ความซับซ้อนของการเข้าถึงในระบบไดนามิคเชิงเส้นบนสนาม จำกัด

ให้เป็นเมทริกซ์กว่าฟิลด์ จำกัดF 2 = { 0 , 1 }และx , y ที่เป็นพาหะของพื้นที่F n 2 ฉันสนใจในความซับซ้อนในการคำนวณของการตัดสินใจว่ามีt ∈ Nอยู่หรือไม่เช่นA t x = yคือในปัญหาความสามารถในการเข้าถึงสำหรับระบบพลวัตเชิงเส้นบนฟิลด์ จำกัด$A$$\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$$x$$y$$\mathbb{F}_2^n$$t \in \mathbb{N}$$A^t x = y$

ปัญหาชัดเจนใน$\mathbf{NP}$ (คาดเดา$0 \le t < 2^n$และคำนวณ$A^t$ในเวลาพหุนามด้วยกำลังสองซ้ำ) ฉันและเพื่อนร่วมงานของฉันก็มีความสามารถที่จะพิสูจน์$\mathbf{NP}$ -completeness ของปัญหาที่เกี่ยวข้องในการจัดตั้งว่ามีอยู่$t \in \mathbb{N}$เช่นว่าเสื้อ x ≥ ปีที่≥คือความไม่เท่าเทียมกัน componentwise$A^t x \ge y$$\ge$

ปัญหานี้ดูเหมือนเป็นเรื่องธรรมดา แต่ฉันไม่สามารถค้นหาการอ้างอิงถึงความซับซ้อนในการคำนวณในวรรณคดีอาจเป็นเพราะฉันไม่ทราบคำศัพท์ที่แน่นอน คุณรู้หรือไม่ว่าปัญหาเกี่ยวกับความเสมอภาคคือ$\mathbf{NP}$สมบูรณ์หรือเป็นจริงใน$\mathbf{P}$ ?

เพื่อความชัดเจนผมจะคุยคำถามของคุณจะเป็นลักษณะกว่า (กับฟิลด์ฐานF Q ) แทนที่จะเป็นกรณีเฉพาะของP = Q = 2 ฉันจะใช้pและqเป็นค่าคงที่ ฉันจะปล่อยให้ผู้อ่านหาว่าการพึ่งพาพารามิเตอร์เหล่านี้คืออะไรเนื่องจากมีการแลกเปลี่ยนบางอย่างที่สามารถทำได้ ผลลัพธ์ที่ได้จากที่นี่คือปัญหาของคุณคือประมาณเทียบเท่ากับปัญหาเข้าสู่ระบบไม่ต่อเนื่องสำหรับฟิลด์ จำกัด ลักษณะพี$p > 0$$\mathbb{F}_q$$p=q=2$$p$$q$$p$

การจะมีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้นปล่อยให้ปัญหาเข้าสู่ระบบธรรมดาที่ไม่ต่อเนื่องส่วนขยายของจะให้สนามนามสกุลFของF Qและ, ข∈ Fค้นหาใด ๆจำนวนเต็มเสื้อเพื่อให้= ขเสื้อหรือรายงานที่ว่าไม่มีใครอยู่ . ให้แข็งแกร่งปัญหาเข้าสู่ระบบไม่ต่อเนื่องส่วนขยายของF Qจะได้รับF , , Bเป็นก่อนที่จะพบจำนวนเต็มZ , ม.เพื่อให้ $\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F},a,b$$z,m$สำหรับจำนวนเต็มเสื้อ IFFหรือรายงานที่ไม่มีที่มีอยู่ จากนั้นมีการลดลงดังต่อไปนี้:$a = b^t$$t$$t = z \pmod{m}$$t$

• มีการลดการแมปที่กำหนดขึ้นจากการบันทึกแยกส่วนขยายของกับปัญหาของคุณ$\mathbb{F}_q$

• มีประสิทธิภาพขั้นตอนวิธีการที่กำหนดซึ่งจะช่วยแก้ปัญหาของคุณเมื่อได้รับการเข้าถึงพยากรณ์คำนวณเป็นแข็งแกร่งปัญหาเข้าสู่ระบบไม่ต่อเนื่องในช่วงขยาย\$\mathbb{F}_q$

ดังนั้นฉันคิดว่าไม่น่าที่ใครจะโพสต์หลักฐาน แข็งแรงหรือพิสูจน์ว่าปัญหาของคุณอยู่ในในอนาคตอันใกล้$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

หมายเหตุ:ปัญหาการเข้าสู่ระบบที่แข็งแกร่งต่อเนื่องในช่วงขยาย สามารถทัวริงลดต่อไปนี้รูปแบบประหนึ่งว่าปรับตัวลดลง ( แต่ยังคงดูเหมือนจะแข็งแรงกว่าปัญหาล็อกสามัญที่ไม่ต่อเนื่อง): ให้สนามขยายของและพบน้อยที่ไม่ใช่เชิงลบจำนวนเต็มเพื่อให้ T นี้ต่อไปจากความจริงที่ว่าคำสั่งของเป็นหนึ่งบวกที่ไม่ใช่เชิงลบที่เล็กที่สุดเพื่อให้ TF F q a,b∈ F ta= b t bt b - 1 = b $\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$b$$t$$b^{-1} = b^t$

---

การลดอันดับแรก: การอ้างสิทธิ์คือปัญหาบันทึกที่ไม่ต่อเนื่องทั่วไปเหนือส่วนขยายของการทำแผนที่ - ลดปัญหานี้ นี่คือความจริงที่ว่าการคูณในเป็นการแปลงเชิงเส้นเมื่อเราดูเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติ . ดังนั้นคำถามของแบบฟอร์มมากกว่า กลายเป็นเหนือโดยที่มีเวกเตอร์มิติและเป็นF Q n F Q n n F Q =ขเสื้อF Q n → = B เสื้อ→ E F Q → , → E nBn×n F Q → Bข → อี 1∈ F Q n p=q=2$\mathbb{F}_{q}$$\mathbb{F}_{q^n}$$\mathbb{F}_{q^n}$$n$$\mathbb{F}_q$$a = b^t$$\mathbb{F}_{q^n}$$\vec{a} = B^t\vec{e}$$\mathbb{F}_q$$\vec{a},\vec{e}$$n$$B$$n\times n$เมทริกซ์ทั่ว\เวกเตอร์สามารถคำนวณได้ง่ายจาก ,จากและ เป็นเพียงตัวแทนของซึ่งสามารถเขียนได้อย่างมีประสิทธิภาพ . สิ่งนี้ดูเหมือนจะยังคงเป็นกรณีที่ยากของปัญหาการบันทึกที่ไม่ต่อเนื่องทั่วไปแม้จะมี (แต่การเติบโตของแน่นอน) โดยเฉพาะอย่างยิ่งผู้คนยังคงแข่งขันกันเพื่อดูว่าพวกเขาสามารถคำนวณได้ไกลแค่ไหน$\mathbb{F}_q$$\vec{a}$$a$$B$$b$$\vec{e}$$1 \in \mathbb{F}_{q^n}$$p=q=2$$n$

---

ลดลงประการที่สอง: โดยอ้างว่าปัญหาของคุณจะช่วยลดปัญหาการเข้าสู่ระบบไม่ต่อเนื่องที่แข็งแกร่งมากกว่าส่วนขยายของ\การลดลงนี้มีสองสามชิ้นดังนั้นให้อภัยความยาว ให้การป้อนข้อมูลที่เป็นมิติเวกเตอร์และเมทริกซ์ทั่ว ; เป้าหมายคือการหาเพื่อให้a nx,yn×nA F q ty= A t$\mathbb{F}_q$$n$$x,y$$n\times n$$A$$\mathbb{F}_q$$t$$y = A^tx$

แนวคิดพื้นฐานคือการเขียนในรูปแบบมาตรฐานของจอร์แดน (JCF) ซึ่งเราสามารถลดการทดสอบให้เป็นปัญหาบันทึกที่ไม่ต่อเนื่องที่แข็งแกร่งด้วยพีชคณิตแบบตรงไปตรงมาy = A t$A$$y = A^tx$

เหตุผลหนึ่งสำหรับการใช้รูปแบบที่เป็นที่ยอมรับภายใต้ความคล้ายคลึงกันของเมทริกซ์คือว่าถ้าแล้วP ดังนั้นเราสามารถเปลี่ยนไปที่ตอนนี้อยู่ในรูปแบบมาก nicer กว่าพล JCF เป็นรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษซึ่งช่วยให้อัลกอริทึมที่เหลือ ดังนั้นจากนี้ไปคิดว่ามีอยู่แล้วใน JCF แต่ยังอนุญาตให้และอาจมีรายการในสนามส่วนขยายของ \A t = P - 1 J t P y = A t x ( P y ) = J t ( P x ) J A A x , y , A F$A = P^{-1}JP$$A^t = P^{-1}J^tP$$y = A^tx$$(Py) = J^t(Px)$$J$$A$$A$$x,y,$$A$$\mathbb{F}_q$

หมายเหตุ:มีรายละเอียดปลีกย่อยบางอย่างที่เกิดขึ้นจากการทำงานกับ JCF โดยเฉพาะฉันจะสมมติว่าเราสามารถดำเนินการในส่วนขยายของใด ๆ (ไม่ว่าจะมีขนาดใหญ่แค่ไหน) ในขั้นตอนเดียวและเราสามารถคำนวณ JCF ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ลำดับความสำคัญนี่เป็นสิ่งที่ไม่สมจริงเพราะการทำงานกับ JCF อาจต้องการการทำงานในฟิลด์ส่วนขยาย (ฟิลด์การแยกของพหุนามลักษณะ) ของระดับเอกซ์โพเนนเชียล อย่างไรก็ตามด้วยความระมัดระวังและการใช้ความจริงที่ว่าเรากำลังทำงานในขอบเขต จำกัด เราสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านี้ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราจะเชื่อมโยงกับแต่ละจอร์แดนบล็อกเขตข้อมูลของระดับที่มากที่สุดมากกว่าF ′ n F q xy F ′ F ′ F$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}'$$n$$\mathbb{F}_q$ เพื่อให้ทุกรายการในจอร์แดนบล็อกและองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของ , ทุกคนอาศัยอยู่ภายใน{F}' ฟิลด์อาจแตกต่างจากบล็อกถึงบล็อก แต่การใช้ `` การแสดงแบบผสม' 'ช่วยให้คำอธิบายที่มีประสิทธิภาพของ JCF ซึ่งสามารถพบได้อย่างมีประสิทธิภาพ อัลกอริทึมที่อธิบายไว้ในส่วนที่เหลือของส่วนนี้จะต้องทำงานกับหนึ่งบล็อกในแต่ละครั้งดังนั้นตราบใดที่มันดำเนินการภาคสนามภายในเขตข้อมูลที่เกี่ยวข้องอัลกอริทึมจะมีประสิทธิภาพ [หมายเหตุท้าย]$x$$y$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$

การใช้ JCF ทำให้เราสมการของแบบฟอร์มต่อไปนี้โดยแต่ละสมการที่สอดคล้องกับบล็อกของจอร์แดน:

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$

อัลกอริทึมจะจัดการแต่ละบล็อกแยกกัน ในกรณีทั่วไปสำหรับแต่ละบล็อกเราจะมีแบบสอบถามสำหรับ Oracle บันทึกต่อเนื่องที่แข็งแกร่งของเราจากที่พยากรณ์จะบอกเราสภาพต้นแบบที่{m} เราจะได้รับชุดเพื่อให้ ต้องถูกเก็บไว้ . หลังจากประมวลผลบล็อกทั้งหมดแล้วเราจะต้องตรวจสอบว่ามีตัวเลือกของที่ตรงตามคำสันธานของเงื่อนไขเหล่านี้ทั้งหมด สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการทำให้แน่ใจว่ามีองค์ประกอบทั่วไปในชุด เพื่อให้สมการและS ⊆ { 0 , 1 , ⋯ , p - 1 } ⋁ s ∈ S [ t = $t = z \pmod{m}$$S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$ t s S t = $\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$$t$$s$$S$t = z $t = s \pmod p$$t = z_j \pmod{m_j}$ทุกคนพึงพอใจพร้อมกันโดยที่อยู่เหนือบล็อค$j$

นอกจากนี้ยังมีบางกรณีพิเศษที่เกิดขึ้นตลอดกระบวนการ ในกรณีนี้เราจะได้รับเงื่อนไขของแบบฟอร์มค่าของบางหรือในรูปแบบสำหรับบางเฉพาะจำนวนเต็มจากบล็อกบางอย่างหรือเราอาจจะได้พบว่าไม่มีสามารถอยู่ได้ . สิ่งเหล่านี้สามารถรวมอยู่ในตรรกะสำหรับกรณีทั่วไปโดยไม่มีปัญหาℓ T = s s $t > \ell$$\ell$$t = s$$s$$t$

ตอนนี้เราอธิบายถึงกระบวนการย่อยสำหรับการจัดการแต่ละบล็อคของจอร์แดน แก้ไขบล็อกดังกล่าว

เริ่มต้นด้วยการมุ่งเน้นเฉพาะพิกัดสุดท้ายในบล็อก เงื่อนไขต้องว่าx_k ในคำอื่น ๆ ก็เป็นตัวอย่างของปัญหาการเข้าสู่ระบบไม่ต่อเนื่องในบางส่วนขยายสาขาของ\จากนั้นเราจะใช้ oracle จะแก้ปัญหาได้ซึ่งผลการอย่างใดอย่างหนึ่งในการแก้ปัญหาไม่มีหรืออื่น ๆ ที่จะช่วยให้สภาพต้นแบบบนเสื้อหาก "ไม่มีวิธีการแก้ปัญหา" ถูกส่งคืนเราจะกลับมาระบุเช่นนี้ มิฉะนั้นเราจะได้รับเงื่อนไขซึ่งเทียบเท่ากับx_ky k = λ t x k F q t t = $y = A^tx$$y_k = \lambda^t x_k$$\mathbb{F}_q$$t$y k = λ t x $t = z \pmod{m}$$y_k = \lambda^t x_k$

ในการจัดการพิกัดอื่น ๆ เราเริ่มต้นด้วยสูตรต่อไปนี้ (ดูเช่นที่นี่ ):

$$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$$ \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ & & & \ lambda ^ t & \ binom {t} {1} \ lambda ^ {t-1} \\ & & & & & & lambda ^ t \ end {bmatrix } ก่อนอื่นมาดูแลกรณีที่$x_k = 0$0 เนื่องจากเรามีเงื่อนไขแบบโมดูลซึ่งมีความหมายเราจึงสามารถสมมติด้วย แต่จากนั้นเราก็สามารถลดการมุ่งเน้นไปที่รายการแรกของและ , และsubmatrix บนซ้ายของบล็อคจอร์แดน ดังนั้นจากนี้ไปคิดว่า0$y_k = \lambda^t x_k$$y_k = 0$$k-1$$x$$y$$(k-1)\times (k-1)$$x_k \ne 0$

ประการที่สองเราจะจัดการกับกรณีที่0 ในกรณีนี้พลังของบล็อกจอร์แดนมีรูปแบบพิเศษและบังคับสำหรับบางหรืออย่างอื่นโดยไม่มีเงื่อนไขอื่น ฉันไม่เชื่อในเรื่องนี้ แต่พอจะบอกได้ว่าแต่ละคนสามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ (หรืออีกวิธีหนึ่งเราสามารถลดกรณีที่กลับด้านได้; ดูความคิดเห็นของฉันในคำถาม)$\lambda = 0$$t = z$$z \le k$$t > k$$A$

ในที่สุดเราก็มาถึงกรณีทั่วไป เนื่องจากเรามีสภาพต้นแบบซึ่งหมายความว่าเราสามารถสมมติสภาพที่ถือและการใช้เป็นแบบ stand-in สำหรับ T โดยทั่วไปเราสามารถใช้เพื่อเป็นตัวแทนของ{} ดังนั้นเราจำเป็นต้องตรวจสอบว่าระบบต่อไปนี้มีไว้สำหรับตัวเลือก : $y_k = \lambda^t x_k$$y_k x_k^{-1}$$\lambda^t$$y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$$\lambda^{t-z}$$t$

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$ y_kx_k ^ {- 1} \ end {bmatrix} \ start {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \ vdots \\ x_ {k-1} \\ x_ {k} \\ \ end {bmatrix} สังเกตว่า ไม่ว่าสมการจะขึ้นอยู่กับเท่านั้น; นี่เป็นเพราะการพึ่งพาเป็นพหุนามเท่านั้น $t \pmod{p}$$t$$t$ต้องเป็นจำนวนเต็มและสมดังกล่าวข้างต้นมีมากกว่าด้านของลักษณะพีดังนั้นเราสามารถลองแต่ละค่าของแยกกัน เซตเราจะกลับมาเป็นเพียงตัวเลือกของที่ระบบนั้นพอใจ$p$$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$$S$$t$

ดังนั้นในตอนนี้ยกเว้นบางกรณีพิเศษกระบวนการย่อยต่อบล็อกได้พบเงื่อนไขแบบโมดูลและชุดดังนั้นหนึ่งในต้องเก็บไว้บางส เงื่อนไขเหล่านี้เทียบเท่ากับภายในบล็อก Jordan ที่ระบุนี้ ดังนั้นเราจึงคืนค่าเหล่านี้จากกระบวนการย่อย กรณีพิเศษอาจสรุปได้ว่าไม่มีอยู่ (ในกรณีที่ subprocedure ส่งคืนการบ่งชี้ในทันที) หรืออื่น ๆ เรามีเงื่อนไขแบบโมดูลและเงื่อนไขพิเศษบางอย่างเช่นสำหรับจำนวนเต็มหรือสำหรับจำนวนเต็ม$t = a \pmod{m}$$S$$t = s \pmod{p}$$s \in S$$y = A^tx$$t$$t = a \pmod{m}$$t = s$$s$$t > \ell$$\ell$\ในทุกกรณีเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเท่ากับภายในบล็อก Jordan นี้ ดังนั้นดังที่ได้กล่าวมาแล้วโปรแกรมย่อยเพียงแค่คืนค่าเงื่อนไขเหล่านี้$y = A^tx$

สิ่งนี้สรุปข้อกำหนดของกระบวนการย่อยต่อบล็อกและอัลกอริทึมโดยรวม มันถูกต้องและมีประสิทธิภาพตามมาจากการอภิปรายก่อนหน้า

---

รายละเอียดปลีกย่อยด้วยการใช้ JCF ในการลดครั้งที่สอง:ดังที่กล่าวไว้ในการลดที่สองมีรายละเอียดปลีกย่อยบางอย่างที่เกิดขึ้นจากการทำงานกับ JCF มีข้อสังเกตเล็กน้อยสำหรับการบรรเทาปัญหาเหล่านี้:

• ส่วนขยายของฟิลด์ จำกัด เป็นปกติ ซึ่งหมายความว่าถ้าเป็นหนึ่งลดลงพหุนามมากกว่าแล้วส่วนขยายใด ๆ ของมีรากของ มีทั้งหมดรากของPในคำอื่น ๆ ฟิลด์แยกของพหุนามลดลง ปริญญามีปริญญาเพียงมากกว่า\$P$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}_q$$P$$P$$P$$d$$d$$\mathbb{F}_q$

• มีรูปแบบทั่วไปของรูปแบบบัญญัติของจอร์แดนที่เรียกว่ารูปแบบบัญญัติหลักเหตุผล (PRCF) ซึ่งไม่ต้องการให้มีการเขียนส่วนขยายฟิลด์ โดยเฉพาะถ้าเป็นเมทริกซ์ที่มีรายการในเราสามารถเขียนสำหรับเมทริกซ์ด้วยรายการในยิ่งไปกว่านั้นอยู่ใน PRCF นอกจากนี้ถ้าเราทำเป็นว่ารายการสดในสนาม ขยายซึ่งมีลักษณะเฉพาะทั้งหมดของแล้ว$A$$\mathbb{F}_q$$A = P^{-1}QP$$P,Q$$\mathbb{F}_q$$Q$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}_q$$A$$Q$ในความเป็นจริงจะอยู่ใน JCF ดังนั้นเราสามารถดูการคำนวณ JCF ของเป็นกรณีพิเศษของการคำนวณ PRCF$A$

• ด้วยรูปแบบของ PRCF เราสามารถคำนวณการคำนวณ JCF ของเป็น$A$

  1. คำนวณ PRCF ของมากกว่า$A$$\mathbb{F}_q$

  2. การคำนวณ PRCF ของแต่ละบล็อก (ยืมสัญกรณ์จากบทความ Wikipedia) ใน PRCF ของ , บนฟิลด์ส่วนขยาย , โดยที่ถูกเลือกให้มีค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของ$C$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$C$

  ข้อได้เปรียบที่สำคัญของการแยกตัวประกอบนี้คือพหุนามลักษณะเฉพาะของบล็อกทั้งหมดจะลดลงและจากการสังเกตครั้งแรกของเราเราสามารถเลือกเพื่อให้ได้ขนาดของ (ซึ่งมากที่สุด ) มากกว่า\ข้อเสียคือตอนนี้เราต้องใช้ส่วนขยายที่แตกต่างกันเพื่อเป็นตัวแทนของแต่ละบล็อคของ JCF ดังนั้นการเป็นตัวแทนจึงผิดปกติและซับซ้อน$C$$\mathbb{F}'$$C$$n$$\mathbb{F}_q$

ดังนั้นความสามารถในการคำนวณ PRCF ได้อย่างมีประสิทธิภาพเราสามารถคำนวณเข้ารหัสที่เหมาะสมของ JCF ได้อย่างมีประสิทธิภาพและการเข้ารหัสเป็นเช่นนี้ว่าการทำงานกับบล็อกใด ๆ ของ JCF สามารถทำได้ภายในสนามการขยายตัวของการศึกษาระดับปริญญาที่มากที่สุดมากกว่าmathbb$n$$\mathbb{F}_n$

ในฐานะที่เป็นสำหรับการคำนวณ PRCF ได้อย่างมีประสิทธิภาพ, กระดาษ " เหตุผลที่ยอมรับในแบบฟอร์มขั้นตอนวิธีการ " (KR แมตทิวส์คณิตศาสตร์. bohemica 117 (1992) 315-324) ให้อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณ PRCF เมื่อตัวประกอบของพหุนามลักษณะของเป็นที่รู้จักกัน . สำหรับลักษณะคงที่ (เช่นที่เรามี) การแยกตัวประกอบพหุนามแบบ univariate มากกว่าฟิลด์ จำกัด สามารถทำได้ในเวลาพหุนามแบบกำหนดขึ้น (ดูตัวอย่างเช่น " ในอัลกอริธึมการแยกตัวประกอบใหม่สำหรับพหุนามแบบเหนือฟิลด์ จำกัด " (H. Niederreitter การคำนวณ 64 (1995) 347-353)) ดังนั้น PRCF จึงสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ$A$