสนใจคือน้ำหนักของขอบ (โมเดลเวลานั้น) - ระบบขนส่งสาธารณะ (รถประจำทางเป็นต้น) จะทิ้งไว้ในบางช่วงเวลาเท่านั้นซึ่งจะแตกต่างกันสำหรับการหยุดทุกครั้ง (จุดยอดในกราฟ) ในคำอื่น ๆ - น้ำหนักขอบไม่คงที่พวกเขาเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับเวลาที่เราต้องการใช้ขอบ

วิธีสร้างแบบจำลองสถานการณ์นี้: เรามีกราฟกำกับและฟังก์ชั่นน้ำหนักขอบที่ใช้timeเป็นอาร์กิวเมนต์และส่งคืนเวลาที่ต้องใช้ edge ในเส้นทางของเรา ตัวอย่างเช่นหากรถบัสจากจุดยอดถึงจุดสุดยอดออกที่และใช้เวลาและเรามาถึงจุดยอดที่แล้วคือน้ำหนักขอบ เห็นได้ชัดว่า 5 $G=(V,E)$ $w\colon E\times \mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+$ $v$ $u$ $t=10$ $5$ $v$ $t=8$ $w(vu,8)=7$ $w(vu,10)=5$

มันยากเล็กน้อยในการกำหนดน้ำหนักรวมของเส้นทาง แต่เราสามารถทำซ้ำได้ ให้เป็นเส้นทางโดยตรง ถ้าแล้ว 0 มิฉะนั้นที่เป็น sub-เส้นทางของโดยไม่ต้องv_kนี่คือคำจำกัดความตามธรรมชาติที่สอดคล้องกับสถานการณ์ในโลกแห่งความจริง $P=v_1v_2\ldots v_{k-1} v_k$ $k=1$ $w(P)=0$ $w(P)=w(P')+w(v_{k-1}v_k,w(P'))$ $P'$ $P$ $v_k$

ตอนนี้เราสามารถศึกษาปัญหาภายใต้สมมติฐานต่างๆในฟังก์ชั่นWสมมติฐานตามธรรมชาติคือ ซึ่งเป็นแบบจำลอง "รอเวลา " $w$

w (e, t) \leq w (e, t + Δ) + Δ for all e \in E, Δ \geq 0,

$w(e,t)\leq w(e,t+\Delta)+\Delta \text{ for all }e\in E,\Delta\geq 0,$

Δ

$\Delta$

หากฟังก์ชัน "ทำงานได้ดี" อาจเป็นไปได้ที่จะลดปัญหานี้เป็นปัญหาเส้นทางลัดที่สั้นที่สุด แต่เราสามารถถามได้ว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อฟังก์ชั่นลดน้ำหนักมีความดุร้าย และถ้าเราวางสมมติฐานในการรอ?

คำถาม

คำถามของฉันมีดังต่อไปนี้

เคยมีปัญหานี้มาก่อนหรือไม่? ดูเหมือนเป็นธรรมชาติ
มีการวิจัยเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่? สำหรับฉันดูเหมือนว่ามีคำถามย่อยมากมายที่จะต้องถามและศึกษา - ส่วนใหญ่เกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชั่นน้ำหนัก
เราสามารถลดปัญหานี้ (อาจอยู่ภายใต้สมมติฐานบางอย่าง) กับปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดแบบดั้งเดิมหรือไม่?

graph-algorithms shortest-path

— JS_
แหล่งที่มา

ต่อไปนี้เป็นแนวทางพื้นฐานที่เป็นธรรมชาติเปรียบเทียบกับคำตอบในระดับการวิจัยได้มากขึ้น รูปแบบว่ามันเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นโดยการเชื่อม discretizing หน่วยเวลาเข้าไปในคอลเลกชันของ instantsและทำให้กราฟใหม่ที่มีจุดV จากนั้นคุณสามารถใส่ขอบที่t_0) นี่มีประสิทธิภาพอยู่แล้วสำหรับกรณีการใช้งานมากมาย (เช่นด้วยตารางรถบัสคุณแค่ให้เป็นเวลาที่รถบัสมาถึง / ออกจากป้ายจอด) แต่ก็ไม่ได้ทำงานอย่างสมบูรณ์ตลอดเวลา (พิจารณาเมื่อแตกต่างกันไป เวลา) และช้าถ้ามีขนาดใหญ่

T

$T$

V^{'} = T \times V

$V' = T \times V$

(t_{0}, v_{0}) \to (t_{1}, v_{1})

$(t_0,v_0) \to (t_1,v_1)$

t_{1} = w ((v_{0}, v_{1}), t_{0})

$t_1 = w((v_0,v_1),t_0)$

T

$T$

w

$w$

T

$T$

— Andrew Morgan

ตัวแปรง่าย ๆ หนึ่งของปัญหานี้ (ที่น้ำหนักขอบขึ้นอยู่กับเวลาเป็นเส้นตรง) เรียกว่า " เส้นทางที่สั้นที่สุดของพารามิเตอร์ "

— Neal Young

8

$n^{\Theta(\log n)}$

อัลกอริทึมของ Dijkstra สามารถนำมาใช้กับปัญหานี้ได้อย่างแท้จริงเมื่อมีการกำหนดนโยบายการรอนั่นคือรอที่โหนดถ้ามันลดเวลาที่มาถึงขั้นสุดท้าย หากไม่มีนโยบายการรอสถานการณ์จะเลวร้ายลงมาก: เส้นทางที่สั้นที่สุดอาจไม่ง่ายเส้นทางย่อยของเส้นทางที่สั้นที่สุดอาจไม่สั้นที่สุดระหว่างสองปลายทางของเส้นทางย่อยเส้นทางที่เดินทางผ่านขอบจำนวนอนันต์อาจมีเวลา จำกัด มาถึง ฯลฯ ดูกระดาษอีกครั้งโดย Orda และ Romสำหรับการสนทนาเพิ่มเติม

— เซียน - จื้อฉาง張顯之
แหล่งที่มา

3

คุณทราบถึงปัญหา "เส้นทางที่ไม่ลบเส้นทางที่สั้นที่สุด" หรือไม่? มันถูกกำหนดให้กับแบบจำลองสถานการณ์เช่นนี้ แม้ว่ามันจะแสดงออกน้อยลงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับสูตรของคุณ แต่ก็มีความรวดเร็วสำหรับมัน

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

1

หากคุณคิดว่าเวลานั้นเป็นส่วนสำคัญ (ซึ่งสมเหตุสมผลในกรณีของการขนส่งมวลชน) คุณสามารถสร้างเครือข่ายที่ขยายเวลาคล้ายกับที่ Ford-Fulkerson แนะนำให้ใช้สำหรับการไหลสูงสุดตลอดเวลา (หรือการไหลที่เร็วที่สุด) และ ค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟนี้แทน

— ฮีเลียม
แหล่งที่มา

ปัญหาระยะทางสั้นที่สุดพร้อมความยาวเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

แรงจูงใจ

ปัญหา

คำถาม